Metode Secant METODE BISEKSI DAN METODE SECANT
1 1
1 2
x f
x f
x f
x x
f x
x
Selanjutnya perhatikan segitiga SBU dan TCU pada Gambar 2.3. Segitiga SBU sebangun dengan segitiga TCU, maka dengan rumus
kesebangunan segitiga diperoleh
3 2
2 3
1 1
x x
x f
x x
x f
2 3
1 1
3 2
x f
x x
x f
x x
2 3
2 1
1 3
1 2
x f
x x
f x
x f
x x
f x
1 2
2 1
1 3
2 3
x f
x x
f x
x f
x x
f x
1 2
2 1
1 2
3
x f
x x
f x
x f
x f
x
1 2
1 2
2 1
3
x f
x f
x f
x x
f x
x
dan seterusnya, sehingga didapat
2 1
2 1
1 2
n n
n n
n n
n
x f
x f
x f
x x
f x
x
2. Akan dibuktikan barisan
n
x yang didefinisikan oleh metode secant
akan konvergen ke
ξ
.
Bukti:
Karena
ξ
f , dimisalkan bahwa
α ξ
f . Karena
f kontinu di
I
, maka untuk setiap
ε
dapat dipilih interval
δ ξ
δ ξ
δ
,
I , dengan
h
δ
, sedemikian sehingga
ε α
x f
,
δ
I x
.
Dipilih
α ε
4 1
, dapat dilihat bahwa
α α
4 5
4 3
x
f
,
δ
I x
Perhatikan kembali rumus metode secant sebagai berikut:
2 1
2 1
1 2
n n
n n
n n
n
x f
x f
x f
x x
f x
x
1 1
1 1
n n
n n
n n
n
x f
x f
x f
x x
f x
x
1 1
1 1
n n
n n
n n
n
x f
x x
f x
x f
x f
x
1 1
1 1
1
n n
n n
n n
n n
x f
x x
f x
x f
x x
f x
1 1
1 1
1 n
n n
n n
n n
n
x f
x x
f x
x f
x x
f x
Kedua ruas dikurangi
n n
x f
x , sehingga menjadi
1 1
1 1
1 n
n n
n n
n n
n n
n n
n
x f
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f x
1 1
1 n
n n
n n
n n
x f
x x
x f
x f
x x
1 1
1
n n
n n
n n
n
x f
x f
x f
x x
x x
1 1
1
n n
n n
n n
n
x f
x f
x x
x f
x x
1
1 1
n n
n n
n n
n
x f
x f
x x
x f
x x
Karena diketahui
ξ
f
, maka persamaan dapat ditulis
1
n
x
1 1
n n
n n
n n
x f
x f
x x
f x
f x
ξ
1 1
n n
n n
n n
x x
x f
x f
f x
f x
ξ
1 1
n n
n n
n n
n n
x x
x f
x f
x f
x f
x x
ξ ξ
ξ
Dimisalkan bahwa
n
σ
terletak diantara
n
x dan
ξ
, dan
n
ϕ
terletak diantara
n
x dan
1
n
x . Dari rumus metode secant dan dengan teorema
nilai rata-rata serta
ξ
f
, diperoleh
1
n
x
n n
n n
f f
x x
ϕ σ
ξ
n n
n n
n n
f f
x f
f x
ϕ σ
ξ ϕ
ϕ
n n
n n
n
f f
x f
x
ϕ σ
ξ ϕ
1 n
n n
n n
n
f x
f x
f x
σ ξ
ϕ ϕ
1 n
n n
n n
n
f x
f x
f x
σ ξ
ϕ ϕ
1 n
n n
n n
n n
n
f x
f x
f f
x f
σ ξ
ϕ ϕ
ξ ϕ
ϕ ξ
1 n
n n
n n
n
f x
f x
f f
x σ
ξ ϕ
ϕ ξ
ϕ ξ
1 n
n n
n n
n n
f f
x f
x f
x
ϕ σ
ξ ϕ
ϕ ξ
ξ
1 n
n n
n n
f f
x x
x
ϕ σ
ξ ξ
ξ
.
