Eksponen Titik Keluar Dari Sebuah Kelas Digraf Dwiwarna Primitif Atas n-Titik
EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-TITIK GANJIL
SKRIPSI
MARDHA TILLAH 090803044
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-TITIK GANJIL
SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
MARDHA TILLAH 090803044
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
i
Judul
: EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS
DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK
GANJIL
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: MARDHA TILLAH
Nomor Induk Mahasiswa : 090803044
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Oktober 2013
Komisi Pembimbing : Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19640109 198803 1 004
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ii
EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK GANJIL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2013
MARDHA TILLAH 090803044
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
iii
Besar rasa syukur kepada Sang Khaliq dengan limpahan rahmat dan kasih sayang-Nya memberikan keluasan waktu serta kesempatan bagi saya untuk menyelesaikan penelitian ini dengan judul ”EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK GANJIL” . Serta salawat dan salam kepada baginda Rasul Muhammad SAW yang sampai detik ini merupakan panutan terbaik bagi setiap manusia.
Serangkai ucapan terima kasih saya hanturkan kepada Ibunda Sabariah, Ibunda Waliyah dan Ayahanda Alm.H.Amiruddin Tholib yang tanpa pernah lelah menyayangi, menjaga, merawat serta mendoakan dalam setiap langkah. Semoga Ibunda dan Ayahanda tercinta selalu berada dalam cinta dan lindungan-Nya. Kepada Bapak Prof.Saib Suwilo,M.Sc selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra.Mardiningsih,M.Si selaku dosen pembimbing II terima kasih atas segala bentuk bimbingan dan motivasi dalam menyelesaikan penelitian ini sebagai tugas akhir akademik, dan kepada Bapak Prof.Tulus,M.Si dan Bapak Drs.Ariswoyo,M.Si selaku dosen penguji, terima kasih atas segenap sarannya. Kepada Bapak Prof.Dr.Sutarman,M.Sc, selaku Dekan FMIPA USU, Bapak Prof.Dr.Tulus,M.Si dan Ibu Dra.Mardiningsih,M.Si, selaku Ketua Departemen dan Sekretaris Departemen FMIPA USU serta seluruh Staf Pengajar yang telah memberikan pengetahuan-pengetahuan akademik dan seluruh Staf Departemen Matematika yang turut mempermudah jalannya proses penyelesaian tugas akhir ini. Semoga selalu dalam Rahmat dan Karunia-Nya.
Terima kasih kepada seluruh abanganda tercinta Ahmad Aulia,S.Pd, Afzar Aulia, Alfi Syahrin,S.E, dr.Ibnu Hasyim, Ir.Anshor Khawari, dan abanganda Rafiq Kahfi serta adikku tercinta Samanthi Hibbah yang selalu memberikan motivasi, dukungan moral dan materi, serta doa yang tak pernah henti, semoga selalu dalam lindungan dan Rahmat Allah SWT, dan kepada sahabatku Anggita Fathimah Siregar yang tak pernah bosan mendengar segala keluh kesah perjalanan tugas akhir ini serta selalu mengingatkan bahwa pelajaran yang takkan habis dalam hidup ini adalah bab ikhlas, bab adil, dan bab sabar, terima kasih atas segala dukungannya. Semoga segala impianmu dapat terwujud. Kepada sahabat-sahabat Ilham Firdaus Siregar, Dewi Uli Sinulingga, dan teman-teman seperjuangan 1708 di pesantren Ar-Raudhatul yang ikut memberikan dukungan, terima kasih atas segala bantuan, motivasi serta doanya. Semoga visi dan misi hidup kita berjalan dalam Ridho-Nya.
Tak lupa pula penulis berterima kasih kepada Wiwit, Nisa, Desi, Sari, Defi, Best, Isah, Dika, Ida,dan Wirda yang selalu ada dalam suka duka di awal perkuliahan hingga penyelesaian tugas akhir ini,kepada Putri dan Sarah terima kasih krna tak pernah bosan menjadi tempat bertanya persoalan akademik. Kepada teman-teman kelas murni Panca , Bakti , Lukas , Jundi , Vela , Fitri , dan Zati terima kasih atas kesolidaritasannya. Kepada Yudha, Fendi, Gilang , Dhani , Iman , Adinda Lita , Organisasi IM3, teman-teman sejawad dan seperjuangan selama perkuliahan yang tak
Universitas Sumatera Utara
iv bisa disebutkan namanya satu persatu oleh penulis, terima kasih atas ikatan pertemanan dan silaturrahmi yang dijalani bersama. Semoga tali silaturrahmi ini dapat terjalin tanpa batas waktu.
Sebagai manusia, sudah tentu banyak kekurangan penulis dalam bentuk apapun, baik dalam silaturrahmi ataupun dalam penulisan tugas akhir ini penulis hanturkan segenap permintaan maaf dan harapan dalam menyelesaikan tulisan ini semoga berguna bagi pembaca. Akhir kata, ribuan terima kasih penulis hanturkan atas segala doa dan dukungan pembaca. Wassalam.
Medan, Oktober 2013 Penulis MARDHA TILLAH
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif
g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari
u ke v. Bilangan bulat positif g + h terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif
g dan h disebut eksponen dari digraf dwiwarna D(2), dinotasikan dengan expD(2)(v). Andaikan v adalah sebuah titik di D(2). Eksponen titik keluar v pada D(2) adalah
bilangan bulat positif terkecil g + h sehingga terdapat (g, h)-walk dari titik v ke setiap
titik di D(2), dinotasikan dengan expoutD(2) (v). Penelitian ini mempelajari eksponen titik keluar dari sebuah kelas digraf dwiwarna primitif D(2) atas n ≥ 5 titik ganjil yang
terdiri
dari
n-cycle
v1
→
vn
→
vn−1
→
···
→
v2
→
v1
dan
tepat
satu
arc
v1
→
v n+1 . 2
Andaikan vk, k = 1, 2, ..., n adalah sebuah titik di D(2). Diperlihatkan bahwa jika
arc biru berturut-turut terletak pada arc v2 → v1 dan arc v1 → vn di D(2) , maka
eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna D(2) adalah expoutD(2)(vk) = n2 − n − 2 + k
untuk semua k = 1, 2, ..., n .Jika arc biru berturut-turut terletak pada arc v n+3 → v n+1
22
dan arc v n+1 → v n−1 , maka eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna primitif D(2)
22
adalah
expoutD(2) (vk )
=
2n2 −3n−2+2k 2
untuk
semua
k
= 1, 2, ..., n.
Kata kunci : Digraf dwiwarna, primitif, eksponen titik dan eksponen titik keluar.
Universitas Sumatera Utara
vi
THE OUTER VERTEX EXPONENTS OF A CLASS OF PRIMITIVE TWO COLORED DIGRAPHS ON n-ODD VERTEX
ABSTRACT
A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integer g and
h such that for each pair of vertices u and v there is a (g, h)-walk from vertex u to
vertex v. The smallest positive integer g + h taken over all such nonnegative integers
g and h is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v
be a vertex of D(2). The outer vertex exponent v is the smallest positive integer g + h
there is a (g, h)-walk from v to every vertex in D(2), denoted by expoutD(2) (v). This study explains about the outer vertex exponent of primitive two colored-digraph D(2)
on n ≥ 5 odd vertices consisting the n-cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 and blue arc v1 → v n+1 . Let vk be a vertex of D(2). We show that if two consecutive blue
2
arcs lies on arc v2 → v1 and arc v1 → vn in D(2), then the outer vertex exponents is
expoutD(2)(vk) = n2 − n − 2 + k for all k = 1, 2, ..., n. If two consecutive blue arcs
lies on arc v n+3 → v n+1 and arc v n+1 → v n−1 , then the outer vertex exponents is
22
22
expoutD(2)(vk) =
2n2 −3n−2+2k 2
for
all
k
= 1, 2, ..., n.
Key words : Two-colored digraph, primitive, vertex exponent and outer vertex exponent.
Universitas Sumatera Utara
vii
PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
DAFTAR ISI
Halaman i ii
iii v vi vii viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian 1.2 Masalah Penelitian 1.3 Tinjauan Pustaka 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Manfaat Penelitian
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
2.1 Definisi 2.2 Matriks Adjacency 2.3 Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat 2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna 2.5 Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna 2.6 Sistem Persamaan Diophantine 2.7 Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Menentukan Eksponen Titik Keluar 3.2 Pembuktian Bentuk Umum Eksponen Titik Keluar
BAB 4 EKSPONEN TITIK KELUAR
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
1 2 3 5 6
7 10 12 16 24 26 28
31 31
33
42 42
43
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
viii
Gambar
1.1 Karakter Pertama D(2) 1.2 Karakter Kedua D(2) 2.1 Digraf dengan 4 titik dan 6 arc 2.2 Digraf dwiwarna dengan 6 titik dan 8 arc 2.3 Digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 2.4 Digraf terhubung kuat dan primitif 2.5 Digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 2.6 Digraf dwiwarna terhubung kuat dan primitif 2.7 Digraf dengan 3 titik dan 4 arc 4.1 Digraf dwiwarna D(2) Tipe A 4.2 Digraf dwiwarna D(2) Tipe B
Halaman
5 5 8 9 12 13 14 15 20 34 34
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif
g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari
u ke v. Bilangan bulat positif g + h terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif
g dan h disebut eksponen dari digraf dwiwarna D(2), dinotasikan dengan expD(2)(v). Andaikan v adalah sebuah titik di D(2). Eksponen titik keluar v pada D(2) adalah
bilangan bulat positif terkecil g + h sehingga terdapat (g, h)-walk dari titik v ke setiap
titik di D(2), dinotasikan dengan expoutD(2) (v). Penelitian ini mempelajari eksponen titik keluar dari sebuah kelas digraf dwiwarna primitif D(2) atas n ≥ 5 titik ganjil yang
terdiri
dari
n-cycle
v1
→
vn
→
vn−1
→
···
→
v2
→
v1
dan
tepat
satu
arc
v1
→
v n+1 . 2
Andaikan vk, k = 1, 2, ..., n adalah sebuah titik di D(2). Diperlihatkan bahwa jika
arc biru berturut-turut terletak pada arc v2 → v1 dan arc v1 → vn di D(2) , maka
eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna D(2) adalah expoutD(2)(vk) = n2 − n − 2 + k
untuk semua k = 1, 2, ..., n .Jika arc biru berturut-turut terletak pada arc v n+3 → v n+1
22
dan arc v n+1 → v n−1 , maka eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna primitif D(2)
22
adalah
expoutD(2) (vk )
=
2n2 −3n−2+2k 2
untuk
semua
k
= 1, 2, ..., n.
Kata kunci : Digraf dwiwarna, primitif, eksponen titik dan eksponen titik keluar.
Universitas Sumatera Utara
vi
THE OUTER VERTEX EXPONENTS OF A CLASS OF PRIMITIVE TWO COLORED DIGRAPHS ON n-ODD VERTEX
ABSTRACT
A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integer g and
h such that for each pair of vertices u and v there is a (g, h)-walk from vertex u to
vertex v. The smallest positive integer g + h taken over all such nonnegative integers
g and h is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v
be a vertex of D(2). The outer vertex exponent v is the smallest positive integer g + h
there is a (g, h)-walk from v to every vertex in D(2), denoted by expoutD(2) (v). This study explains about the outer vertex exponent of primitive two colored-digraph D(2)
on n ≥ 5 odd vertices consisting the n-cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 and blue arc v1 → v n+1 . Let vk be a vertex of D(2). We show that if two consecutive blue
2
arcs lies on arc v2 → v1 and arc v1 → vn in D(2), then the outer vertex exponents is
expoutD(2)(vk) = n2 − n − 2 + k for all k = 1, 2, ..., n. If two consecutive blue arcs
lies on arc v n+3 → v n+1 and arc v n+1 → v n−1 , then the outer vertex exponents is
22
22
expoutD(2)(vk) =
2n2 −3n−2+2k 2
for
all
k
= 1, 2, ..., n.
