Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton Dwiwarna dengan n Titik Ganjil

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
MERRYANTY LESTARI P 110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MERRYANTY LESTARI P 110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

PERSETUJUAN

Judul
Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas

: Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton Dwiwarna dengan n Titik Ganjil
: Skripsi : Merryanty Lestari P : 110803067 : Sarjana (S1) Matematika : Matematika : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Komisi Pembimbing: Pembimbing 2,

Disetujui di Medan, Juli 2015
Pembimbing 1,

Dr. Mardiningsih, M.Si NIP. 19630405 198811 2 001

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19640109 198803 1 004

Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002

i

PERNYATAAN SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2015 MERRYANTY LESTARI P 110803067
ii

PENGHARGAAN
Segala puji hanya bagi Allah SWT yang senantiasa memberikan pertolongan dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL” ini dengan baik. Shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat.
Dalam penulisan skiripsi ini penulis banyak mendapatkan bimbingan, motivasi dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibunda Tetti Mahrani Lubis, AMS dan Ayahanda Anwar Pasaribu, S.Hut serta Kakanda Rahmelya Oktari, S.IA yang telah mendo’akan, memotivasi, dan memberikan dukungan selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I dan Ketua Departemen Matematika FMIPA USU Medan, dan Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasihat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, Medan.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat terbaik Intayashu, Indah, Mantari, Ratih, Tika, Tilsa, Aisyah, dan Nisa yang senantiasa menyemangati dan memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
iii

mengucapkan terima kasih kepada seluruh rekan-rekan Matematika 2011 terkhusus kepada Matematika Murni 2011 yang telah memberikan bantuan moril kepada penulis. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
iv

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL ABSTRAK
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif adalah bilangan bulat positif terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat sebuah titik w di D(2) dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-walk dari titik u ke titik w dan sebuah (h, ℓ)-walk dari titik v ke titik w. Tulisan ini membahas mengenai scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna atas n ≥ 5 titik ganjil yang terdiri dari dua cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Pertama, tulisan ini membahas primitifitas dari sebuah digraf dwiwarna D(2) dan selanjutnya memperlihatkan rumus scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif terhadap titik berderajat masuk dua. Kata kunci: Primitif, digraf dwiwarna, digraf Hamilton, scrambling index.
v

SCRAMBLING INDEX OF A CLASS OF TWO-COLORED HAMILTONIAN DIGRAPH WITH N ODD VERTICES ABSTRACT
The scrambling index of a primitive two-colored digraph D(2) is the least positive integer h + ℓ over all pairs of nonnegative integers (h, ℓ) such that for each pair of vertices u and v in D(2) there is a vertex w in D(2) with the property that there is an (h, ℓ)-walk from u to w and an (h, ℓ)-walk from v to w. This paper discuss the scrambling index of a class of two-colored Hamiltonian digraph on n ≥ 5 odd vertices consist of two cycles of length n and (n − 1)/2, respectively. First, this paper discuss the primitivity of a two-colored digraph D(2) and then present formulae for scrambling index that depend on n vertex and the position of the blue arcs relative to the vertex of indegree two. Keywords: Primitive, two-colored digraph, Hamiltonian digraph, scrambling index.

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF 2.1 Definisi Digraf Dwiwarna 2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna 2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna 2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna 2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA

i ii iii v vi vii viii 1 1 4 4 4 5 5 7 8 11 16 19 21 41 41 41 42

vii

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

1.1 Digraf Wielandt Wn 1.2 (a) D(2) dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru

3 4

2.1 Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc

6

2.2 Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc

8

2.3 (a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat

9

2.4 Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif

10

2.5 Digraf dwiwarna D(2) primitif

13

viii

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL ABSTRAK
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif adalah bilangan bulat positif terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat sebuah titik w di D(2) dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-walk dari titik u ke titik w dan sebuah (h, ℓ)-walk dari titik v ke titik w. Tulisan ini membahas mengenai scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna atas n ≥ 5 titik ganjil yang terdiri dari dua cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Pertama, tulisan ini membahas primitifitas dari sebuah digraf dwiwarna D(2) dan selanjutnya memperlihatkan rumus scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif terhadap titik berderajat masuk dua. Kata kunci: Primitif, digraf dwiwarna, digraf Hamilton, scrambling index.
v