Oleh karena itu, karena
δ
I x
n
1
dan
δ
I x
n
, kemudian juga
δ
σ
I
n
dan
δ
ϕ
I
n
, maka
1 n
n n
n n
f f
x x
x ϕ
σ ξ
ξ ξ
n
n n
n
f f
x x
ϕ σ
ξ ξ
1
n
x ξ
1
n n
n
f f
x ϕ
σ ξ
Karena
δ
ϕ σ
I
n n
,
dan
α α
4 5
4 3
x
f
,
δ
I x
, maka
α σ
α 4
5 4
3
n
f
dan
α ϕ
α 4
5 4
3
n
f
. Misalkan,
α ϕ
α α
σ α
ϕ σ
4 5
4 3
4 5
4 3
|
n n
n n
f dan
f R
f f
P ,
maka,
5 3
4 5
4 3
α
α
merupakan batas bawah dari
P
, sedangkan
3 5
4 3
4 5
α
α
merupakan batas atas dari
P
.
Dengan demikian,
3 5
5 3
n n
f f
ϕ σ
3 5
5 3
n n
f f
ϕ σ
3 5
1 1
5 3
1
n n
f f
ϕ σ
3 2
1 5
2
n n
f f
ϕ σ
atau
3 2
5 2
1 3
2
n n
f f
ϕ σ
atau
3 2
1
n n
f f
ϕ σ
sehingga
1
n
x ξ
1
n n
n
f f
x ϕ
σ ξ
1
n
x ξ
n
x
ξ
3 2
. Jadi,
δ
I x
n
1
dan barisan
n
x konvergen ke
ξ
.
Definisi 2.16
Misalkan
n n
e x
ξ
dan
1 1
n n
e x
ξ
, dimana
ξ
adalah akar dari
x
f
, sedangkan
n
e dan
1
n
e adalah galat pada iterasi ke- n
dan
1
n
, dan
n
x ,
1
n
x adalah aproksimasi dari
ξ
pada iterasi ke- n dan
1
n
. Jika
p n
n
e K
e
1
dimana
K
adalah konstanta, maka laju
konvergensi dari metode secant yang membangkitkan
n
x yang
dihasilkan adalah
p
.
Teorema 2.6
Metode secant memiliki laju konvergensi
618 .
1
p
.
Bukti:
Diketahui, rumus iterasi untuk metode secant adalah sebagai berikut
2 1
2 1
1 2
n n
n n
n n
n
x f
x f
x f
x x
f x
x
1 1
1 1
n n
n n
n n
n
x f
x f
x f
x x
f x
x 1
Misalkan
ξ
adalah akar dari
x f
, sehingga
ξ
f
, dan
ξ
n n
x e
adalah galat pada iterasi ke- n dalam mengestimasi
ξ
. Dengan demikian,
1 1
n n
e x
ξ
n n
e x
ξ
2
1 1
n n
e x
ξ
Dengan mensubstitusikan persamaan 2 ke persamaan 1 akan diperoleh
1 1
1 1
n n
n n
n n
n
x f
x f
x f
e x
f e
e 3
Dengan teorema nilai rata-rata,
n
β
dalam interval
n
x dan
ξ
, sehingga
ξ ξ
β
n n
n
x f
x f
f karena
ξ
f
dan
n n
e x
ξ
, maka
n n
n
e x
f f
β
atau
n n
n
f e
x f
β
4 Dengan menggunakan persamaan 2, diperoleh
1 1
1
n n
n
f e
x f
β
5 Dengan mensubstitusikan persamaan 4 dan 5 ke persamaan 3,
diperoleh
1 1
1 1
n n
n n
n n
n
x f
x f
f f
e e
e
β β
yakni
1
n
e ∝
1
n n
e e
6 Dengan definisi laju konvergensi, metode secant memiliki orde
p
jika
n
e ∝
p
n
e
1
, yakni
1
n
e ∝
p
n
e 7
Dari persamaan 6 dan persamaan 7, diperoleh
p
n
e ∝
1
n n
e e
yakni
p
n
e ∝
1 1
n p
n
e e
p
n
e ∝
1 1
p n
e
n
e ∝
p p
n
e
1 1
8 Dari persamaan 7 dan 8 didapat
p p
p 1
1
2
p p
2 5
1
p
Karena
p
, maka dipilih
618 .