Key words : Two-colored digraph, primitive, vertex exponent and outer vertex exponent.
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Penelitian mengenai eksponen digraf dwiwarna telah banyak dilakukan. Shader dan Suwilo (2003) adalah yang pertama sekali melakukan penelitian tersebut. Pada tahun 2002 , Wielandt ( Schneizer,H ) melakukan penelitian mengenai eksponen matrik tak negatif. Andaikan A adalah sebuah matriks tak negatif berordo n × n. Matriks tak negatif A dikatakan primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga Ak bernilai positif dan bilangan bulat terkecil k disebut sebagai eksponen dari A.
Selanjutnya Digraf D(A) adalah sejumlah titik yang terhubung dengan garis berarah (arc) pada setiap pasang titik (vi, vj) di D(A) jika dan hanya jika entri dari matriks tak negatif A, yaitu ai,j > 0, untuk i, j = 1, 2, · · · , n. Digraf D(A) dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik (vi, vj) di D(A) terdapat walk dari vi ke vj dan dari vj ke vi dengan i, j = 1, 2, · · · , n. Suatu digraf D(A) dikatakan primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan titik (vi, vj) terdapat walk dengan panjang l, maka bilangan bulat terkecil l disebut sebagai eksponen dari digraf D(A) yang dinotasikan sebagai exp(D) (Brualdi dan Ryser,1991). Eksponen titik dari digraph D(A) adalah jumlah walk dengan panjang minimum l′ yang menghubungkan titik vk, k = 1, 2, · · · , n ke setiap titik di D(A), dinotasikan dengan expD(vk).
Pada tahun 1997, Fornasini dan Valcher mendefinisikan digraf dwiwarna sebagai berikut. Digraf dwiwarna D(2) merupakan suatu digraf yang setiap arcnya diberi warna merah atau biru. Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif
1 Universitas Sumatera Utara
2
jika terdapat suatu bilangan bulat tak negatif m dan n dengan m + n > 0 sehingga untuk setiap pasang titik (vi, vj) di D(2) terdapat (m, n)-walk dari vi ke vj dan walk dari vj ke vi, dengan m dan n masing-masing merupakan jumlah arc merah dan arc biru, kemudian bilangan bulat positif terkecil dari m + n disebut sebagai eksponen digraf dwiwarna D(2) yang dinotasikan dengan expD(2) (Shader dan Suwilo,2003). Eksponen titik dari digraph dwiwarna D(2) adalah jumlah walk dengan panjang minimum m′ + n′ yang menghubungkan titik vk, k = 1, 2, · · · , n ke setiap titik di D(2) , untuk m′ dan n′ masing-masing adalah jumlah arc merah dan arc biru, dinotasikan dengan expD(2)(vk).
Pada tahun 2009 Gao dan Shao mulai memperkenalkan konsep eksponen lokal. Andaikan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna primitif. Eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna adalah bilangan bulat positif terkecil g + h sehingga terdapat (g, h)-walk untuk setiap pasang titik vk, k = 1, 2, · · · , n ke setiap titik di D(2), dinotasikan dengan expoutD(2)(vk) . Sedangkan eksponen titik masuk dari digraf dwiwarna adalah bilangan bulat positif terkecil g′ + h′ sehingga terdapat (g′, h′)-walk untuk setiap titik di D(2) ke titik vk di D(2), dinotasikan dengan expinD(2)(vk) .
Bai dan Shao (2007) melakukan penelitian menentukan eksponen dari kelas
digraf dwiwarna dengan n-titik ganjil dengan batasan eksponen serta karakteristik
ekstermal dari digraf dwiwarna D(2) yang primitif atas n-titik ganjil yang memiliki
dua
cycle
yakni
n-cycle
dan
1 2
(n
+
1)-cycle.
Sedangkan
penelitian
kali
ini
meneruskan
penelitian yang dilakukan oleh Bai dan Shao untuk menentukan eksponen titik keluar
dari digraf dwiwarna D(2).
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna yang primitif atas n-titik ganjil. Kemudian, mencari bagaimana pola dari eksponen titik keluar untuk setiap titik vk pada ekstermal digraf dwiwarna D(2).
Universitas Sumatera Utara
3
1.3 Tinjauan Pustaka
Pada digraf dwiwarna, komponen terpenting dari sebuah walk ditentukan oleh jumlah
busur merah dan busur biru. Sebuah (h, k)-walk adalah sebuah walk yang terdiri
dari h buah busur berwarna merah dan k buah busur berwarna biru. Andaikan
w adalah sebuah walk dari digraf dwiwarna, dengan r(w) adalah banyaknya busur
berwarna merah dari w dan b(w) adalah banyaknya busur berwarna biru. Sehingga
r(w)
vektor
disebut sebagai komposisi dari w.
b(w)
Andaikan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna terhubung kuat dan C =
{c1, c2, ...., ct} adalah himpunan semua cycle di D(2). Sebuah matriks cycle dari D(2)
adalah sebuah matriks 2 × t dalam bentuk
S = r(c1)
r(c2)
...
r(ct)
b(c1) b(c2) ... b(ct)
setiap kolom ke-i dengan i = 1, 2, ..., t dari matriks tersebut adalah komposisi dari
cycle ct. Fornansi Valcher (1997) memberikan karakteristik secara aljabar bagi prim-
itifitas digraf dwiwarna. Sebuah digraf dwiwarna terhubung kuat adalah primitif jika
dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari
S adalah 1.
Andaikan D(2) merupakan digraf dwiwarna yang terdiri dari 2 cycle, sehingga
setiap walk pada D(2) dapat didekomposisi kedalam path pi,j dari titik vi ke setiap
titik vj dengan menggunakan sistem persamaan berikut
S x1 + r(pi,j) = g , i, j = 1, 2, ..., n
x2 b(pi,j ) h
untuk memperoleh solusi bulat tak negatif x1, x2 ≥ 0.
Penelitian mengenai eksponen digraf dwiwarna dimulai oleh Shader dan Suwilo
(2003). Pada penelitian tersebut Shader dan Suwilo (2003) memperlihatkan bahwa
Universitas Sumatera Utara
4
bila D(2) adalah digraf dwiwarna yang primitif atas n-titik, maka eksponen terbesar
D(2)
terletak
pada
interval
[
1 2
(n3
−
5n2),
1 2
(3n3
−
2n2
−
2n)].
Bai dan Shao (2007) melakukan penelitian menentukan eksponen dari kelas
digraf dwiwarna dengan n-titik ganjil dengan batasan eksponen serta karakteristik
ekstermal dari digraf dwiwarna D(2) yang primitif atas n-titik ganjil yang memiliki 2
cycle
yakni
n-cycle
dan
1 2
(n
+
1)-cy
cle.
Gao dan Shao (2009) melakukan penelitian menentukan eksponen lokal keluar dari titik-titik pada digraf dwiwarna tipe Wiedlant. Gao dan Shao mendefinisikan eksponen lokal sebagai walk dengan komposisi sama yang berasal dari satu titik tertentu dan menuju kesemua titik lainnya. Suwilo (2011) menentukan eksponen lokal keluar dari titik-titik pada digraf ministrong ekstermal dwiwarna, sedangkan Syahmarani dan Suwilo (2012) menentukan eksponen lokal keluar dari digraf Hamilton dwiwarna dengan eksponen terbesar dan dengan eksponen terkecil.
Bai dan Shao membagi digraf dwiwarna D(2) berdasarkan warna arc yang terletak
pada
arc
v1
→
v1 2
(n+1)
menjadi
dua
tipe
yakni
:
1.
Tipe
pertama,
jika
arc
v1
→
v1 2
(n+1)
berwarna
biru
maka
batasan
eksponen
terletak
pada
[
1 2
(4n2
−
n
−
1),
4n2
−
5n]
.
2.
Tipe
kedua,
jika
arc
v1
→
v1 2
(n+1)
berwarna
merah
maka
batasan
eksponen
terletak
pada
[
1 2
(4n2
−
3n
+
1),
4n2
−
6n].
Penelitian kali ini bertujuan untuk menentukan bentuk umum eksponen titik keluar dari ekstermal digraf dwiwarna yang primitif atas n-titik ganjil dari tipe kedua dengan dua arc biru berturut-turut pada penelitian yang dilakukan oleh Bai dan Shao. Dalam hal ini terdapat dua karakter posisi arc biru berturut-turut yaitu :
1. arc biru tepat berada pada posisi arc v2 → v1 dan arc v1 → vn
Universitas Sumatera Utara
5
Gambar 1.1 : Karakter Pertama D(2)
2.
arc
biru
tepat
berada
pada
posisi
arc
v1 2
(n+1)
→
v1 2
(n−1)
dan
arc
v1 2
(n+3)
→
v1 2
(n+1)
Gambar 1.2 : Karakter Kedua D(2)
1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan bentuk umum eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna yang primitif dengan n-titik ganjil dan dua arc biru berturutturut berdasarkan warna arc.
Universitas Sumatera Utara
1.5 Manfaat Penelitian
6
Penelitian ini dilakukan untuk memperkaya literature dan menambah pengetahuan mengenai eksponen digraf dwiwarna dengan n-titik ganjil yang primitif.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitif itas, terhubung kuat, eksponen dan eksponen titik.
2.1 Definisi
Sub-bab ini akan membahas definisi tentang digraf dan digraf dwiwarna secara keseluruhan.
2.1.1 Digraf
Andaikan V adalah sebuah himpunan berhingga yang tak kosong yang disebut sebagai titik (vertex) dan E adalah himpunan pasangan berurut dari titik V yang disebut sebagai edge, maka graf adalah suatu objek yang dibentuk dari himpunan V ,dan himpunan E ⊆ V × V yang unsurnya disebut sebagai edge.
Digraf D adalah objek yang dibentuk dari himpunan V , dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut sebagai arc dari D. Jika (u, v)∈ A merupakan sebuah arc pada digraf D, maka u sebagai titik awal dan v sebagai titik akhir. Titik V direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil sedangkan arc direpsentasikan dalam bentuk garis berarah.
Barisan sejumlah titik v1, v2, ..., vm sehingga terdapat arc dalam D yang menghubungkan titik vi ke titik vi+1 untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., m − 1 disebut sebagai walk dengan panjang m > 0 pada suatu digraf D. Dapat ditulis sebagai berikut
7 Universitas Sumatera Utara
8 v1 → v2 → v3 → ... → vm untuk v1 = vm maka disebut walk terbuka. Suatu walk yang tidak mengalami perulangan titik disebut sebagai path, sedangkan suatu path tertutup disebut sebagai cycle dan cycle yang memiliki panjang 1 disebut sebagai loop. Contoh 2.1.1 Berikut merupakan representasi dari definisi diatas.
Gambar 2.1 : Digraf dengan 4 titik dan 6 arc Digraf diatas memperlihatkan walk , path, cycle, dan loop sebagai berikut:
a. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 adalah walk terbuka b. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 → v3 → v1 adalah walk tertutup namun bukan path c. v1 → v2 → v3 → v4 adalah path terbuka d. v1 → v2 → v3 → v1 adalah path tertutup atau disebut cycle e. v1 → v1 adalah loop 2.1.2 Digraf Dwiwarna
Suatu digraf yang setiap arc-nya berwarna biru atau merah dan tidak keduanya pada satu arc disebut sebagai digraf dwiwarna. Digraf dwiwarna dibentuk oleh himpunan vertex V , himpunan R ⊆ V × V yang unsurnya adalah arc berwarna merah, dan B ⊆ V × V yang unsurnya adalah arc berwarna biru. Digraf Dwiwarna dinotasikan dengan D(2).