SCRAMBLING INDEX OF A CLASS OF TWO-COLORED HAMILTONIAN DIGRAPH WITH N ODD VERTICES ABSTRACT
The scrambling index of a primitive two-colored digraph D(2) is the least positive integer h + ℓ over all pairs of nonnegative integers (h, ℓ) such that for each pair of vertices u and v in D(2) there is a vertex w in D(2) with the property that there is an (h, ℓ)-walk from u to w and an (h, ℓ)-walk from v to w. This paper discuss the scrambling index of a class of two-colored Hamiltonian digraph on n ≥ 5 odd vertices consist of two cycles of length n and (n − 1)/2, respectively. First, this paper discuss the primitivity of a two-colored digraph D(2) and then present formulae for scrambling index that depend on n vertex and the position of the blue arcs relative to the vertex of indegree two. Keywords: Primitive, two-colored digraph, Hamiltonian digraph, scrambling index.
vi

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
MERRYANTY LESTARI P 110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MERRYANTY LESTARI P 110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

PERSETUJUAN

Judul
Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas

: Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton Dwiwarna dengan n Titik Ganjil
: Skripsi : Merryanty Lestari P : 110803067 : Sarjana (S1) Matematika : Matematika : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Komisi Pembimbing: Pembimbing 2,

Disetujui di Medan, Juli 2015
Pembimbing 1,

Dr. Mardiningsih, M.Si NIP. 19630405 198811 2 001

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19640109 198803 1 004

Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002

i

PERNYATAAN SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2015 MERRYANTY LESTARI P 110803067
ii

PENGHARGAAN
Segala puji hanya bagi Allah SWT yang senantiasa memberikan pertolongan dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL” ini dengan baik. Shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat.
Dalam penulisan skiripsi ini penulis banyak mendapatkan bimbingan, motivasi dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibunda Tetti Mahrani Lubis, AMS dan Ayahanda Anwar Pasaribu, S.Hut serta Kakanda Rahmelya Oktari, S.IA yang telah mendo’akan, memotivasi, dan memberikan dukungan selama penulisan skripsi ini.

2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I dan Ketua Departemen Matematika FMIPA USU Medan, dan Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasihat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, Medan.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat terbaik Intayashu, Indah, Mantari, Ratih, Tika, Tilsa, Aisyah, dan Nisa yang senantiasa menyemangati dan memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
iii

mengucapkan terima kasih kepada seluruh rekan-rekan Matematika 2011 terkhusus kepada Matematika Murni 2011 yang telah memberikan bantuan moril kepada penulis. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
iv

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL ABSTRAK
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif adalah bilangan bulat positif terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat sebuah titik w di D(2) dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-walk dari titik u ke titik w dan sebuah (h, ℓ)-walk dari titik v ke titik w. Tulisan ini membahas mengenai scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna atas n ≥ 5 titik ganjil yang terdiri dari dua cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Pertama, tulisan ini membahas primitifitas dari sebuah digraf dwiwarna D(2) dan selanjutnya memperlihatkan rumus scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif terhadap titik berderajat masuk dua. Kata kunci: Primitif, digraf dwiwarna, digraf Hamilton, scrambling index.
v

