Metode Secant METODE BISEKSI DAN METODE SECANT

1 1 1 2 x f x f x f x x f x x    Selanjutnya perhatikan segitiga SBU dan TCU pada Gambar 2.3. Segitiga SBU sebangun dengan segitiga TCU, maka dengan rumus kesebangunan segitiga diperoleh 3 2 2 3 1 1 x x x f x x x f     2 3 1 1 3 2 x f x x x f x x     2 3 2 1 1 3 1 2 x f x x f x x f x x f x     1 2 2 1 1 3 2 3 x f x x f x x f x x f x     1 2 2 1 1 2 3 x f x x f x x f x f x    1 2 1 2 2 1 3 x f x f x f x x f x x    dan seterusnya, sehingga didapat 2 1 2 1 1 2          n n n n n n n x f x f x f x x f x x 2. Akan dibuktikan barisan   n x yang didefinisikan oleh metode secant akan konvergen ke ξ . Bukti: Karena  ξ f , dimisalkan bahwa   α ξ f . Karena f kontinu di I , maka untuk setiap  ε dapat dipilih interval   δ ξ δ ξ δ    , I , dengan h   δ , sedemikian sehingga ε α   x f , δ I x  . Dipilih α ε 4 1  , dapat dilihat bahwa α α 4 5 4 3    x f , δ I x  Perhatikan kembali rumus metode secant sebagai berikut: 2 1 2 1 1 2          n n n n n n n x f x f x f x x f x x  1 1 1 1        n n n n n n n x f x f x f x x f x x  1 1 1 1        n n n n n n n x f x x f x x f x f x  1 1 1 1 1         n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x  1 1 1 1 1 n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x         Kedua ruas dikurangi n n x f x , sehingga menjadi  1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x x f x x f x            1 1 1 n n n n n n n x f x x x f x f x x         1 1 1        n n n n n n n x f x f x f x x x x  1 1 1         n n n n n n n x f x f x x x f x x               1 1 1 n n n n n n n x f x f x x x f x x Karena diketahui  ξ f , maka persamaan dapat ditulis 1  n x              1 1 n n n n n n x f x f x x f x f x ξ 1 1        n n n n n n x x x f x f f x f x ξ 1 1          n n n n n n n n x x x f x f x f x f x x ξ ξ ξ Dimisalkan bahwa n σ terletak diantara n x dan ξ , dan n ϕ terletak diantara n x dan 1  n x . Dari rumus metode secant dan dengan teorema nilai rata-rata serta  ξ f , diperoleh 1  n x n n n n f f x x ϕ σ ξ    n n n n n n f f x f f x ϕ σ ξ ϕ ϕ    n n n n n f f x f x ϕ σ ξ ϕ     1 n n n n n n f x f x f x σ ξ ϕ ϕ      1 n n n n n n f x f x f x σ ξ ϕ ϕ        1 n n n n n n n n f x f x f f x f σ ξ ϕ ϕ ξ ϕ ϕ ξ        1 n n n n n n f x f x f f x σ ξ ϕ ϕ ξ ϕ ξ        1 n n n n n n n f f x f x f x ϕ σ ξ ϕ ϕ ξ ξ        1 n n n n n f f x x x ϕ σ ξ ξ ξ       . Oleh karena itu, karena δ I x n  1 dan δ I x n  , kemudian juga δ σ I n  dan δ ϕ I n  , maka 1 n n n n n f f x x x ϕ σ ξ ξ ξ       n n n n f f x x ϕ σ ξ ξ     1   n x ξ 1 n n n f f x ϕ σ ξ    Karena δ ϕ σ I n n  , dan α α 4 5 4 3    x f , δ I x  , maka α σ α 4 5 4 3    n f dan α ϕ α 4 5 4 3    n f . Misalkan,             α ϕ α α σ α ϕ σ 4 5 4 3 4 5 4 3 | n n n n f dan f R f f P , maka, 5 3 4 5 4 3  α α merupakan batas bawah dari P , sedangkan 3 5 4 3 4 5  α α merupakan batas atas dari P . Dengan demikian, 3 5 5 3   n n f f ϕ σ 3 5 5 3       n n f f ϕ σ 3 5 1 1 5 3 1       n n f f ϕ σ 3 2 1 5 2      n n f f ϕ σ atau 3 2 5 2 1 3 2       n n f f ϕ σ atau 3 2 1    n n f f ϕ σ sehingga 1   n x ξ 1 n n n f f x ϕ σ ξ    1   n x ξ n x   ξ 3 2 . Jadi, δ I x n  1 dan barisan   n x konvergen ke ξ . Definisi 2.16 Misalkan n n e x   ξ dan 1 1     n n e x ξ , dimana ξ adalah akar dari  x f , sedangkan n e dan 1  n e adalah galat pada iterasi ke- n dan 1  n , dan n x , 1  n x adalah aproksimasi dari ξ pada iterasi ke- n dan 1  n . Jika p n n e K e  1 dimana K adalah konstanta, maka laju konvergensi dari metode secant yang membangkitkan   n x yang dihasilkan adalah p . Teorema 2.6 Metode secant memiliki laju konvergensi 618 . 