Universitas Sumatera Utara
9
Arc merah (u, v) direpresentasikan dengan u →m v atau dengan tanda panah sedangkan arc biru (u, v) direpresentasikan dengan u →b v atau garis putus-putus. Contoh 2.1.2 Berikut gambar digraf dwiwarna
Gambar 2.2 : Digraf Dwiwarna dengan 6 titik 8 arc Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan himpunan vertex V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} dengan uraian sebagai berikut :
a. Himpunan arc biru B = {(v3, v4), (v4, v2), (v6, v1)} b. Himpunan arc merah R = {(v1, v2), (v2, v3), (v2, v5), (v5, v6), (v1, v1)} merupakan suatu digraf dwiwarna dengan 6 vertex, 3 arc biru dan 5 arc merah.
Pada digraf dwiwarna juga terdapat walk, path, dan cycle. Suatu (h, k)-walk
dalam digraf dwiwarna adalah sebuah walk dengan h arc merah dan k arc biru sedan-
r(w)
gkan vektor ((r(w), b(w)) atau
merupakan komposisi dari walk w, dengan
b(w)
r(w) adalah notasi dari jumlah arc merah dan b(w) adalah notasi dari jumlah arc
biru dan l(w) = r(w) + b(w) adalah panjang walk w yang merupakan jumlah dari arc
merah dan arc biru.
Seperti halnya digraf,path pada digraf dwiwarna merupakan walk yang tidak mengalami perulangan titik, namun jika titik awal sama dengan titik akhir maka disebut sebagai path tertutup atau cycle, sedangkan loop adalah cycle dengan panjang
Universitas Sumatera Utara
10
10
satu yang memiliki komposisi atau . 01
Contoh 2.1.3 Berikut adalah contoh walk, path, cycle dan loop dari Gambar 2.2. Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan :
1. v1 →m v2 →m v3 →b v4 →b v2 adalah walk terbuka.
2. v1 →m v2 →m v3 →b v4 adalah path terbuka.
3. v1 →m v2 →m v5 →m v6 →b v1 adalah cycle.
4. v1 →m v1 adalah loop dengan komposisi 1 0
2.2 Matriks Adjacency
Matriks adjacency dari digraf dan digraf dwiwarna dengan n-titik adalah suatu matriks berordo n×n yang dinotasikan dengan A dimana setiap entrinya adalah 1 atau 0.
2.1.2 Matriks Adjacency Digraf
Matriks adjacency pada Digraf D dengan n-titik yang dinotasikan sebagai A(D) =
[aij] dengan entry sebagai berikut: 1, jika terdapat arc dari vi ke vj di D
aij = 0, jika sebaliknya
untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n
Contoh 2.2.1 Berikut adalah matriks adjacency pada digraf D yang diperoleh dari Gambar 2.1
1100
0
0
1
0
1
0
0
1
0100
Universitas Sumatera Utara
2.2.2 Matriks Adjacency Digraf Dwiwarna
11
Pada digraf dwiwarna matriks adjacency dibagi menjadi 2 bagian berdasarkan warna arc yakni :
a. Matriks adjacency merah Matriks adjacency merah yang berordo n × n dinotasikan sebagai R = [rij] dengan entri adalah sebagai berikut: rij = 1, jika terdapat arc merah dari vi ke vj di D(2) 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n
Contoh 2.2.2 Berikut adalah matriks adjacency merah dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2.
110000
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
000000
b. Matriks adjacency biru Matriks adjacency biru yang berordo n × n dinotasikan sebagai B = [bij]dengan entri adalah sebagai berikut: bij = 1, jika terdapat arc biru dari vi ke vj di D(2) 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Contoh 2.2.3 Berikut adalah matriks adjacency biru dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2.
Universitas Sumatera Utara
000000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100000
12
2.3 Primitifitas Digraf dan Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
Pada subbab ini akan dibahas mengenai digraf dan digraf dwiwarna terhubung kuat dan hubungannya dengan primitifitas.
2.3.1 Primitifas Digraf Terhubung Kuat Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u.
Contoh 2.3.1 Berikut adalah digraf terhubung kuat dan tak terhubung kuat.
Gambar 2.3: (a) Terhubung Kuat
(b) Tidak Terhubung Kuat
Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa pada (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v3 ke v1.
Universitas Sumatera Utara
13 Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraf terhubung kuat maka setiap titik u di D terletak pada cycle. Bukti : Ambil sebarang titik u di D dan sebarang arc dari titik u ke v di D. Karena D adalah digraf terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D. Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D terletak pada suatu cycle.
Andaikan C = {γ1, γ2, ..., γq} merupakan himpunan semua cycle di D dan misalkan notasi l(γi) merupakan panjang semua cycle pada digraf D untuk setiap i = 1, 2, · · · , q. Suatu digraf D terhubung kuat dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari setiap panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser,1991). Contoh 2.3.2 Berikut adalah digraf terhubung kuat yang primitif.
Gambar 2.4 : Digraf Terhubung Kuat dan Primitif Pada gambar 2.4 diperlihatkan bahwa l(γ1) dari cycle v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1 adalah 5. Kemudian l(γ2) dari cycle v1 → v4 → v5 → v1 adalah 3. Dan l(γ3) dari cycle tertutup v1 ke v1 adalah 1. Sehingga diketahui bahwa pembagi persekutuan terbesar dari setiap l(γi) cycle adalah 1.
Universitas Sumatera Utara
2.3.2 Primitifitas Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
14
Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u .
Contoh 2.3.3 Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
Gambar 2.5: (a)Terhubung Kuat
(b)Tidak Terhubung Kuat
Gambar 2.5 memperlihatkan bahwa pada digraf dwiwarna (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v3 ke v1.
Lemma 2.3.2 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat maka setiap titik u di D(2) terletak pada cycle.
Bukti : Ambil sebarang titik u di D(2) dan sebarang arc dari titik u ke v di D(2). Karena D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D(2). Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D(2) terletak pada suatu cycle.
Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat suatu bilangan bulat tak negatif h dan k dengan h + k > 0 sehingga untuk setiap pasang
Universitas Sumatera Utara
titik (u, v) di D(2) terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan walk dari v ke u.
15
Andaikan C = {γ1, γ2, ..., γq} merupakan himpunan semua cycle di D(2) dan misalkan notasi l(γi) merupakan panjang semua cycle pada digraf dwiwarna D(2)
untuk setiap i = 1, 2, 3, · · · , q. S disebut sebagai matriks cycle adalah matriks yang
berordo 2 × q sebagai berikut
S = r(γ1)
r(γ2)
···
r(γq )
b(γ1) b(γ2) · · · b(γq)
Kolom ke-q dari matrik cycle S merupakan komposisi dari cycle γq dan jumlah baris pada matriks S menyatakan banyaknya warna pada D(2). Suatu digraf dwiwarna
dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-
determinan matriks minor berordo 2×2 dari S adalah 1 (Fornasini dan Valcher,1997).
Contoh 2.3.4 Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif.
Gambar 2.6 Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat dan Primitif
Dari Gambar 2.6 diatas terdapat 2 cycle yaitu cycle yang pertama v1 →m v2 →m v3 →m
v4 →b v1 dengan komposisi S1 = 3 dan cycle kedua adalah v5 →b v2 →m v3 →m v5 1
2 32
dengan komposisi S2 = , maka matriks cycle dari D(2) adalah S =
1 11
dengan det(S) = 1. Sehingga Digraf Dwiwarna pada Gambar 2.6 adalah terhubung
kuat dan primitif.
Universitas Sumatera Utara
16
2.4 Matriks Tak Negatif dan Digraf Dwiwarna
Suatu matriks A dikatakan matriks tak negatif jika untuk setiap entri dari matriks
A = [aij] bernilai tak negatif atau dapat dinotasikan dengan aij ≥ 0 . Contoh 2.4.1 Berikut adalah matriks tak negatif.
100
0
1
0
001
sedangkan matriks A dikatakan postitif, jika untuk setiap entri dari matriks A = [aij]
bernilai positif atau dapat dinotasikan dengan aij > 0 .
Contoh 2.4.2 Berikut adalah matriks positif.
147
2
5
8
369
Pada suatu digraf D, terdapat suatu bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan titik-titik u dan v terdapat walk dari u ke v dengan panjang l, maka bilangan bulat positif terkecil l disebut sebagai eksponen dari digraf D yang dinotasikan sebagai exp(D) (Brualdi dan Ryser,1991).
Proposisi 2.4 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D. Entri aikj dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang k di D.
Bukti : Andaikan A suatu matriks adjacency dari digraf D, maka setiap entri aij dari A menyatakan arc dari titik vi ke vj di D. Sehingga untuk k = 1, terdapat entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang satu di D.
Asumsikan setiap entri akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang k di D, untuk setiap k ≥ 1. Kemudian diperlihatkan setiap
Universitas Sumatera Utara
17
entri akij+1 menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang k + 1 di D, untuk setiap k ≥ 1 .
Perhatikan setiap walk dari titik vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang
terdiri dari walk vi ke vl dengan panjang k dengan l = 1, 2, 3, .., n dan dilanjutkan
dengan arc dari titik vl ke vj. Sehingga akilalj menyatakan walk dengan panjang k + 1
dari titik vi ke vj di D untuk k = 1, 2, 3, · · · , n. Jika terdapat walk dengan panjang
k dari titik vi ke vj di D, maka aikl = 0 sehingga akilalj = 0. Hal ini berarti tidak
terdapat walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj yang melalui titik vl di D.
Sehingga diperoleh jumlah walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj di D adalah
n
aki1a1j + aki2a2j + ... + aiknanj =
aiklalj
i=1
Karena Ak+1 = AkA maka akij =
n i=1
aikl
alj
.
Hal ini berakibat aikj+1
adalah benar
menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D.
Contoh 2.4.1 Berikut adalah representasi menghitung eksponen dari digraf D.
Dari Gambar 2.1 diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut.
1100
A
=
0
0
1
0
1
0
0
1
0100
Dari proposisi diatas, dengan mencari banyak walk dari titik vi ke vj dengan
panjang k, sehingga bilangan bulat positif terkecil k adalah eksponen dari digraf D.
Perhatikan matriks Ak untuk k:
1100
a.
Untuk
k
=
1,
diperoleh
A
=
0
0
1
0
1
0
0
1
0100
maka k = 1 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk
dengan panjang satu dari titik v1 ke v3, v2 ke v4, v4 ke v1, dst.
Universitas Sumatera Utara
18
1110
b.
untuk
k
=
2,
diperoleh
A2
=
1
0
0
1
1
2
0
0
0010
maka k = 2 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk
dengan panjang 2 dari titik v1 ke v4, v2 ke v2, v2 ke v3, v3 ke v4, dst.
2111
c.
Untuk
k
=
3
,
diperoleh
A3
=
1
2
0
1
1
1
2
0
1001
maka k = 3 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk
dengan panjang tiga dari titik v2 ke v3, v3 ke v4, dst.
3311
d.
Untuk
k
=
4,
diperoleh
A4
=
1
1
2
0
3
1
1
2
1200
maka k = 4 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk
dengan panjang empat dari titik v2 ke v4, v4 ke v3, v4 ke v4, dst.
4431
e.
Untuk
k
=
5,
diperoleh
A5
=
3
1
1
2
4
5
1
1
1120
maka k = 5 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk
dengan panjang lima dari titik v4 ke v4.
7543
f.
Untuk
k
=
6,
diperoleh
A6
=
4
5
1
1
5
5
5
1
3112
merupakan eksponen dari digraf, karena setiap pasang titik (vi, vj) memiliki
walk dengan panjang 6.
Universitas Sumatera Utara
19
Pada digraf dwiwarna D(2), eksponen dari digraf dwiwarna D(2), di definisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru sehingga untuk setiap pasang titik u dan v terdapat sebuah (h, k)-walk dari u ke v, eksponen dari digraf dwiwarna D(2) dinotasikan oleh exp(D(2))(Shader dan Suwilo, 2003).