SCRAMBLING INDEX OF A CLASS OF TWO-COLORED HAMILTONIAN DIGRAPH WITH N ODD VERTICES ABSTRACT
The scrambling index of a primitive two-colored digraph D(2) is the least positive integer h + ℓ over all pairs of nonnegative integers (h, ℓ) such that for each pair of vertices u and v in D(2) there is a vertex w in D(2) with the property that there is an (h, ℓ)-walk from u to w and an (h, ℓ)-walk from v to w. This paper discuss the scrambling index of a class of two-colored Hamiltonian digraph on n ≥ 5 odd vertices consist of two cycles of length n and (n − 1)/2, respectively. First, this paper discuss the primitivity of a two-colored digraph D(2) and then present formulae for scrambling index that depend on n vertex and the position of the blue arcs relative to the vertex of indegree two. Keywords: Primitive, two-colored digraph, Hamiltonian digraph, scrambling index.
vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF 2.1 Definisi Digraf Dwiwarna 2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna 2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna 2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna 2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA

i ii iii v vi vii viii 1 1 4 4 4 5 5 7 8 11 16 19 21 41 41 41 42

vii

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

1.1 Digraf Wielandt Wn 1.2 (a) D(2) dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru

3 4

2.1 Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc

6

2.2 Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc

8

2.3 (a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat

9

2.4 Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif

10

2.5 Digraf dwiwarna D(2) primitif

13

viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matriks stochastic S adalah sebuah matriks bujursangkar berordo n yang setiap entri memenuhi 0 < sij < 1 dan jumlah entri setiap baris dan kolom sama dengan 1. Andaikan matriks stochastic S memenuhi sifat koefisien ergodicity τ1(S) < 1, dimana

τ1(S)

=

1 2

{

max
ij

n
∑

|sil

−

} sjl| .

l=1

Matriks stochastic S disebut matriks scrambling jika dan hanya jika untuk setiap dua baris dari matriks stochastic S memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama (Seneta, 1979). Matriks tak negatif A adalah sebuah matriks persegi berordo n yang setiap entri aij ≥ 0. Matriks tak negatif A dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga Ak bernilai positif. Scrambling index dari matriks tak negatif A primitif adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga Ak merupakan matriks scrambling.

Termotivasi dari gagasan Seneta diatas, Akelbek dan Kirland memperkenalkan scrambling index dari digraf primitif D. Suatu digraf primitif D dengan n titik dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks ketetanggaan A(D), yaitu matriks berukuran n × n yang setiap entrinya didefinisikan dengan aij = 1 jika terdapat walk berarah dari titik vi ke titik vj dan aij = 0 jika tidak terdapat walk berarah dari titik vi ke titik vj. Berdasarkan definisi matriks ketetanggaan A(D) dapat dilihat bahwa A(D) adalah sebuah matriks tak negatif. Scrambling index dari digraf primitif D bernilai sama dengan scrambling index dari matriks tak negatif A(D).

Akelbek dan Kirland (2009a) mendefinisikan scrambling index dari digraf primitif D, dinotasikan dengan k(D), adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat walk berarah (directed walk) dari titik u ke titik w di D dan sebuah sebuah walk berarah dari titik v ke titik w di D dengan panjang k.

2

Setelah diperkenalkannya definisi scrambling index, mulai banyak pengembangan penelitian mengenai scrambling index. Diawali Akelbek dan Kirland (2009a) mengemukakan batas atas scrambling index dari digraf primitif dengan n titik dan girth s. Andaikan D adalah digraf primitif dengan n titik dan girth s. Maka k(D) ≤ K(n, s) terpenuhi, jika D = Ds,n dan gcd(s, n) = 1, dimana Ds,n adalah sebuah digraf dengan sebuah cycle Hamilton v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 dan sebuah cycle v1 → vs → vs−1 → · · · → v2 → v1 dengan panjang s, K(n, s) = n − s + k(n, s) dan

k(n, s)

{ =

((s − 1)/2)n, ((n − 1)/2)s,

ketika s ganjil, ketika s genap.

