METODE MÜLLER MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL NON LINEAR
2. Menentukan persamaan parabola yang melalui ,
x f
x ,
,
1 1
x f
x dan
,
2 2
x f
x . Untuk mendapatkan persamaan parabola tersebut
akan dicari koefisien-koefisien persamaan parabola. 3. Menentukan titik potong parabola dengan sumbu
x
.
Langkah 1
Menentukan tiga hampiran awal, yaitu x
,
1
x dan
2
x . Selanjutnya mencari nilai
x f
,
1
x f
dan
2
x f
dari ketiga hampiran itu, dimana ketiga hampiran itu tidak boleh menyebabkan
x f
,
1
x f
dan
2
x f
saling meniadakan atau nol, karena jika salah satu diantara x
f ,
1
x f
atau
2
x f
bernilai nol, hal itu berarti akar persamaannya sudah diperoleh. Selama iterasi, nilai
x f
,
1
x f
dan
2
x f
tidak boleh tepat sama.
Langkah 2
Setelah mendapatkan nilai x
f ,
1
x f
dan
2
x f
, selanjutnya mencari persamaan parabola yang melalui titik
, x
f x
, ,
1 1
x f
x dan
,
2 2
x f
x , misalkan disebut titik
, , b
a
dan c . Setelah melewati tahap tersebut, berikutnya mencari perpotongan antara kurva parabola
dengan sumbu
x
.
Pendekatan kurva parabola yang melalui titik ,
x f
x ,
,
1 1
x f
x dan
,
2 2
x f
x dapat dilakukan dengan menggunakan
persamaan parabola, yaitu: c
x x
b x
x a
x f
2 2
2
3.1 Persamaan parabola di atas menggunakan parameter
2
x karena nilai
pendekatan berikutnya yaitu
3
x diperoleh dari perpotongan kurva parabola
yang melalui titik x
f ,
1
x f
dan
2
x f
dengan sumbu
x
. Polinomial tersebut melalui titik
, x
f x
, ,
1 1
x f
x dan
,
2 2
x f
x , sehingga
diperoleh tiga persamaan, yakni:
c x
x b
x x
a x
f
2 2
2
3.2 c
x x
b x
x a
x f
2 1
2 2
1 1
3.3 c
x x
b x
x a
x f
2 2
2 2
2 2
, atau c
x f
2
3.4 Dari persamaan di atas, diperoleh tiga persamaan dan dapat dicari
koefisien a ,
b
, dan c yang tidak diketahui. Untuk mencari koefisien a dan
b
yang belum diketahui, dapat dilakukan dengan mensubstitusikan persamaan 3.4 ke dalam persamaan
3.2, sehingga diperoleh
c x
x b
x x
a x
f
2 2
2 2
2 2
2
x f
x x
b x
x a
atau
2 2
2 2
x x
b x
x a
x f
x f
3.5 Dengan mensubstitusikan persamaan 3.4 ke dalam persamaan 3.3,
diperoleh c
x x
b x
x a
x f
2 1
2 2
1 1
2 2
1 2
2 1
x f
x x
b x
x a
atau
2 1
2 2
1 2
1
x x
b x
x a
x f
x f
3.6
Selanjutnya akan ditentukan jarak antara nilai tebakan awal, yaitu antara
1
x dengan x
dan
2
x dengan
1
x , misalkan:
1
x x
h
3.7
dan
1 2
1
x x
h
3.8
Dari persamaan 3.7 dan 3.8 diperoleh
2 1
x x
h h
atau
1 2
h h
x x
3.9 Didefinisikan,
1 1
x x
x f
x f
=
1
h x
f x
f
, sehingga
1
x f
x f
h
3.10
1 2
1 2
1
x x
x f
x f
=
1 1
2
h x
f x
f
, sehingga
1 2
1 1
x f
x f
h
3.11
Selanjutnya dari persamaan 3.10 dan 3.11, diperoleh
1 2
1 1
1
x f
x f
x f
x f
h h
atau
2 1
1
x f
x f
h h
atau
1 1
2
h h
x f
x f
3.12
Dengan demikian, dari persamaan 3.5, 3.9 dan 3.12 didapat
2 2
2 2
x x
b x
x a
x f
x f
atau
1 2
1 1
1
h h
b h
h a
h h
atau