Andaikan A dan B adalah suatu matriks tak negatif berordo m × m. Untuk bilangan tak negatif h dan k di definisikan (h, k)-Hurwitz product, (R, B)(h,k) adalah jumlah keseluruhan matriks dari perkalian R sebanyak h kali dan B sebanyak k kali. Contoh 2.4.2 :
(R, B)(1,0) = R dan (R, B)(2,2) = R2B2 + RBRB + RB2R + BRBR + B2R2
Lemma 2.4.1 Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari digraf dwiwarna. Maka (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari vi ke vj pada digraf dwiwarna.
Bukti : Pembuktian dilakukan dengan cara induksi, yakni jika h = 0 dan k = 1
maka (R, B)(0,1) = B merupakan walk dari vi ke vj memiliki komposisi 0 pada 1
digraf dwiwarna . Kemudian jika h = 1 dan k = 0 maka (R, B)(1,0) = R merupakan 1
walk dari vi ke vj memiliki komposisi pada digraf dwiwarna. 0
Kemudian diperlihatkan untuk semua bilangan bulat tak negatif h + k + 1 adalah benar dengan pembuktian sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
sehingga R(R, B)(h,k) menyatakan bahwa terdapat walk dari vi ke vj dengan panjang (h, k) yang diikuti dengan sebuah arc merah, sedangkan B(R, B)(h+1,k−1) menyatakan bahwa terdapat walk dari vi ke vj dengan panjang (h + 1, k − 1) yang diikuti oleh sebuah arc biru. sehingga diperoleh (R, B)(h+1,k) merupakan jumlah (h + 1, k)-walk
Universitas Sumatera Utara
20
dari vi ke vj. Contoh 2.4.3 Berikut adalah representasi menghitung eksponen digraf dwiwarna.
Gambar 2.7 : Digraf Dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc
Dari Gambar 2.7 digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif terdapat matriks ad-
010
000
jacency
merah
R
=
0
0
0
dan
matriks
adjacency
biru
B
=
1
0
1
.
100
000
Menggunakan Lemma 2.4.1, jika (R, B) adalah matriks adjacendy dari digraf dwi-
warna. Maka (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari vi ke vj pada digraf dwiwarna. Sehingga h + k merupakan eksponen dari digraf bila matriks (R, B)(h,k) adalah ma-
triks positif.
Dengan demikian perhatikan matriks adjacency merah R dan matriks adjacency biru
B adalah sebagai berikut :
1. Untuk h + k = 2 , maka diperoleh
000
a.
(R, B)(2,0)
=
R2
=
0
0
0
010
000
b.
(R, B)(1,1)
=
RB
+ BR
=
0
0
0
000
Universitas Sumatera Utara
101
c.
(R, B)(0,2)
=
B2
=
1
1
0
000
21
2. Untuk h + k = 3, maka diperoleh
000
a.
(R, B)(3,0)
=
R3
=
0
0
0
000
110
b.
(R, B)(2,1)
=
R(R, B)(1,1)
+
BR2
=
0
1
0
101
000
c.
(R, B)(1,2)
=
RB2
+
B(R, B)(1,1)
=
1
0
1
000
000
d.
(R, B)(0,3)
=
B3
=
0
0
0
000
3. Untuk h + k = 4, maka diperoleh
000
a.
(R, B)(4,0)
=
R4
=
0
0
0
000
010
b.
(R, B)(3,1)
=
R(R, B)(2,1)
+
BR3
=
0
0
0
101
101
c.
(R, B)(2,2)
=
R(R, B)(1,2)
+
B(R, B)(2,1)
=
2
1
1
000
Universitas Sumatera Utara
000
d.
(R, B)(1,3)
=
RB3
+
B(R, B)(1,2)
=
0
0
0
000
000
e.
(R, B)(0,4)
=
B4
=
0
0
0
000
4. Untuk h + k = 6, maka diperoleh
000
a.
(R, B)(6,0)
=
R6
=
0
0
0
000
000
b.
(R, B)(1,5)
=
RB3
+
B(R, B)(1,4)
=
0
0
0
000
000
c.
(R, B)(2,4)
=
R(R, B)(1,4)
+
B(R, B)(2,3)
=
0
0
0
000
101
d.
(R, B)(3,3)
=
R(R, B)(2,3)
+
B(R, B)(3,2)
=
3
1
2
000
120
e.
(R, B)(4,2)
=
R(R, B)(3,2)
+
B(R, B)(4,1)
=
0
1
0
211
000
f.
(R, B)(5,1)
=
R(R, B)(4,1)
+
BR5
=
0
0
0
000
22
Universitas Sumatera Utara
000
a.
(R, B)(0,6)
=
B6
=
0
0
0
000
23
5. Untuk h + k = 10, maka diperoleh
000
a.
(R, B)(10,0)
=
R10
=
0
0
0
000
000
b.
(R, B)(1,9)
=
RB9
+
B(R, B)(1,8)
=
0
0
0
000
000
c.
(R, B)(2,8)
=
R(R, B)(1,8)
+
B(R, B)(2,7)
=
0
0
0
000
101
d.
(R, B)(3,7)
=
R(R, B)(2,7)
+
B(R, B)(3,6)
=
3
1
2
000
120
e.
(R, B)(4,6)
=
R(R, B)(3,6)
+
B(R, B)(4,5)
=
0
1
0
211
101
f.
(R, B)(5,5)
=
R(R, B)(4,5)
+
B(R, B)(5,4)
=
5
1
4
000
643
a.
(R, B)(6,4)
=
R(R, B)(5,4)
+
B(R, B)(6,3)
=
4
6
1
413
terdapat walk dengan panjang 10 dari tiap pasang titik pada digraf dwiwarna, se-
Universitas Sumatera Utara
24
hingga exp(D(2)) = 10 dengan komposisi 6 arc merah dan 4 arc biru yakni 6 .
4 2.5 Eksponen Titik Digraf dan Digraf Dwiwarna
Pada subbab ini akan dibahas definisi dan penentuan eksponen titik digraf dan digraf dwiwarna.
2.5.1 Eksponen Titik Digraf
Misalkan D adalah sebuah digraf primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v1, v2, ..., vn}. Eksponen titik dari digraph D didefinisikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum m yang menghubungkan titik vk ke setiap titik di D dinotasikan γD(vk).
Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n × n. Jika titik-titik di D adalah (v1, v2, ...vn) sehingga
γD(v1) ≥ γD(v2) ≥ ... ≥ γD(vn) Maka γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, yang dinotasikan dengan expD(vk). Contoh 2.5.1 Berikut adalah bagaimana mencari eksponen titik dari masing-masing titik di digraf D, berdasarkan proposisi 2.4 entri aij harus bernilai positif.
Dari Contoh 2.4.1 diperoleh matriks-matriks dari Ak : 1. Untuk k=3, pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka expD(v1) = 3. 2. Untuk k=4, pada baris ke-3 semua entri juga bernilai positif,maka expD(v3) = 4. 3. Untuk k=5, pada baris ke-2 semua entri bernilai positif, maka expD(v2) = 5. 4. Untuk k=6, pada baris ke-4 semua entri bernilai positif, maka expD(v4) = 6.
Universitas Sumatera Utara
2.5.2 Eksponen Titik Digraf Dwiwarna
25
Misalkan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v1, v2, ..., vn}. Eksponen titik dari digraph dwiwarna D(2) didefinisikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum g+h yang menghubungkan titik vk ke setiap titik di D(2), dengan g menyatakan jumlah arc merah dan h menyatakan jumlah arc biru . Kemudian dinotasikan dengan γD(vk).
Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n × n. Jika titik-titik di D(2) adalah (v1, v2, ..., vn), maka
γD(v1) ≥ γD(v2) ≥ ... ≥ γD(vn)
sehingga γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D(2), yang dinotasikan dengan expD(2)(vk) .
Dengan menggunakan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang telah didefenisikan pada subbab 2.4. Untuk suatu bilangan positif terkecil g dan h yang masing-masing merupakan jumlah arc merah dan arc biru, sehingga g + h merupakan eksponen titik digraf dwiwarna untuk setiap baris ke-k dari matriks tersebut yang seluruh entrinya bernilai positif . Contoh 2.5.2 Berikut mencari eksponen titik digraf dwiwarna dari masing-masing titik pada Gambar 2.6.
1. Untuk g+h=4, dengan
101
(R, B)(2,2)
=
R(R, B)(1,2)
+ B(R, B)(2,1)
=
2
1
1
000
pada baris ke-2 semua entri bernilai positif,maka expD(2)(v3) = 4 yang terdiri
2 dari 2 arc merah dan 2 arc biru yakni .
2
Universitas Sumatera Utara
26
2. Untuk g+h=5 dengan
211
(R, B)(3,2)
=
R(R, B)(2,2)
+ B(R, B)(3,1)
=
1
2
0
101
pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka expD(2)(v1) = 5 yang
3 terdiri dari 3 arc merah dan 2 arc biru yakni .
2
3. Untuk g+h=6, dengan
120
(R, B)(4,2)
=
R(R, B)(3,2)
+ B(R, B)(4,1)
=
0
1
0
211
pada baris ke-3 semua entri bernilai positif, maka expD(2)(v2) = 6 yang terdiri
4 dari 4 arc merah dan 2 arc biru yakni .
2
2.6 Sistem Persamaan Diophantine
Bentuk persamaaan Diophantine dapat dituliskan sebagai berikut
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
memiliki solusi bilangan bulat untuk semua bilangan bulat positif n dan koefisienkoefisien a1, a2, a3, ..., an tidak semuanya bernilai nol.
Teorema 2.6 Persamaan diophantine a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
punya bilangan bulat jika dan hanya jika gcd(a1, a2, a3, ..., an)|b
Universitas Sumatera Utara
27
Bukti : Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama, untuk m, n > 0. Berikut merupakan sistem persamaan diophantine.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Sistem persamaan diophantine tersebut dapat pula direpresentasikan dalam bentuk
persamaan matriks Ax = b sebagai berikut
a11 a12 · · · a1n
x1
b1
A
=
a21 ...
a22 · · · ... . . .
a2n ...
,
x
=
x2 ...
dan
b=
b2
...
am1 am2 · · · amn
xn
bm
Sistem persamaan diophantine memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan submatriks 2 × 2 dari A adalah ±1.
2.7 Formula Eksponen Titik Digraf Dwiwarna dengan Dua Cycle
Subbab ini dibahas bagaimana menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraf dwiwarna yang primitif yang memuat dua cycle.
Lemma 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif yang memuat dua
cycle dengan matriks cycle S = r(γ1) b(γ2) . Misalkan vk adalah sembarang titik b(γ1) r(γ2)
dari D(2) dan terdapat sebuah (g, h)-walk dari titik vk ke setiap titik vj, j = 1, 2, · · · , n
di D(2) dengan persamaan berikut
gu =S
hw
(1)
Universitas Sumatera Utara
28
maka u ≥ S−1 r(p(k,j) untuk sembarang bilangan bulat tak negatif u, v dan
w b(p(k,j)
untuk suatu path p(k,j) dari vk ke vj.
Bukti : Misalkan p(k,j) adalah path dari titik vk ke vj untuk sembarang j = 1, 2, ..., n. Karena D(2) memuat 2 cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi ke dalam path dan cycle sebagai berikut :
g = S x1 + r(p(k,j))
h x2 b(p(k,j))
(2)
dengan x1, x2 ≥ 0. Karena D(2) primitif, maka M memiliki invers. Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2), maka diperoleh :
S u = S x1 + r(p(k,j))
w x2 b(p(k,j))
S x1 = S u − r(p(k,j))
x2 w b(p(k,j))
x1 = u − S−1 r(p(k,j)) ≥ 0
x2 w
b(p(k,j))
sehingga u ≥ S−1 r(p(k,j) dan Lemma 2.7.1 terbukti.
w b(p(k,j)
Menggunakan Lemma 2.7.1 diperoleh teorema sebagai berikut.