Akelbek dan Kirland (2009b) menjelaskan karakteristik dari digraf-digraf primitif dengan scrambling index terbesar. Andaikan D adalah digraf primitif dengan n titik, girth s ≥ 2 dan k(D) = K(n, s), maka memenuhi sifat berikut ini.
1. Tidak terdapat cycle dengan panjang p, s < p < n, sehingga gcd(s, p) = 1.
2. D memuat Ds,n sebagai subgraf dan gcd(s, n) = 1.
Chen dan Liu (2010) menentukan hubungan antara scrambling index dan eksponen dari digraf simetrik primitif D dengan n ≥ 2 titik. Andaikan titik u dan v berada di D, maka ku,v(D) ≤ ⌈ expD(u, v)/2⌉ dan k(D) = ⌈ exp(D)/2⌉, dimana ⌈a⌉ adalah bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari a.
Liu dan Huang (2010) menentukan scrambling index dari digraf-digraf primitif yang salah satunya adalah digraf primitif dengan d loop. Andaikan Ln,d adalah digraf dengan himpunan titik V = {1, 2, · · · , n} dan himpunan arc A = {(i, i + 1)|1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {(n, 1)} ∪ {(i, i)|n − d ≤ i ≤ n}, dimana n, d adalah bilangan bulat dengan n ≥ 2 dan 1 ≤ d ≤ n, maka k(Ln,d) = n − ⌈d/2⌉. Selanjutnya, Gao dan Shao (2013) mengemukakan scrambling index dari digraf primitif dengan cycle ganjil Cn, dimana n ≡ 1 (mod 2), maka k(Cn) = (n − 1)/2. Terlihat bahwa penelitian terdahulu pada umumnya membahas mengenai srcambling index dari digraf primitif. Kemudian, Mulyono dan Suwilo (2014) memperkenalkan gagasan scrambling index dari digraf dwiwarna primitif.
Digraf dwiwarna D(2) adalah digraf yang mana setiap arcnya diberi warna merah atau biru (Fornasini dan Valcher, 1997). Digraf dwiwarna D(2) dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D(2)

vn v1

vn−1

3

v2 vn−2
v3 vn−3
Gambar 1.1 : Digraf Wielandt Wn
terdapat walk berarah dari titik u ke titik v dan walk berarah dari titik v ke titik u. Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif dengan syarat terdapat bilangan bulat tak negatif h dan ℓ sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat walk berarah dari titik u ke titik v dan walk berarah dari titik v ke titik u dengan panjang h + ℓ. Bilangan bulat positif terkecil h + ℓ merupakan eksponen dari D(2), dinotasikan dengan exp(D(2)).
Mulyono dan Suwilo (2014) membahas tentang scrambling index dari digraf Wielandt dwiwarna, yaitu sebuah digraf Hamilton dwiwarna yang terdiri dari cycle Hamilton v1 → v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 → v3 → · · · → vn−1 → v1 dengan panjang n − 1. Representasi grafis digraf Wielandt Wn dapat dilihat pada Gambar 1.1. Andaikan Wn(2) adalah digraf Wielandt dwiwarna dengan n titik. Scrambling index dari Wn(2) dengan n ≥ 4 ditentukan berdasarkan posisi dan jumlah arc biru pada Wn(2), diperoleh sebagai berikut:
1. Jika Wn(2) memiliki satu arc biru vx → vx+1, dimana 1 ≤ x ≤ n − 2, maka k(Wn(2)) = n2 − 2n + 1 − x.
2. Jika Wn(2) memiliki dua arc biru vn−1 → v1 dan vn → v1, maka k(Wn(2)) = n2 − 2n + 1.
3. Jika Wn(2) memiliki dua arc biru vn−1 → v1 dan vn−1 → vn, maka k(Wn(2)) = n2 − 2n + 2.
Lebih lanjut, penulis akan membahas mengenai scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna dengan n titik ganjil yang terdiri dari cycle Hamilton v1 → v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 → v3 → · · · → v(n−3)/2 → v(n−1)/2 → v1 dengan panjang (n − 1)/2.