1  p . Bukti: Diketahui, rumus iterasi untuk metode secant adalah sebagai berikut 2 1 2 1 1 2          n n n n n n n x f x f x f x x f x x  1 1 1 1        n n n n n n n x f x f x f x x f x x 1 Misalkan ξ adalah akar dari x f , sehingga  ξ f , dan ξ   n n x e adalah galat pada iterasi ke- n dalam mengestimasi ξ . Dengan demikian, 1 1     n n e x ξ n n e x   ξ 2 1 1     n n e x ξ Dengan mensubstitusikan persamaan 2 ke persamaan 1 akan diperoleh 1 1 1 1        n n n n n n n x f x f x f e x f e e 3 Dengan teorema nilai rata-rata, n β  dalam interval n x dan ξ , sehingga ξ ξ β    n n n x f x f f karena  ξ f dan n n e x   ξ , maka n n n e x f f  β atau n n n f e x f β  4 Dengan menggunakan persamaan 2, diperoleh 1 1 1     n n n f e x f β 5 Dengan mensubstitusikan persamaan 4 dan 5 ke persamaan 3, diperoleh 1 1 1 1        n n n n n n n x f x f f f e e e β β yakni 1  n e ∝ 1  n n e e 6 Dengan definisi laju konvergensi, metode secant memiliki orde p jika n e ∝ p n e 1  , yakni 1  n e ∝ p n e 7 Dari persamaan 6 dan persamaan 7, diperoleh p n e ∝ 1  n n e e yakni p n e ∝ 1 1   n p n e e  p n e ∝ 1 1   p n e  n e ∝ p p n e 1 1   8 Dari persamaan 7 dan 8 didapat p p p 1    1 2    p p 2 5 1   p Karena  p , maka dipilih 618 . 1  p Dengan demikian 1  n e ∝ 618 . 1 n e Jadi metode secant memiliki laju konvergensi dengan 618 . 1  p Berdasarkan uraian pada bagian sebelumnya, maka prosedur dalam menentukan akar-akar polinomial dengan metode secant adalah sebagai berikut: Algoritma Metode Secant 1. Menentukan dua hampiran awal, yaitu x dan 1 x , menentukan toleransi. 2. Menghitung nilai n x , untuk ,... 4 , 3 , 2  n dengan rumus 2 1 2 1 1 2          n n n n n n n x f x f x f x x f x x 3. Menghitung nilai n x f 4. Jika  n x f toleransi, maka iterasi dihentikan. Jika  n x f toleransi, maka iterasi diulangi lagi ke langkah 2, 1   n n . Akar persamaan adalah nilai n x terakhir yang diperoleh. Contoh 2.15 Selesaikan 10 4 2 3     x x x f dengan menggunakan metode secant. Dipilih tebakan awal 1  x dan 2 1  x dan toleransi galatnya adalah 0.01. Penyelesaian Iterasi 1 Langkah 1. Untuk 1  x , maka 5   x f Untuk 2 1  x , maka 14 1  x f Langkah 2. Menghitung 1 1 1 2 x f x f x f x x f x x    5 14 5 2 14 1     29 24  2631 . 1  Langkah 3. Menghitung 6023 . 1 2   x f Karena 01 . 2  x f , maka iterasi dilanjutkan kembali dengan nilai tebakan baru. Iterasi 2 Langkah 2. Menghitung 1 2 1 2 2 1 3 x f x f x f x x f x x    14 6023 . 1 14 2631 . 1 6023 . 1 2      6023 . 18 888 . 20    3388 . 1  Langkah 3. Menghitung 4312 . 3   x f Karena 01 . 3  x f , maka iterasi dilanjutkan kembali dengan nilai tebakan baru. Iterasi 3 Langkah 2. Menghitung 2 3 2 3 3 2 4 x f x f x f x x f x x    6023 . 1 4312 . 6023 . 1 3388 . 1 4312 . 2631 . 1        1711 . 1 6005 . 1  3666 . 1  Langkah 3. Menghitung 0237 . 4  x f Karena 01 . 4  x f , maka iterasi dilanjutkan kembali dengan nilai tebakan baru. Iterasi 4 Langkah 2. Menghitung 3 4 3 4 4 3 5 x f x f x f x x f x x    4312 . 0237 . 4312 . 3666 . 1 0237 . 3388 . 1      4549 . 6210 .  3652 . 1  Langkah 3. Menghitung 000271 . 5   x f Karena 01 . 5  x f , maka iterasi dilanjutkan kembali dengan nilai tebakan baru. . Iterasi 5 Langkah 2. Menghitung 4 5 4 5 5 4 6 x f x f x f x x f x x    0237 . 000271 . 0237 . 36521 . 1 000271 . 36662 . 1      023971 . 032725 .    36523 . 1  Langkah 3. Menghitung 2 0000002215 . 6   x f Karena 01 . 6  x f , maka iterasi dihentikan. Dengan menggunakan program MATLAB, maka untuk setiap iterasi dapat ditunjukkan pada tabel berikut. i p0 p1 p e 1 1.00000 2.00000 1.26316 1.60227 2 2.00000 1.26316 1.33883 -0.43036 3 1.26316 1.33883 1.36662 0.02291 4 1.33883 1.36662 1.36521 -0.00030 5 1.36662 1.36521 1.36523 -0.00000 Jadi, hampiran akar persamaan 10 4 2 3    x x x f adalah 36523 . 1  x 51

