Persamaan Kuadrat Definisi 2.1 METODE BISEKSI DAN METODE SECANT
Definisi 2.3
Diberikan persamaan
1 1
1
... a
x a
x a
x a
x f
y
n n
n n
p
disebut akar
persamaan dari
y
bila dan hanya bila
...
1 1
1
a p
a p
a p
a p
f
n n
n n
Contoh 2.3
1 2
x
x f
y
Memiliki akar, yaitu
2 1
p
, sehingga
p
f
.
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien real dapat memilki sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, dimana akar-akar
yang dimaksud dapat berbentuk bilangan real atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya.
Definisi 2.4 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk,
bi a
dimana
a
dan
b
adalah bilangan real dan
1
2
i
. Bilangan kompleks biasa dilambangkan dengan huruf
z
, huruf a dan
b
menyatakan bilangan real, sehingga dapat diwujudkan sebagai:
bi a
z
Jika
b
,
z
disebut bilangan imaginer. Jika
b
dan
a
,
z
disebut bilangan imaginer murni.
Jika
b
,
z
merupakan bilangan real. Jika
b
dan
a
, maka
z
adalah bilangan 0 pada ℝ maupun pada ℂ.
Dengan demikian, terlihat bahwa ℝ adalah himpunan bagian dari ℂ, atau bilangan real adalah kejadian khusus dari bilangan kompleks.
Contoh 2.4
5 3
4
adalah bilangan imaginer.
i 3
2
adalah bilangan imaginer murni.
Definisi 2.5 Diskriminan suatu persamaan kuadrat dirumuskan
ac b
D 4
2
.
Sifat-sifat diskriminan adalah sebagai berikut: 1. Jika diskriminan bernilai positif, akan terdapat dua akar berbeda yang
keduanya merupakan bilangan real, yakni:
a ac
b b
x 2
4
2 1
, dan a
ac b
b x
2 4
2 2
Bukti: Misalkan diberikan rumus kuadrat
c bx
ax y
2
, dengan
a
,
c
b a
, ,
ℝ .
Misalkan x akar dari persamaan tersebut, maka
2
c
bx ax
c bx
ax
2
a c
x a
b x
2
Dengan melengkapkan kuadrat, persamaan di atas akan diperoleh
2 2
2
2 2
a
b a
c a
b x
a b
x
2 2
2
4 2
a b
a c
a b
x
2 2
2
4 4
2 a
b ac
a b
x
Dengan menarik akar, diperoleh
a ac
b a
b x
2 4
2
2
a
ac b
a b
x 2
4 2
2
a
ac b
b x
2 4
2
1 Karena
D
, maka nilai x ada, yaitu:
a ac
b b
x 2
4
2 1
, dan a
ac b
b x
2 4
2 2
2. Jika diskriminan bernilai nol, terdapat satu akar yang merupakan bilangan real, yaitu
a b
x 2
Bukti: Diketahui persamaan 1, yaitu
a ac
b b
x 2
4
2
Karena
D
, maka persamaan 1, menjadi
a b
x 2
a b
x 2
Jadi, nilai x ada, yaitu
a b
x 2
. 3. Jika diskriminan bernilai negatif, maka tidak terdapat akar real tetapi
terdapat dua buah akar kompleks, yakni:
a b
ac i
b x
2 4
2 1
dan a
b ac
i b
x 2
4
2 2
Bukti: Diketahui persamaan 1, yaitu
a ac
b b
x 2
4
2
Karena
D
, maka persamaan 1, menjadi
a b
ac b
x 2
4
2
a
b ac
b x
2 4
1
2
a
b ac
i b
x 2
4
2
Jadi, nilai x berupa akar kompleks, yaitu
a b
ac i
b x
2 4
2 1
dan a
b ac
i b
x 2
4
2 2
Contoh 2.5
1. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai positif Diberikan persamaan parabola
2 5
2
2
x
x y
Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien
2
a
, koefisien
5
b
, koefisien
2
c
. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut adalah
ac b
D 4
2
9 2
2 4
5
2
D
Karena diskriminan positif, maka akar persamaannya berupa dua buah bilangan real, yakni:
a ac
b b
x 2
4
2 1
2 2
2 2
4 5
5
2
2 2
9 5
5 .
a ac
b b
x 2
4
2 2
2 2
2 2
4 5
5
2
2 2
9 5
2
Jadi, akar persamaannya adalah 5
.
1
x dan
2
2
x .
2. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai nol Diberikan persamaan parabola
9 6
2
x
x y
Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien
1
a
, koefisien
6
b
, koefisien
9
c
. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut adalah
ac b
D 4
2
9 1
4 6
2
D
Karena diskriminan bernilai nol, maka terdapat satu akar yang merupakan bilangan real, dimana nilainya adalah
a b
x 2
3 1
2 6
Jadi, akar persamaannya adalah
3
x
3. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai negatif Diberikan persamaan parabola
2
2
x
x y
Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien
1
a
, koefisien
1
b
, koefisien
2
c
. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut adalah
ac b
D 4
2
4 2
1 4
1
2
D Karena diskriminan negatif, maka akar persamaannya berupa dua buah
bilangan kompleks, yakni:
a b
ac i
a b
x 2
4 2
2
1 2
1 2
1 4
1 2
1
2
i
2
7 5
. i
a b
ac i
a b
x 2
4 2
2
1 2
1 2
1 4
1 2
1
2
i
2
7 5
. i