4
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D(2) adalah digraf Hamilton dwiwarna dengan n ≥ 5 titik ganjil terdiri atas cycle Hamilton dan cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Penelitian ini membahas mengenai D(2) memiliki dua arc biru, yaitu vx → vx+1 dimana 1 ≤ x ≤ (n−3)/2 dan vy → vy+1 dimana (n−1)/2 ≤ y ≤ n dan D(2) memiliki tiga arc biru, yaitu v(n−1)/2 → v1, vx → vx+1, dan vy → vy+1 dimana (n − 1)/2 ≤ x < y ≤ n, seperti pada Gambar 1.2. Masalah penelitian ini adalah menentukan formula scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif terhadap titik berderajat masuk dua atau v1.

vn−1 vn−2 vy+1 vy

vy+1 vy

vx+1

vn v1
v2

v n+1 2

vn

v vn−1 2

1

vx+1

v2

vx v n−1
2
v n−3 2

v3

v v4

n−7 2

vx

(a)

v3 : arc merah

v v4

n−7 2

(b)

v n−5 2

: arc biru Gambar 1.2 : (a) D(2) dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru

1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna dengan n ≥ 5 titik ganjil terdiri atas cycle Hamilton v1 → v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 → v3 → · · · → v(n−3)/2 → v(n−1)/2 → v1 dengan panjang (n − 1)/2.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah menambah literatur penelitian mengenai scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna.

BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
Pada bab ini akan dibahas mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian digraf Hamilton dwiwarna dan menjadi landasan berfikir untuk mempermudah dalam pembahasan hasil pada bab berikutnya. Adapun teori-teori yang akan dibahas mencakup definisi, primitifitas, scrambling index dan batas scrambling index digraf dwiwarna.
2.1 Definisi Digraf Dwiwarna
Pada subbab ini akan dipaparkan definisi digraf dwiwarna, notasi dan terminologi yang akan digunakan pada pembahasan selanjutnya.
Secara sederhana, suatu digraf D didefinisikan sebagai kumpulan titik berhingga V dan sisi berarah atau arc A. Secara matematika, suatu digraf D adalah sebuah objek yang terdiri atas dua himpunan, yaitu
1. Himpunan berhingga dan tak kosong V = {v1, v2, v3, · · · , vn}, dimana vi dengan i = 1, 2, 3, · · · , n disebut titik dari digraf D.
2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari himpunan V × V . Unsur himpunan A disebut sisi berarah atau arc dari digraf D.
Suatu digraf dwiwarna, dinotasikan dengan D(2), adalah sebuah digraf D yang setiap arc-nya diberi warna merah atau biru (Fornasini dan Valcher, 1997). Bila a = (vi, vj) ∈ V × V adalah sebuah arc pada digraf dwiwarna D(2), maka titik vi disebut sebagai titik asal dan titik vj disebut titik terminal. Suatu a = (vi, vj) dikatakan arc merah dinotasikan dengan vi −→ vj dan a = (vi, vj) dikatakan arc biru dinotasikan dengan vi − → vj.
Contoh 2.1.1. Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4} bersama dengan himpunan arc yang terdiri dari himpunan arc merah R = {(v1, v2), (v3, v4), (v4, v1)} dan himpunan arc biru B = {(v2, v3), (v4, v1)} merupakan sebuah digraf dwiwarna D(2) dengan 4 titik dan 5 arc. Representasi grafis dari digraf dwiwarna D(2) berikut dapat dilihat pada Gambar 2.1.

6 v4

v1 v3

v2 Gambar 2.1 : Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc

Konsep insidensi antara titik dengan arc pada digraf dwiwarna D(2) didefinisikan sama dengan konsep insidensi pada digraf D. Andaikan a = (vi, vj) adalah sebuah arc pada digraf dwiwarna D(2). Titik vi dikatakan insiden ke arc a dan titik vj dikatakan insiden dari arc a. Sedangkan, arc a dikatakan insiden dari titik vi dan arc a dikatakan insiden ke titik vj. Derajat masuk (indegree) dari sebuah titik vi, dinotasikan dengan id(vi), adalah banyaknya arc yang insiden ke titik vi. Derajat keluar (outdegree) dari sebuah titik vi, dinotasikan dengan od(vi), adalah banyaknya arc yang insiden dari titik vi. Pada Gambar 2.1 perhatikan arc (v1, v2), maka titik v1 insiden ke (v1, v2) dan titik v2 insiden dari (v1, v2). Selain itu, diperoleh bahwa id(v1) = 2 dan od(v1) = 1, sedangkan id(v2) = 1 dan od(v2) = 1.