BAB III MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL NON LINEAR

DENGAN METODE MÜLLER DAN MÜLLER BISEKSI

A. METODE MÜLLER

Dalam menyelesaikan suatu persamaan polinomial, terkadang penyelesaiannya tidak hanya berupa akar-akar real tetapi juga akar-akar kompleks. Kebanyakan metode yang digunakan adalah metode untuk menyelesaikan persamaan polinomial yang penyelesaiannya berupa akar- akar real. Oleh karena itu, akan dipaparkan metode untuk menyelesaikan persamaan polinomial yang penyelesaiannya tidak hanya berupa akar-akar real tetapi juga akar-akar kompleks. Metode tersebut adalah metode Müller. Metode Müller merupakan perluasan dari metode Secant. Dalam metode Secant, untuk mencari penyelesaian persamaan polinomial dimulai dengan dua hampiran awal, yaitu x dan 1 x . Nilai pendekatan berikutnya 2 x diperoleh dari perpotongan garis yang melalui , x f x dan , 1 1 x f x dengan sumbu x . Dalam metode Müller, digunakan tiga hampiran awal, yaitu x , 1 x dan 2 x . Nilai pendekatan berikutnya 3 x diperoleh dari perpotongan kurva parabola yang melalui titik x f , 1 x f dan 2 x f dengan sumbu x . Titik potong tersebut merupakan titik potong hampiran baru, misalkan disebut 3 x . Setelah 3 x ketemu, proses selanjutnya dapat diulangi dengan ketentuan, jika yang dicari hanya akar-akar real saja, maka dipilih dua titik yang terdekat dengan 3 x , dan jika yang dicari adalah akar real maupun akar kompleks, maka 1 x menggantikan x , 2 x mengantikan 1 x , dan 3 x menggantikan 2 x . Akar persamaannya adalah nilai x terakhir yang diperoleh. Proses di atas dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 3.1. Gambar 3.1 Metode Müller Dengan demikian, langkah umum dalam mencari akar persamaan polinomial dengan metode Müller adalah 1. Menentukan tiga titik awal, yaitu x , 1 x dan 2 x . 2. Menentukan persamaan parabola yang melalui , x f x , , 1 1 x f x dan , 2 2 x f x . Untuk mendapatkan persamaan parabola tersebut akan dicari koefisien-koefisien persamaan parabola. 3. Menentukan titik potong parabola dengan sumbu x . Langkah 1 Menentukan tiga hampiran awal, yaitu x , 1 x dan 2 x . Selanjutnya mencari nilai x f , 1 x f dan 2 x f dari ketiga hampiran itu, dimana ketiga hampiran itu tidak boleh menyebabkan x f , 1 x f dan 2 x f saling meniadakan atau nol, karena jika salah satu diantara x f , 1 x f atau 2 x f bernilai nol, hal itu berarti akar persamaannya sudah diperoleh. Selama iterasi, nilai x f , 1 x f dan 2 x f tidak boleh tepat sama. Langkah 2 Setelah mendapatkan nilai x f , 1 x f dan 2 x f , selanjutnya mencari persamaan parabola yang melalui titik , x f x , , 1 1 x f x dan , 2 2 x f x , misalkan disebut titik , , b a dan c . Setelah melewati tahap tersebut, berikutnya mencari perpotongan antara kurva parabola dengan sumbu x .