1 2
1 1
1
h h
b h
h a
h h
3.13 dan dari persamaan 3.6, 3.8, dan 3.11 diperoleh
2 1
2 2
1 2
1
x x
b x
x a
x f
x f
atau
1 2
1 1
1
h b
h a
h
atau
1 2
1 1
1
h b
h a
h
3.14 Selisih persamaan 3.13 dan 3.14 akan menghasilkan
1 1
h h
1 2
1 1
2 1
1 1
h b
h a
h h
b h
h a
h
1 2
2 h
b h
h a
h a
h
3.15
Bila persamaan 3.14 dikalikan h
dan dari persamaan 3.15 dikalikan
1
h , diperoleh
1 2
1 1
1
h bh
h ah
h h
3.16
1 2
1 1
2 1
2 h
bh h
ah h
ah h
h
3.17 Selisih dari persamaan 3.16 dan persamaan 3.17 akan menghasilkan
1 1
1 1
h h
h ah
h h
Sehingga persamaannya menjadi
1 1
1 1
1 2
1 1
1
h
a b
b h
a h
b h
a h
1 1
h h
a
3.18 Dari persamman 3.14 diperoleh
atau 3.19
Dengan demikian, nilai parameter a ,
b
, dan c pada persamaan 3.1 adalah
1 1
h h
a
1 1
ah b
dan
2
x f
c
Langkah 3
Selanjutnya dari persamaan 3.1 akan dicari titik potong dengan sumbu x , yaitu
2 2
2
c
x x
b x
x a
3.20 Bila
3
x disubstitusikan ke dalam persamaan 3.20 menjadi
2 3
2 2
3
c
x x
b x
x a
3.21 Dari persamaan 3.21, diperoleh rumus persamaan umum
a ac
b b
x x
2 4
2 2
3
3.22
Dalam hal
ac b
4
2
dimana
2
b
sangat besar dibandingkan dengan
ac 4
, maka selisih pembilang akan sangat kecil sehingga kesalahan akibat
ac b
b c
ac b
b a
ac ac
b b
a ac
b b
ac b
b ac
b b
a ac
b b
x x
4 2
4 2
4 4
2 4
4 4
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3
ac b
b c
x x
ac b
b c
x x
4 2
4 2
2 2
3 2
2 3
pembulatan menjadi besar. Hal ini disebabkan karena masalah kesalahan pembulatan yang disebabkan oleh pengurangan angka hampir sama. Oleh
karena itu akan digunakan cara lain, yaitu
3.23
3.24
Dengan menggunakan rumus kuadratis 3.24 , kedua akar real dan kompleks dapat ditemukan. Hal ini merupakan kelebihan dari metode
Müller. Sebagai tambahan, persamaan 3.23 menunjukkan keteraturan untuk menentukan aproksimasi galat. Karena sisi kiri merupakan selisih
antara pendekatan akar saat ini
3
x dan pendekatan sebelumnya
2
x , maka galatnya adalah:
100
3 2
3
x x
x
a
ε
Dalam metode Müller, diusahakan
3
x berdekatan dengan
2
x ,
artinya nilai pecahan ac
b b
c 4
2
2
diusahakan sekecil-kecilnya atau nilai
penyebut diusahakan sebesar-besarnya. Jadi, tanda di depan ac
b 4
2
harus dipilih sama dengan tanda
b
. Dari rumus di atas, tampak bahwa akar kompleks dapat juga diperoleh dengan metode Müller. Jika
3
x dan
galatnya telah diperoleh, maka iterasinya berhenti. Namun bila galatnya masih terlalu besar, maka iterasinya diulangi lagi menggunakan rumus
3.18,3.19, dan 3.24 untuk memperoleh
3
x yang baru.
Strategi untuk memilih nilai
x
mana yang masih dipakai dalam iterasi adalah sebagai berikut:
1. Jika yang akan dicari hanya akar real saja, maka dipilih dua titik yang paling dekat dengan
3
x .
2. Jika yang dicari adalah akar real maupun akar kompleks, maka
1
x menggantikan
x ,
2
x mengantikan
1
x , dan
3
x menggantikan
2
x .