Sebuah (h, ℓ)-walk berarah pada digraf dwiwarna D(2) adalah sebuah walk

berarah dengan panjang h+ℓ yang terdiri dari h arc merah dan ℓ arc biru. Notasi vi −(h→,ℓ) vj digunakan untuk menyatakan sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi

ke titik vj. Andaikan W adalah sebuah walk berarah, banyaknya arc merah dari

W dinotasikan dengan r(W ) dan banyaknya arc biru dari W dinotasikan dengan

b(W ).

Panjang

dari

W

adalah

ℓ(W )

=

r(W )+b(W )

dan

vektor

[

r(W ) b(W )

]

adalah

komposisi dari W .

Sebuah walk berarah yang memuat setiap titik berbeda kecuali pada titik

awal dan titik akhir disebut path. Sebuah (h, ℓ)-path adalah sebuah path yang

terdiri dari h arc merah dan ℓ arc biru. Notasi Pvi,vj menyatakan terdapat path

dari titik vi ke titik vj. Andaikan Pvi,vj adalah sebuah path, banyaknya arc merah

dari Pvi,vj dinotasikan dengan r(Pvi,vj ) dan banyaknya arc biru dari Pvi,vj dino-

tasikan

dengan

b(Pvi,vj ).

Vektor

[

r(Pvi,vj ) b(Pvi,vj )

]

adalah

komposisi

dari

Pvi,vj .

P ath

yang memuat titik awal sama dengan titik akhir disebut path tertutup (closed

path) atau cycle.

7

Perhatikan Gambar 2.1, akan diperlihatkan walk, path, dan cycle yang ada pada digraf dwiwarna D(2) tersebut.

1. v1 −→ v2 − → v3 −→ v4 − → v1 −→ v2 − → v3 adalah walk berarah

dengan

komposisi

[

3 3

]

dan

bukan

path

karena

titik

v1, v2, v3

muncul

2

kali.

2.

v1

−→

v2

− → v3

−→ v4

adalah

path

dengan

komposisi

[

2 1

] .

3.

v1

−→

v2

− → v3

−→ v4

−→

v1

adalah

cycle

dengan

komposisi

[

3 1

] .

Definisi 2.1.2. Path Hamilton adalah path yang memuat setiap titik yang ada pada digraf dwiwarna D(2) tepat satu kali. Cycle Hamilton adalah cycle yang melalui setiap titik yang ada pada digraf dwiwarna D(2) tepat satu kali, kecuali

pada titik awal dan titik akhir.

Suatu digraf dwiwarna D(2) yang memuat cycle Hamilton disebut digraf Hamilton dwiwarna, sedangkan digraf dwiwarna D(2) yang memuat path Hamilton disebut digraf semi-Hamilton dwiwarna.

2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna

Suatu digraf dwiwarna D(2) atas n titik dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks ketetanggaan (adjacency matrix). Matriks ketetanggaan dari suatu digraf dwiwarna D(2) terbagi menjadi dua, yaitu matriks ketetanggaan merah R dan matriks ketetanggaan biru B.
Matriks ketetanggaan merah dari D(2) adalah matriks bujursangkar R = (rij) berordo n didefinisikan sebagai



rij

1, =

jika

(vi, vj) adalah

arc

merah,

0, jika sebaliknya.

Matriks ketetanggaan biru dari D(2) adalah matriks bujursangkar B = (bij) berordo n didefinisikan sebagai



bij

1, =

jika

(vi, vj)

adalah

arc biru,

0, jika sebaliknya.

8
Contoh 2.2.1. Perhatikan digraf dwiwarna D(2) dengan 7 titik dan 10 arc berikut ini.
v6 v5

v1 v7

v4

v2 v3 Gambar 2.2 : Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc

Matriks ketetanggaan merah dan biru dari Gambar 2.2 adalah sebagai berikut.