1
p
Dengan demikian
1
n
e ∝
618 .
1
n
e Jadi metode secant memiliki laju konvergensi dengan
618 .
1
p
Berdasarkan uraian pada bagian sebelumnya, maka prosedur dalam menentukan akar-akar polinomial dengan metode secant adalah
sebagai berikut:
Algoritma Metode Secant
1. Menentukan dua hampiran awal, yaitu x
dan
1
x , menentukan toleransi.
2. Menghitung nilai
n
x , untuk
,... 4
, 3
, 2
n
dengan rumus
2 1
2 1
1 2
n n
n n
n n
n
x f
x f
x f
x x
f x
x 3. Menghitung nilai
n
x f
4. Jika
n
x f
toleransi, maka iterasi dihentikan. Jika
n
x f
toleransi, maka iterasi diulangi lagi ke langkah 2,
1
n n
. Akar persamaan adalah nilai
n
x terakhir yang diperoleh.
Contoh 2.15
Selesaikan 10
4
2 3
x x
x f
dengan menggunakan metode secant. Dipilih tebakan awal
1
x dan
2
1
x
dan toleransi galatnya adalah 0.01.
Penyelesaian Iterasi 1
Langkah 1. Untuk
1
x , maka
5
x
f Untuk
2
1
x
, maka 14
1
x
f Langkah 2.
Menghitung
1 1
1 2
x f
x f
x f
x x
f x
x
5 14
5 2
14 1
29 24
2631
. 1
Langkah 3. Menghitung
6023 .
1
2
x f
Karena
01 .
2
x
f
, maka iterasi dilanjutkan kembali dengan nilai tebakan baru.
Iterasi 2
Langkah 2. Menghitung
1 2
1 2
2 1
3
x f
x f
x f
x x
f x
x
14 6023
. 1
14 2631
. 1
6023 .
1 2
6023 .
18 888
. 20
3388
. 1
Langkah 3. Menghitung
4312 .
3
x f
Karena
01 .
3
x
f
, maka iterasi dilanjutkan kembali dengan nilai tebakan baru.
Iterasi 3
Langkah 2. Menghitung
2 3
2 3
3 2
4
x f
x f
x f
x x
f x
x
6023 .
1 4312
. 6023
. 1
3388 .
1 4312
. 2631
. 1
1711 .
1 6005
. 1
3666
. 1
Langkah 3. Menghitung
0237 .
4
x
f Karena
01 .
4
x
f
, maka iterasi dilanjutkan kembali dengan nilai tebakan baru.
Iterasi 4
Langkah 2. Menghitung
3 4
3 4
4 3
5
x f
x f
x f
x x
f x
x
4312 .
0237 .
4312 .
3666 .
1 0237
. 3388
. 1
4549 .
6210 .
3652
. 1
Langkah 3. Menghitung
000271 .
5
x f
Karena
01 .
5
x
f
, maka iterasi dilanjutkan kembali dengan nilai tebakan baru.
.
Iterasi 5
Langkah 2. Menghitung
4 5
4 5
5 4
6
x f
x f
x f
x x
f x
x
0237 .
000271 .
0237 .
36521 .
1 000271
. 36662
. 1
023971 .
032725 .
36523
. 1
Langkah 3. Menghitung
2 0000002215
.
6
x f
Karena
01 .
6
x
f
, maka iterasi dihentikan.
Dengan menggunakan program MATLAB, maka untuk setiap iterasi dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
i p0
p1 p
e 1 1.00000 2.00000 1.26316 1.60227
2 2.00000 1.26316 1.33883 -0.43036 3 1.26316 1.33883 1.36662 0.02291
4 1.33883 1.36662 1.36521 -0.00030 5 1.36662 1.36521 1.36523 -0.00000
Jadi, hampiran akar persamaan 10
4
2 3
x
x x
f adalah
36523 .
1
x
51