Teorema 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari cycle γ1 dan γ2. Misalkan vk adalah titik di D(2). Untuk sembarang titik vi dan vj di D(2),
SKRIPSI
MARDHA TILLAH 090803044
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-TITIK GANJIL
SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
MARDHA TILLAH 090803044
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
i
Judul
: EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS
DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK
GANJIL
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: MARDHA TILLAH
Nomor Induk Mahasiswa : 090803044
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Oktober 2013
Komisi Pembimbing : Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19640109 198803 1 004
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ii
EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK GANJIL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2013
MARDHA TILLAH 090803044
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
iii
Besar rasa syukur kepada Sang Khaliq dengan limpahan rahmat dan kasih sayang-Nya memberikan keluasan waktu serta kesempatan bagi saya untuk menyelesaikan penelitian ini dengan judul ”EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK GANJIL” . Serta salawat dan salam kepada baginda Rasul Muhammad SAW yang sampai detik ini merupakan panutan terbaik bagi setiap manusia.
Serangkai ucapan terima kasih saya hanturkan kepada Ibunda Sabariah, Ibunda Waliyah dan Ayahanda Alm.H.Amiruddin Tholib yang tanpa pernah lelah menyayangi, menjaga, merawat serta mendoakan dalam setiap langkah. Semoga Ibunda dan Ayahanda tercinta selalu berada dalam cinta dan lindungan-Nya. Kepada Bapak Prof.Saib Suwilo,M.Sc selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra.Mardiningsih,M.Si selaku dosen pembimbing II terima kasih atas segala bentuk bimbingan dan motivasi dalam menyelesaikan penelitian ini sebagai tugas akhir akademik, dan kepada Bapak Prof.Tulus,M.Si dan Bapak Drs.Ariswoyo,M.Si selaku dosen penguji, terima kasih atas segenap sarannya. Kepada Bapak Prof.Dr.Sutarman,M.Sc, selaku Dekan FMIPA USU, Bapak Prof.Dr.Tulus,M.Si dan Ibu Dra.Mardiningsih,M.Si, selaku Ketua Departemen dan Sekretaris Departemen FMIPA USU serta seluruh Staf Pengajar yang telah memberikan pengetahuan-pengetahuan akademik dan seluruh Staf Departemen Matematika yang turut mempermudah jalannya proses penyelesaian tugas akhir ini. Semoga selalu dalam Rahmat dan Karunia-Nya.
Terima kasih kepada seluruh abanganda tercinta Ahmad Aulia,S.Pd, Afzar Aulia, Alfi Syahrin,S.E, dr.Ibnu Hasyim, Ir.Anshor Khawari, dan abanganda Rafiq Kahfi serta adikku tercinta Samanthi Hibbah yang selalu memberikan motivasi, dukungan moral dan materi, serta doa yang tak pernah henti, semoga selalu dalam lindungan dan Rahmat Allah SWT, dan kepada sahabatku Anggita Fathimah Siregar yang tak pernah bosan mendengar segala keluh kesah perjalanan tugas akhir ini serta selalu mengingatkan bahwa pelajaran yang takkan habis dalam hidup ini adalah bab ikhlas, bab adil, dan bab sabar, terima kasih atas segala dukungannya. Semoga segala impianmu dapat terwujud. Kepada sahabat-sahabat Ilham Firdaus Siregar, Dewi Uli Sinulingga, dan teman-teman seperjuangan 1708 di pesantren Ar-Raudhatul yang ikut memberikan dukungan, terima kasih atas segala bantuan, motivasi serta doanya. Semoga visi dan misi hidup kita berjalan dalam Ridho-Nya.
Tak lupa pula penulis berterima kasih kepada Wiwit, Nisa, Desi, Sari, Defi, Best, Isah, Dika, Ida,dan Wirda yang selalu ada dalam suka duka di awal perkuliahan hingga penyelesaian tugas akhir ini,kepada Putri dan Sarah terima kasih krna tak pernah bosan menjadi tempat bertanya persoalan akademik. Kepada teman-teman kelas murni Panca , Bakti , Lukas , Jundi , Vela , Fitri , dan Zati terima kasih atas kesolidaritasannya. Kepada Yudha, Fendi, Gilang , Dhani , Iman , Adinda Lita , Organisasi IM3, teman-teman sejawad dan seperjuangan selama perkuliahan yang tak
Universitas Sumatera Utara
iv bisa disebutkan namanya satu persatu oleh penulis, terima kasih atas ikatan pertemanan dan silaturrahmi yang dijalani bersama. Semoga tali silaturrahmi ini dapat terjalin tanpa batas waktu.
Sebagai manusia, sudah tentu banyak kekurangan penulis dalam bentuk apapun, baik dalam silaturrahmi ataupun dalam penulisan tugas akhir ini penulis hanturkan segenap permintaan maaf dan harapan dalam menyelesaikan tulisan ini semoga berguna bagi pembaca. Akhir kata, ribuan terima kasih penulis hanturkan atas segala doa dan dukungan pembaca. Wassalam.
Medan, Oktober 2013 Penulis MARDHA TILLAH
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif
g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari
u ke v. Bilangan bulat positif g + h terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif
g dan h disebut eksponen dari digraf dwiwarna D(2), dinotasikan dengan expD(2)(v). Andaikan v adalah sebuah titik di D(2). Eksponen titik keluar v pada D(2) adalah
bilangan bulat positif terkecil g + h sehingga terdapat (g, h)-walk dari titik v ke setiap
titik di D(2), dinotasikan dengan expoutD(2) (v). Penelitian ini mempelajari eksponen titik keluar dari sebuah kelas digraf dwiwarna primitif D(2) atas n ≥ 5 titik ganjil yang
terdiri
dari
n-cycle
v1
→
vn
→
vn−1
→
···
→
v2
→
v1
dan
tepat
satu
arc
v1
→
v n+1 . 2
Andaikan vk, k = 1, 2, ..., n adalah sebuah titik di D(2). Diperlihatkan bahwa jika
arc biru berturut-turut terletak pada arc v2 → v1 dan arc v1 → vn di D(2) , maka
eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna D(2) adalah expoutD(2)(vk) = n2 − n − 2 + k
untuk semua k = 1, 2, ..., n .Jika arc biru berturut-turut terletak pada arc v n+3 → v n+1
22
dan arc v n+1 → v n−1 , maka eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna primitif D(2)
22
adalah
expoutD(2) (vk )
=
2n2 −3n−2+2k 2
untuk
semua
k
= 1, 2, ..., n.
Kata kunci : Digraf dwiwarna, primitif, eksponen titik dan eksponen titik keluar.
Universitas Sumatera Utara
vi
THE OUTER VERTEX EXPONENTS OF A CLASS OF PRIMITIVE TWO COLORED DIGRAPHS ON n-ODD VERTEX
ABSTRACT
A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integer g and
h such that for each pair of vertices u and v there is a (g, h)-walk from vertex u to
vertex v. The smallest positive integer g + h taken over all such nonnegative integers
g and h is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v
be a vertex of D(2). The outer vertex exponent v is the smallest positive integer g + h
there is a (g, h)-walk from v to every vertex in D(2), denoted by expoutD(2) (v). This study explains about the outer vertex exponent of primitive two colored-digraph D(2)
on n ≥ 5 odd vertices consisting the n-cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 and blue arc v1 → v n+1 . Let vk be a vertex of D(2). We show that if two consecutive blue
2
arcs lies on arc v2 → v1 and arc v1 → vn in D(2), then the outer vertex exponents is
expoutD(2)(vk) = n2 − n − 2 + k for all k = 1, 2, ..., n. If two consecutive blue arcs
lies on arc v n+3 → v n+1 and arc v n+1 → v n−1 , then the outer vertex exponents is
22
22
expoutD(2)(vk) =
2n2 −3n−2+2k 2
for
all
k
= 1, 2, ..., n.
Key words : Two-colored digraph, primitive, vertex exponent and outer vertex exponent.
Universitas Sumatera Utara
vii
PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
DAFTAR ISI
Halaman i ii
iii v vi vii viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian 1.2 Masalah Penelitian 1.3 Tinjauan Pustaka 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Manfaat Penelitian
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
2.1 Definisi 2.2 Matriks Adjacency 2.3 Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat 2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna 2.5 Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna 2.6 Sistem Persamaan Diophantine 2.7 Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Menentukan Eksponen Titik Keluar 3.2 Pembuktian Bentuk Umum Eksponen Titik Keluar
BAB 4 EKSPONEN TITIK KELUAR
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
1 2 3 5 6
7 10 12 16 24 26 28
31 31
33
42 42
43
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
viii
Gambar
1.1 Karakter Pertama D(2) 1.2 Karakter Kedua D(2) 2.1 Digraf dengan 4 titik dan 6 arc 2.2 Digraf dwiwarna dengan 6 titik dan 8 arc 2.3 Digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 2.4 Digraf terhubung kuat dan primitif 2.5 Digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 2.6 Digraf dwiwarna terhubung kuat dan primitif 2.7 Digraf dengan 3 titik dan 4 arc 4.1 Digraf dwiwarna D(2) Tipe A 4.2 Digraf dwiwarna D(2) Tipe B
Halaman
5 5 8 9 12 13 14 15 20 34 34
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif
g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari
u ke v. Bilangan bulat positif g + h terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif
g dan h disebut eksponen dari digraf dwiwarna D(2), dinotasikan dengan expD(2)(v). Andaikan v adalah sebuah titik di D(2). Eksponen titik keluar v pada D(2) adalah
bilangan bulat positif terkecil g + h sehingga terdapat (g, h)-walk dari titik v ke setiap
titik di D(2), dinotasikan dengan expoutD(2) (v). Penelitian ini mempelajari eksponen titik keluar dari sebuah kelas digraf dwiwarna primitif D(2) atas n ≥ 5 titik ganjil yang
terdiri
dari
n-cycle
v1
→
vn
→
vn−1
→
···
→
v2
→
v1
dan
tepat
satu
arc
v1
→
v n+1 . 2
Andaikan vk, k = 1, 2, ..., n adalah sebuah titik di D(2). Diperlihatkan bahwa jika
arc biru berturut-turut terletak pada arc v2 → v1 dan arc v1 → vn di D(2) , maka
eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna D(2) adalah expoutD(2)(vk) = n2 − n − 2 + k
untuk semua k = 1, 2, ..., n .Jika arc biru berturut-turut terletak pada arc v n+3 → v n+1
22
dan arc v n+1 → v n−1 , maka eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna primitif D(2)
22
adalah
expoutD(2) (vk )
=
2n2 −3n−2+2k 2
untuk
semua
k
= 1, 2, ..., n.
Kata kunci : Digraf dwiwarna, primitif, eksponen titik dan eksponen titik keluar.
Universitas Sumatera Utara
vi
THE OUTER VERTEX EXPONENTS OF A CLASS OF PRIMITIVE TWO COLORED DIGRAPHS ON n-ODD VERTEX
ABSTRACT
A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integer g and
h such that for each pair of vertices u and v there is a (g, h)-walk from vertex u to
vertex v. The smallest positive integer g + h taken over all such nonnegative integers
g and h is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v
be a vertex of D(2). The outer vertex exponent v is the smallest positive integer g + h
there is a (g, h)-walk from v to every vertex in D(2), denoted by expoutD(2) (v). This study explains about the outer vertex exponent of primitive two colored-digraph D(2)
on n ≥ 5 odd vertices consisting the n-cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 and blue arc v1 → v n+1 . Let vk be a vertex of D(2). We show that if two consecutive blue
2
arcs lies on arc v2 → v1 and arc v1 → vn in D(2), then the outer vertex exponents is
expoutD(2)(vk) = n2 − n − 2 + k for all k = 1, 2, ..., n. If two consecutive blue arcs
lies on arc v n+3 → v n+1 and arc v n+1 → v n−1 , then the outer vertex exponents is
22
22
expoutD(2)(vk) =
2n2 −3n−2+2k 2
for
all
k
= 1, 2, ..., n.
Key words : Two-colored digraph, primitive, vertex exponent and outer vertex exponent.
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Penelitian mengenai eksponen digraf dwiwarna telah banyak dilakukan. Shader dan Suwilo (2003) adalah yang pertama sekali melakukan penelitian tersebut. Pada tahun 2002 , Wielandt ( Schneizer,H ) melakukan penelitian mengenai eksponen matrik tak negatif. Andaikan A adalah sebuah matriks tak negatif berordo n × n. Matriks tak negatif A dikatakan primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga Ak bernilai positif dan bilangan bulat terkecil k disebut sebagai eksponen dari A.
Selanjutnya Digraf D(A) adalah sejumlah titik yang terhubung dengan garis berarah (arc) pada setiap pasang titik (vi, vj) di D(A) jika dan hanya jika entri dari matriks tak negatif A, yaitu ai,j > 0, untuk i, j = 1, 2, · · · , n. Digraf D(A) dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik (vi, vj) di D(A) terdapat walk dari vi ke vj dan dari vj ke vi dengan i, j = 1, 2, · · · , n. Suatu digraf D(A) dikatakan primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan titik (vi, vj) terdapat walk dengan panjang l, maka bilangan bulat terkecil l disebut sebagai eksponen dari digraf D(A) yang dinotasikan sebagai exp(D) (Brualdi dan Ryser,1991). Eksponen titik dari digraph D(A) adalah jumlah walk dengan panjang minimum l′ yang menghubungkan titik vk, k = 1, 2, · · · , n ke setiap titik di D(A), dinotasikan dengan expD(vk).
Pada tahun 1997, Fornasini dan Valcher mendefinisikan digraf dwiwarna sebagai berikut. Digraf dwiwarna D(2) merupakan suatu digraf yang setiap arcnya diberi warna merah atau biru. Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif
1 Universitas Sumatera Utara
2
jika terdapat suatu bilangan bulat tak negatif m dan n dengan m + n > 0 sehingga untuk setiap pasang titik (vi, vj) di D(2) terdapat (m, n)-walk dari vi ke vj dan walk dari vj ke vi, dengan m dan n masing-masing merupakan jumlah arc merah dan arc biru, kemudian bilangan bulat positif terkecil dari m + n disebut sebagai eksponen digraf dwiwarna D(2) yang dinotasikan dengan expD(2) (Shader dan Suwilo,2003). Eksponen titik dari digraph dwiwarna D(2) adalah jumlah walk dengan panjang minimum m′ + n′ yang menghubungkan titik vk, k = 1, 2, · · · , n ke setiap titik di D(2) , untuk m′ dan n′ masing-masing adalah jumlah arc merah dan arc biru, dinotasikan dengan expD(2)(vk).
Pada tahun 2009 Gao dan Shao mulai memperkenalkan konsep eksponen lokal. Andaikan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna primitif. Eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna adalah bilangan bulat positif terkecil g + h sehingga terdapat (g, h)-walk untuk setiap pasang titik vk, k = 1, 2, · · · , n ke setiap titik di D(2), dinotasikan dengan expoutD(2)(vk) . Sedangkan eksponen titik masuk dari digraf dwiwarna adalah bilangan bulat positif terkecil g′ + h′ sehingga terdapat (g′, h′)-walk untuk setiap titik di D(2) ke titik vk di D(2), dinotasikan dengan expinD(2)(vk) .
Bai dan Shao (2007) melakukan penelitian menentukan eksponen dari kelas
digraf dwiwarna dengan n-titik ganjil dengan batasan eksponen serta karakteristik
ekstermal dari digraf dwiwarna D(2) yang primitif atas n-titik ganjil yang memiliki
dua
cycle
yakni
n-cycle
dan
1 2
(n
+
1)-cycle.
Sedangkan
penelitian
kali
ini
meneruskan
penelitian yang dilakukan oleh Bai dan Shao untuk menentukan eksponen titik keluar
dari digraf dwiwarna D(2).
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna yang primitif atas n-titik ganjil. Kemudian, mencari bagaimana pola dari eksponen titik keluar untuk setiap titik vk pada ekstermal digraf dwiwarna D(2).
Universitas Sumatera Utara
3
1.3 Tinjauan Pustaka
Pada digraf dwiwarna, komponen terpenting dari sebuah walk ditentukan oleh jumlah
busur merah dan busur biru. Sebuah (h, k)-walk adalah sebuah walk yang terdiri
dari h buah busur berwarna merah dan k buah busur berwarna biru. Andaikan
w adalah sebuah walk dari digraf dwiwarna, dengan r(w) adalah banyaknya busur
berwarna merah dari w dan b(w) adalah banyaknya busur berwarna biru. Sehingga
r(w)
vektor
disebut sebagai komposisi dari w.
b(w)
Andaikan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna terhubung kuat dan C =
{c1, c2, ...., ct} adalah himpunan semua cycle di D(2). Sebuah matriks cycle dari D(2)
adalah sebuah matriks 2 × t dalam bentuk
S = r(c1)
r(c2)
...
r(ct)
b(c1) b(c2) ... b(ct)
setiap kolom ke-i dengan i = 1, 2, ..., t dari matriks tersebut adalah komposisi dari
cycle ct. Fornansi Valcher (1997) memberikan karakteristik secara aljabar bagi prim-
itifitas digraf dwiwarna. Sebuah digraf dwiwarna terhubung kuat adalah primitif jika
dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari
S adalah 1.
Andaikan D(2) merupakan digraf dwiwarna yang terdiri dari 2 cycle, sehingga
setiap walk pada D(2) dapat didekomposisi kedalam path pi,j dari titik vi ke setiap
titik vj dengan menggunakan sistem persamaan berikut
S x1 + r(pi,j) = g , i, j = 1, 2, ..., n
x2 b(pi,j ) h
untuk memperoleh solusi bulat tak negatif x1, x2 ≥ 0.
Penelitian mengenai eksponen digraf dwiwarna dimulai oleh Shader dan Suwilo
(2003). Pada penelitian tersebut Shader dan Suwilo (2003) memperlihatkan bahwa
Universitas Sumatera Utara
4
bila D(2) adalah digraf dwiwarna yang primitif atas n-titik, maka eksponen terbesar
D(2)
terletak
pada
interval
[
1 2
(n3
−
5n2),
1 2
(3n3
−
2n2
−
2n)].
Bai dan Shao (2007) melakukan penelitian menentukan eksponen dari kelas
digraf dwiwarna dengan n-titik ganjil dengan batasan eksponen serta karakteristik
ekstermal dari digraf dwiwarna D(2) yang primitif atas n-titik ganjil yang memiliki 2
cycle
yakni
n-cycle
dan
1 2
(n
+
1)-cy
cle.
Gao dan Shao (2009) melakukan penelitian menentukan eksponen lokal keluar dari titik-titik pada digraf dwiwarna tipe Wiedlant. Gao dan Shao mendefinisikan eksponen lokal sebagai walk dengan komposisi sama yang berasal dari satu titik tertentu dan menuju kesemua titik lainnya. Suwilo (2011) menentukan eksponen lokal keluar dari titik-titik pada digraf ministrong ekstermal dwiwarna, sedangkan Syahmarani dan Suwilo (2012) menentukan eksponen lokal keluar dari digraf Hamilton dwiwarna dengan eksponen terbesar dan dengan eksponen terkecil.
Bai dan Shao membagi digraf dwiwarna D(2) berdasarkan warna arc yang terletak
pada
arc
v1
→
v1 2
(n+1)
menjadi
dua
tipe
yakni
:
1.
Tipe
pertama,
jika
arc
v1
→
v1 2
(n+1)
berwarna
biru
maka
batasan
eksponen
terletak
pada
[
1 2
(4n2
−
n
−
1),
4n2
−
5n]
.
2.
Tipe
kedua,
jika
arc
v1
→
v1 2
(n+1)
berwarna
merah
maka
batasan
eksponen
terletak
pada
[
1 2
(4n2
−
3n
+
1),
4n2
−
6n].
Penelitian kali ini bertujuan untuk menentukan bentuk umum eksponen titik keluar dari ekstermal digraf dwiwarna yang primitif atas n-titik ganjil dari tipe kedua dengan dua arc biru berturut-turut pada penelitian yang dilakukan oleh Bai dan Shao. Dalam hal ini terdapat dua karakter posisi arc biru berturut-turut yaitu :
1. arc biru tepat berada pada posisi arc v2 → v1 dan arc v1 → vn
Universitas Sumatera Utara
5
Gambar 1.1 : Karakter Pertama D(2)
2.
arc
biru
tepat
berada
pada
posisi
arc
v1 2
(n+1)
→
v1 2
(n−1)
dan
arc
v1 2
(n+3)
→
v1 2
(n+1)
Gambar 1.2 : Karakter Kedua D(2)
1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan bentuk umum eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna yang primitif dengan n-titik ganjil dan dua arc biru berturutturut berdasarkan warna arc.
Universitas Sumatera Utara
1.5 Manfaat Penelitian
6
Penelitian ini dilakukan untuk memperkaya literature dan menambah pengetahuan mengenai eksponen digraf dwiwarna dengan n-titik ganjil yang primitif.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitif itas, terhubung kuat, eksponen dan eksponen titik.
2.1 Definisi
Sub-bab ini akan membahas definisi tentang digraf dan digraf dwiwarna secara keseluruhan.
2.1.1 Digraf
Andaikan V adalah sebuah himpunan berhingga yang tak kosong yang disebut sebagai titik (vertex) dan E adalah himpunan pasangan berurut dari titik V yang disebut sebagai edge, maka graf adalah suatu objek yang dibentuk dari himpunan V ,dan himpunan E ⊆ V × V yang unsurnya disebut sebagai edge.
Digraf D adalah objek yang dibentuk dari himpunan V , dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut sebagai arc dari D. Jika (u, v)∈ A merupakan sebuah arc pada digraf D, maka u sebagai titik awal dan v sebagai titik akhir. Titik V direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil sedangkan arc direpsentasikan dalam bentuk garis berarah.
Barisan sejumlah titik v1, v2, ..., vm sehingga terdapat arc dalam D yang menghubungkan titik vi ke titik vi+1 untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., m − 1 disebut sebagai walk dengan panjang m > 0 pada suatu digraf D. Dapat ditulis sebagai berikut
7 Universitas Sumatera Utara
8 v1 → v2 → v3 → ... → vm untuk v1 = vm maka disebut walk terbuka. Suatu walk yang tidak mengalami perulangan titik disebut sebagai path, sedangkan suatu path tertutup disebut sebagai cycle dan cycle yang memiliki panjang 1 disebut sebagai loop. Contoh 2.1.1 Berikut merupakan representasi dari definisi diatas.
Gambar 2.1 : Digraf dengan 4 titik dan 6 arc Digraf diatas memperlihatkan walk , path, cycle, dan loop sebagai berikut:
a. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 adalah walk terbuka b. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 → v3 → v1 adalah walk tertutup namun bukan path c. v1 → v2 → v3 → v4 adalah path terbuka d. v1 → v2 → v3 → v1 adalah path tertutup atau disebut cycle e. v1 → v1 adalah loop 2.1.2 Digraf Dwiwarna
Suatu digraf yang setiap arc-nya berwarna biru atau merah dan tidak keduanya pada satu arc disebut sebagai digraf dwiwarna. Digraf dwiwarna dibentuk oleh himpunan vertex V , himpunan R ⊆ V × V yang unsurnya adalah arc berwarna merah, dan B ⊆ V × V yang unsurnya adalah arc berwarna biru. Digraf Dwiwarna dinotasikan dengan D(2).
Universitas Sumatera Utara
9
Arc merah (u, v) direpresentasikan dengan u →m v atau dengan tanda panah sedangkan arc biru (u, v) direpresentasikan dengan u →b v atau garis putus-putus. Contoh 2.1.2 Berikut gambar digraf dwiwarna
Gambar 2.2 : Digraf Dwiwarna dengan 6 titik 8 arc Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan himpunan vertex V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} dengan uraian sebagai berikut :
a. Himpunan arc biru B = {(v3, v4), (v4, v2), (v6, v1)} b. Himpunan arc merah R = {(v1, v2), (v2, v3), (v2, v5), (v5, v6), (v1, v1)} merupakan suatu digraf dwiwarna dengan 6 vertex, 3 arc biru dan 5 arc merah.
Pada digraf dwiwarna juga terdapat walk, path, dan cycle. Suatu (h, k)-walk
dalam digraf dwiwarna adalah sebuah walk dengan h arc merah dan k arc biru sedan-
r(w)
gkan vektor ((r(w), b(w)) atau
merupakan komposisi dari walk w, dengan
b(w)
r(w) adalah notasi dari jumlah arc merah dan b(w) adalah notasi dari jumlah arc
biru dan l(w) = r(w) + b(w) adalah panjang walk w yang merupakan jumlah dari arc
merah dan arc biru.
Seperti halnya digraf,path pada digraf dwiwarna merupakan walk yang tidak mengalami perulangan titik, namun jika titik awal sama dengan titik akhir maka disebut sebagai path tertutup atau cycle, sedangkan loop adalah cycle dengan panjang
Universitas Sumatera Utara
10
10
satu yang memiliki komposisi atau . 01
Contoh 2.1.3 Berikut adalah contoh walk, path, cycle dan loop dari Gambar 2.2. Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan :
1. v1 →m v2 →m v3 →b v4 →b v2 adalah walk terbuka.
2. v1 →m v2 →m v3 →b v4 adalah path terbuka.
3. v1 →m v2 →m v5 →m v6 →b v1 adalah cycle.
4. v1 →m v1 adalah loop dengan komposisi 1 0
2.2 Matriks Adjacency
Matriks adjacency dari digraf dan digraf dwiwarna dengan n-titik adalah suatu matriks berordo n×n yang dinotasikan dengan A dimana setiap entrinya adalah 1 atau 0.
2.1.2 Matriks Adjacency Digraf
Matriks adjacency pada Digraf D dengan n-titik yang dinotasikan sebagai A(D) =
[aij] dengan entry sebagai berikut: 1, jika terdapat arc dari vi ke vj di D
aij = 0, jika sebaliknya
untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n
Contoh 2.2.1 Berikut adalah matriks adjacency pada digraf D yang diperoleh dari Gambar 2.1
1100
0
0
1
0
1
0
0
1
0100
Universitas Sumatera Utara
2.2.2 Matriks Adjacency Digraf Dwiwarna
11
Pada digraf dwiwarna matriks adjacency dibagi menjadi 2 bagian berdasarkan warna arc yakni :
a. Matriks adjacency merah Matriks adjacency merah yang berordo n × n dinotasikan sebagai R = [rij] dengan entri adalah sebagai berikut: rij = 1, jika terdapat arc merah dari vi ke vj di D(2) 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n
Contoh 2.2.2 Berikut adalah matriks adjacency merah dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2.
110000
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
000000
b. Matriks adjacency biru Matriks adjacency biru yang berordo n × n dinotasikan sebagai B = [bij]dengan entri adalah sebagai berikut: bij = 1, jika terdapat arc biru dari vi ke vj di D(2) 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Contoh 2.2.3 Berikut adalah matriks adjacency biru dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2.
Universitas Sumatera Utara
000000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100000
12
2.3 Primitifitas Digraf dan Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
Pada subbab ini akan dibahas mengenai digraf dan digraf dwiwarna terhubung kuat dan hubungannya dengan primitifitas.
2.3.1 Primitifas Digraf Terhubung Kuat Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u.
Contoh 2.3.1 Berikut adalah digraf terhubung kuat dan tak terhubung kuat.
Gambar 2.3: (a) Terhubung Kuat
(b) Tidak Terhubung Kuat
Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa pada (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v3 ke v1.
Universitas Sumatera Utara
13 Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraf terhubung kuat maka setiap titik u di D terletak pada cycle. Bukti : Ambil sebarang titik u di D dan sebarang arc dari titik u ke v di D. Karena D adalah digraf terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D. Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D terletak pada suatu cycle.
Andaikan C = {γ1, γ2, ..., γq} merupakan himpunan semua cycle di D dan misalkan notasi l(γi) merupakan panjang semua cycle pada digraf D untuk setiap i = 1, 2, · · · , q. Suatu digraf D terhubung kuat dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari setiap panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser,1991). Contoh 2.3.2 Berikut adalah digraf terhubung kuat yang primitif.
Gambar 2.4 : Digraf Terhubung Kuat dan Primitif Pada gambar 2.4 diperlihatkan bahwa l(γ1) dari cycle v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1 adalah 5. Kemudian l(γ2) dari cycle v1 → v4 → v5 → v1 adalah 3. Dan l(γ3) dari cycle tertutup v1 ke v1 adalah 1. Sehingga diketahui bahwa pembagi persekutuan terbesar dari setiap l(γi) cycle adalah 1.
Universitas Sumatera Utara
2.3.2 Primitifitas Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
14
Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u .
Contoh 2.3.3 Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
Gambar 2.5: (a)Terhubung Kuat
(b)Tidak Terhubung Kuat
Gambar 2.5 memperlihatkan bahwa pada digraf dwiwarna (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v3 ke v1.
Lemma 2.3.2 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat maka setiap titik u di D(2) terletak pada cycle.
Bukti : Ambil sebarang titik u di D(2) dan sebarang arc dari titik u ke v di D(2). Karena D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D(2). Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D(2) terletak pada suatu cycle.
Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat suatu bilangan bulat tak negatif h dan k dengan h + k > 0 sehingga untuk setiap pasang
Universitas Sumatera Utara
titik (u, v) di D(2) terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan walk dari v ke u.
15
Andaikan C = {γ1, γ2, ..., γq} merupakan himpunan semua cycle di D(2) dan misalkan notasi l(γi) merupakan panjang semua cycle pada digraf dwiwarna D(2)
untuk setiap i = 1, 2, 3, · · · , q. S disebut sebagai matriks cycle adalah matriks yang
berordo 2 × q sebagai berikut
S = r(γ1)
r(γ2)
···
r(γq )
b(γ1) b(γ2) · · · b(γq)
Kolom ke-q dari matrik cycle S merupakan komposisi dari cycle γq dan jumlah baris pada matriks S menyatakan banyaknya warna pada D(2). Suatu digraf dwiwarna
dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-
determinan matriks minor berordo 2×2 dari S adalah 1 (Fornasini dan Valcher,1997).
Contoh 2.3.4 Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif.
Gambar 2.6 Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat dan Primitif
Dari Gambar 2.6 diatas terdapat 2 cycle yaitu cycle yang pertama v1 →m v2 →m v3 →m
v4 →b v1 dengan komposisi S1 = 3 dan cycle kedua adalah v5 →b v2 →m v3 →m v5 1
2 32
dengan komposisi S2 = , maka matriks cycle dari D(2) adalah S =
1 11
dengan det(S) = 1. Sehingga Digraf Dwiwarna pada Gambar 2.6 adalah terhubung
kuat dan primitif.
Universitas Sumatera Utara
16
2.4 Matriks Tak Negatif dan Digraf Dwiwarna
Suatu matriks A dikatakan matriks tak negatif jika untuk setiap entri dari matriks
A = [aij] bernilai tak negatif atau dapat dinotasikan dengan aij ≥ 0 . Contoh 2.4.1 Berikut adalah matriks tak negatif.
100
0
1
0
001
sedangkan matriks A dikatakan postitif, jika untuk setiap entri dari matriks A = [aij]
bernilai positif atau dapat dinotasikan dengan aij > 0 .
Contoh 2.4.2 Berikut adalah matriks positif.
147
2
5
8
369
Pada suatu digraf D, terdapat suatu bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan titik-titik u dan v terdapat walk dari u ke v dengan panjang l, maka bilangan bulat positif terkecil l disebut sebagai eksponen dari digraf D yang dinotasikan sebagai exp(D) (Brualdi dan Ryser,1991).
Proposisi 2.4 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D. Entri aikj dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang k di D.
Bukti : Andaikan A suatu matriks adjacency dari digraf D, maka setiap entri aij dari A menyatakan arc dari titik vi ke vj di D. Sehingga untuk k = 1, terdapat entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang satu di D.
Asumsikan setiap entri akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang k di D, untuk setiap k ≥ 1. Kemudian diperlihatkan setiap
Universitas Sumatera Utara
17
entri akij+1 menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj dengan panjang k + 1 di D, untuk setiap k ≥ 1 .
Perhatikan setiap walk dari titik vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang
terdiri dari walk vi ke vl dengan panjang k dengan l = 1, 2, 3, .., n dan dilanjutkan
dengan arc dari titik vl ke vj. Sehingga akilalj menyatakan walk dengan panjang k + 1
dari titik vi ke vj di D untuk k = 1, 2, 3, · · · , n. Jika terdapat walk dengan panjang
k dari titik vi ke vj di D, maka aikl = 0 sehingga akilalj = 0. Hal ini berarti tidak
terdapat walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj yang melalui titik vl di D.
Sehingga diperoleh jumlah walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj di D adalah
n
aki1a1j + aki2a2j + ... + aiknanj =
aiklalj
i=1
Karena Ak+1 = AkA maka akij =
n i=1
aikl
alj
.
Hal ini berakibat aikj+1
adalah benar
menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D.
Contoh 2.4.1 Berikut adalah representasi menghitung eksponen dari digraf D.
Dari Gambar 2.1 diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut.
1100
A
=
0
0
1
0
1
0
0
1
0100
Dari proposisi diatas, dengan mencari banyak walk dari titik vi ke vj dengan
panjang k, sehingga bilangan bulat positif terkecil k adalah eksponen dari digraf D.
Perhatikan matriks Ak untuk k:
1100
a.
Untuk
k
=
1,
diperoleh
A
=
0
0
1
0
1
0
0
1
0100
maka k = 1 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk
dengan panjang satu dari titik v1 ke v3, v2 ke v4, v4 ke v1, dst.
Universitas Sumatera Utara
18
1110
b.
untuk
k
=
2,
diperoleh
A2
=
1
0
0
1
1
2
0
0
0010
maka k = 2 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk
dengan panjang 2 dari titik v1 ke v4, v2 ke v2, v2 ke v3, v3 ke v4, dst.
2111
c.
Untuk
k
=
3
,
diperoleh
A3
=
1
2
0
1
1
1
2
0
1001
maka k = 3 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk
dengan panjang tiga dari titik v2 ke v3, v3 ke v4, dst.
3311
d.
Untuk
k
=
4,
diperoleh
A4
=
1
1
2
0
3
1
1
2
1200
maka k = 4 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk
dengan panjang empat dari titik v2 ke v4, v4 ke v3, v4 ke v4, dst.
4431
e.
Untuk
k
=
5,
diperoleh
A5
=
3
1
1
2
4
5
1
1
1120
maka k = 5 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk
dengan panjang lima dari titik v4 ke v4.
7543
f.
Untuk
k
=
6,
diperoleh
A6
=
4
5
1
1
5
5
5
1
3112
merupakan eksponen dari digraf, karena setiap pasang titik (vi, vj) memiliki
walk dengan panjang 6.
Universitas Sumatera Utara
19
Pada digraf dwiwarna D(2), eksponen dari digraf dwiwarna D(2), di definisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru sehingga untuk setiap pasang titik u dan v terdapat sebuah (h, k)-walk dari u ke v, eksponen dari digraf dwiwarna D(2) dinotasikan oleh exp(D(2))(Shader dan Suwilo, 2003).
Andaikan A dan B adalah suatu matriks tak negatif berordo m × m. Untuk bilangan tak negatif h dan k di definisikan (h, k)-Hurwitz product, (R, B)(h,k) adalah jumlah keseluruhan matriks dari perkalian R sebanyak h kali dan B sebanyak k kali. Contoh 2.4.2 :
(R, B)(1,0) = R dan (R, B)(2,2) = R2B2 + RBRB + RB2R + BRBR + B2R2
Lemma 2.4.1 Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari digraf dwiwarna. Maka (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari vi ke vj pada digraf dwiwarna.
Bukti : Pembuktian dilakukan dengan cara induksi, yakni jika h = 0 dan k = 1
maka (R, B)(0,1) = B merupakan walk dari vi ke vj memiliki komposisi 0 pada 1
digraf dwiwarna . Kemudian jika h = 1 dan k = 0 maka (R, B)(1,0) = R merupakan 1
walk dari vi ke vj memiliki komposisi pada digraf dwiwarna. 0
Kemudian diperlihatkan untuk semua bilangan bulat tak negatif h + k + 1 adalah benar dengan pembuktian sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
sehingga R(R, B)(h,k) menyatakan bahwa terdapat walk dari vi ke vj dengan panjang (h, k) yang diikuti dengan sebuah arc merah, sedangkan B(R, B)(h+1,k−1) menyatakan bahwa terdapat walk dari vi ke vj dengan panjang (h + 1, k − 1) yang diikuti oleh sebuah arc biru. sehingga diperoleh (R, B)(h+1,k) merupakan jumlah (h + 1, k)-walk
Universitas Sumatera Utara
20
dari vi ke vj. Contoh 2.4.3 Berikut adalah representasi menghitung eksponen digraf dwiwarna.
Gambar 2.7 : Digraf Dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc
Dari Gambar 2.7 digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif terdapat matriks ad-
010
000
jacency
merah
R
=
0
0
0
dan
matriks
adjacency
biru
B
=
1
0
1
.
100
000
Menggunakan Lemma 2.4.1, jika (R, B) adalah matriks adjacendy dari digraf dwi-
warna. Maka (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari vi ke vj pada digraf dwiwarna. Sehingga h + k merupakan eksponen dari digraf bila matriks (R, B)(h,k) adalah ma-
triks positif.
Dengan demikian perhatikan matriks adjacency merah R dan matriks adjacency biru
B adalah sebagai berikut :
1. Untuk h + k = 2 , maka diperoleh
000
a.
(R, B)(2,0)
=
R2
=
0
0
0
010
000
b.
(R, B)(1,1)
=
RB
+ BR
=
0
0
0
000
Universitas Sumatera Utara
101
c.
(R, B)(0,2)
=
B2
=
1
1
0
000
21
2. Untuk h + k = 3, maka diperoleh
000
a.
(R, B)(3,0)
=
R3
=
0
0
0
000
110
b.
(R, B)(2,1)
=
R(R, B)(1,1)
+
BR2
=
0
1
0
101
000
c.
(R, B)(1,2)
=
RB2
+
B(R, B)(1,1)
=
1
0
1
000
000
d.
(R, B)(0,3)
=
B3
=
0
0
0
000
3. Untuk h + k = 4, maka diperoleh
000
a.
(R, B)(4,0)
=
R4
=
0
0
0
000
010
b.
(R, B)(3,1)
=
R(R, B)(2,1)
+
BR3
=
0
0
0
101
101
c.
(R, B)(2,2)
=
R(R, B)(1,2)
+
B(R, B)(2,1)
=
2
1
1
000
Universitas Sumatera Utara
000
d.
(R, B)(1,3)
=
RB3
+
B(R, B)(1,2)
=
0
0
0
000
000
e.
(R, B)(0,4)
=
B4
=
0
0
0
000
4. Untuk h + k = 6, maka diperoleh
000
a.
(R, B)(6,0)
=
R6
=
0
0
0
000
000
b.
(R, B)(1,5)
=
RB3
+
B(R, B)(1,4)
=
0
0
0
000
000
c.
(R, B)(2,4)
=
R(R, B)(1,4)
+
B(R, B)(2,3)
=
0
0
0
000
101
d.
(R, B)(3,3)
=
R(R, B)(2,3)
+
B(R, B)(3,2)
=
3
1
2
000
120
e.
(R, B)(4,2)
=
R(R, B)(3,2)
+
B(R, B)(4,1)
=
0
1
0
211
000
f.
(R, B)(5,1)
=
R(R, B)(4,1)
+
BR5
=
0
0
0
000
22
Universitas Sumatera Utara
000
a.
(R, B)(0,6)
=
B6
=
0
0
0
000
23
5. Untuk h + k = 10, maka diperoleh
000
a.
(R, B)(10,0)
=
R10
=
0
0
0
000
000
b.
(R, B)(1,9)
=
RB9
+
B(R, B)(1,8)
=
0
0
0
000
000
c.
(R, B)(2,8)
=
R(R, B)(1,8)
+
B(R, B)(2,7)
=
0
0
0
000
101
d.
(R, B)(3,7)
=
R(R, B)(2,7)
+
B(R, B)(3,6)
=
3
1
2
000
120
e.
(R, B)(4,6)
=
R(R, B)(3,6)
+
B(R, B)(4,5)
=
0
1
0
211
101
f.
(R, B)(5,5)
=
R(R, B)(4,5)
+
B(R, B)(5,4)
=
5
1
4
000
643
a.
(R, B)(6,4)
=
R(R, B)(5,4)
+
B(R, B)(6,3)
=
4
6
1
413
terdapat walk dengan panjang 10 dari tiap pasang titik pada digraf dwiwarna, se-
Universitas Sumatera Utara
24
hingga exp(D(2)) = 10 dengan komposisi 6 arc merah dan 4 arc biru yakni 6 .
4 2.5 Eksponen Titik Digraf dan Digraf Dwiwarna
Pada subbab ini akan dibahas definisi dan penentuan eksponen titik digraf dan digraf dwiwarna.
2.5.1 Eksponen Titik Digraf
Misalkan D adalah sebuah digraf primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v1, v2, ..., vn}. Eksponen titik dari digraph D didefinisikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum m yang menghubungkan titik vk ke setiap titik di D dinotasikan γD(vk).
Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n × n. Jika titik-titik di D adalah (v1, v2, ...vn) sehingga
γD(v1) ≥ γD(v2) ≥ ... ≥ γD(vn) Maka γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, yang dinotasikan dengan expD(vk). Contoh 2.5.1 Berikut adalah bagaimana mencari eksponen titik dari masing-masing titik di digraf D, berdasarkan proposisi 2.4 entri aij harus bernilai positif.
Dari Contoh 2.4.1 diperoleh matriks-matriks dari Ak : 1. Untuk k=3, pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka expD(v1) = 3. 2. Untuk k=4, pada baris ke-3 semua entri juga bernilai positif,maka expD(v3) = 4. 3. Untuk k=5, pada baris ke-2 semua entri bernilai positif, maka expD(v2) = 5. 4. Untuk k=6, pada baris ke-4 semua entri bernilai positif, maka expD(v4) = 6.
Universitas Sumatera Utara
2.5.2 Eksponen Titik Digraf Dwiwarna
25
Misalkan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v1, v2, ..., vn}. Eksponen titik dari digraph dwiwarna D(2) didefinisikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum g+h yang menghubungkan titik vk ke setiap titik di D(2), dengan g menyatakan jumlah arc merah dan h menyatakan jumlah arc biru . Kemudian dinotasikan dengan γD(vk).
Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n × n. Jika titik-titik di D(2) adalah (v1, v2, ..., vn), maka
γD(v1) ≥ γD(v2) ≥ ... ≥ γD(vn)
sehingga γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D(2), yang dinotasikan dengan expD(2)(vk) .
Dengan menggunakan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang telah didefenisikan pada subbab 2.4. Untuk suatu bilangan positif terkecil g dan h yang masing-masing merupakan jumlah arc merah dan arc biru, sehingga g + h merupakan eksponen titik digraf dwiwarna untuk setiap baris ke-k dari matriks tersebut yang seluruh entrinya bernilai positif . Contoh 2.5.2 Berikut mencari eksponen titik digraf dwiwarna dari masing-masing titik pada Gambar 2.6.
1. Untuk g+h=4, dengan
101
(R, B)(2,2)
=
R(R, B)(1,2)
+ B(R, B)(2,1)
=
2
1
1
000
pada baris ke-2 semua entri bernilai positif,maka expD(2)(v3) = 4 yang terdiri
2 dari 2 arc merah dan 2 arc biru yakni .
2
Universitas Sumatera Utara
26
2. Untuk g+h=5 dengan
211
(R, B)(3,2)
=
R(R, B)(2,2)
+ B(R, B)(3,1)
=
1
2
0
101
pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka expD(2)(v1) = 5 yang
3 terdiri dari 3 arc merah dan 2 arc biru yakni .
2
3. Untuk g+h=6, dengan
120
(R, B)(4,2)
=
R(R, B)(3,2)
+ B(R, B)(4,1)
=
0
1
0
211
pada baris ke-3 semua entri bernilai positif, maka expD(2)(v2) = 6 yang terdiri
4 dari 4 arc merah dan 2 arc biru yakni .
2
2.6 Sistem Persamaan Diophantine
Bentuk persamaaan Diophantine dapat dituliskan sebagai berikut
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
memiliki solusi bilangan bulat untuk semua bilangan bulat positif n dan koefisienkoefisien a1, a2, a3, ..., an tidak semuanya bernilai nol.
Teorema 2.6 Persamaan diophantine a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
punya bilangan bulat jika dan hanya jika gcd(a1, a2, a3, ..., an)|b
Universitas Sumatera Utara
27
Bukti : Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama, untuk m, n > 0. Berikut merupakan sistem persamaan diophantine.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Sistem persamaan diophantine tersebut dapat pula direpresentasikan dalam bentuk
persamaan matriks Ax = b sebagai berikut
a11 a12 · · · a1n
x1
b1
A
=
a21 ...
a22 · · · ... . . .
a2n ...
,
x
=
x2 ...
dan
b=
b2
...
am1 am2 · · · amn
xn
bm
Sistem persamaan diophantine memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan submatriks 2 × 2 dari A adalah ±1.
2.7 Formula Eksponen Titik Digraf Dwiwarna dengan Dua Cycle
Subbab ini dibahas bagaimana menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraf dwiwarna yang primitif yang memuat dua cycle.
Lemma 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif yang memuat dua
cycle dengan matriks cycle S = r(γ1) b(γ2) . Misalkan vk adalah sembarang titik b(γ1) r(γ2)
dari D(2) dan terdapat sebuah (g, h)-walk dari titik vk ke setiap titik vj, j = 1, 2, · · · , n
di D(2) dengan persamaan berikut
gu =S
hw
(1)
Universitas Sumatera Utara
28
maka u ≥ S−1 r(p(k,j) untuk sembarang bilangan bulat tak negatif u, v dan
w b(p(k,j)
untuk suatu path p(k,j) dari vk ke vj.
Bukti : Misalkan p(k,j) adalah path dari titik vk ke vj untuk sembarang j = 1, 2, ..., n. Karena D(2) memuat 2 cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi ke dalam path dan cycle sebagai berikut :
g = S x1 + r(p(k,j))
h x2 b(p(k,j))
(2)
dengan x1, x2 ≥ 0. Karena D(2) primitif, maka M memiliki invers. Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2), maka diperoleh :
S u = S x1 + r(p(k,j))
w x2 b(p(k,j))
S x1 = S u − r(p(k,j))
x2 w b(p(k,j))
x1 = u − S−1 r(p(k,j)) ≥ 0
x2 w
b(p(k,j))
sehingga u ≥ S−1 r(p(k,j) dan Lemma 2.7.1 terbukti.
w b(p(k,j)
Menggunakan Lemma 2.7.1 diperoleh teorema sebagai berikut.
Teorema 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari cycle γ1 dan γ2. Misalkan vk adalah titik di D(2). Untuk sembarang titik vi dan vj di D(2),