0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

 0 0 0 0 0 0 0 

 0 0 0 1 0 0 0 

R =  0 0 0 0 0 0 0  dan B =  0 0 0 0 1 0 0  .   

 

0

0

0

0

0

1

0

 

 

0

0

0

0

0

0

0

 

 

0

0

0

0

0

0

0

 

 

1

0

0

0

0

0

1

 

0110100

0000000

Suatu matriks bujursangkar M = (mij) berordo n, untuk setiap i, j = 1, 2, . . . , n, dikatakan matriks tak negatif jika mij merupakan bilangan bulat tak negatif dan dikatakan matriks positif jika mij merupakan bilangan bulat positif.
Contoh 2.2.2. Berikut diperlihatkan contoh matriks tak negatif dan matriks positif.
1 0 5 Matriks M =  3 2 7  adalah matriks tak negatif.
609 2 3 5 Matriks M =  1 9 6  adalah matriks positif.
874

2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna
Suatu digraf dwiwarna D(2) dikatakan terhubung kuat (strongly connected) apabila digraf dari D(2), tanpa memperhatikan warna setiap arc, adalah terhubung kuat. Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik vi

9
dan titik vj terdapat walk berarah dari titik vi ke titik vj dan walk berarah dari titik vj ke titik vi. Terdapat sifat khusus dari digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat yang berkaitan dengan keberadaan cycle.
Proposisi 2.3.1. Andaikan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna terhubung kuat. Setiap titik di D(2) terletak pada sebuah cycle.
Bukti. Andaikan vi adalah sebarang titik di D(2). Dapat dibentuk sebuah cycle yang memuat titik vi. Karena D(2) terhubung kuat, maka terdapat titik vj di D(2) sehingga (vi, vj) adalah sebuah arc di D(2). Karena D(2) terhubung kuat, terdapat sebuah path Pvi,vj dari titik vi ke titik vj. Sekarang arc (vi, vj) dilanjutkan dengan path Pvi,vj adalah sebuah cycle yang memuat titik vi.
Berikut diperlihatkan contoh digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
v5 v4 v5 v4
v1 v2 v3 v1 v2 v3 (a) (b)
Gambar 2.3 : (a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat
Gambar 2.3(a) merupakan digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat karena terdapat walk berarah yang menghubungkan setiap pasangan titik di D(2) atau berdasarkan Proposisi 2.3.1 setiap titik berada pada sebuah cycle, sedangkan Gambar 2.3(b) merupakan digraf dwiwarna D(2) tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk berarah yang menghubungkan titik v2 ke titik v5 atau berdasarkan Proposisi 2.3.1 titik v1 dan v5 tidak berada pada sebuah cycle.
Suatu digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif dengan syarat terdapat bilangan bulat tak negatif h dan ℓ sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D(2) terdapat vi −(h→,ℓ) vj walk dan vj −(h→,ℓ) vi walk. Bilangan bulat tak negatif h + ℓ terkecil merupakan eksponen dari D(2), dinotasikan dengan exp(D(2)).
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna dan andaikan C = {C1, C2, . . . , Cq} adalah himpunan semua cycle di D(2). Matriks cycle M dari D(2) didefinisikan

10

sebagai matriks 2 × q yang mana kolom ke-i adalah komposisi dari cycle Ci, i = 1, 2, . . . , q yaitu sebagai berikut

M

=

[

r(C1) b(C1)

r(C2) b(C2)

··· ···

r(Cq ) b(Cq )

] .

Jika M memiliki rank 1, maka content dari M adalah 0 dan content dari M didefinisikan sebagai pembagi bersama terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari M . Berikut diberikan karakteristik dari sebuah digraf dwiwarna D(2) primitif.

Teorema 2.3.2. (Fornasini dan Valcher, 1998) Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna dan andaikan M adalah matriks cycle dari D(2). Digraf dwiwarna D(2) dikatakan primitif jika dan hanya jika content dari M adalah 1.

Contoh 2.3.3. Perhatikan digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat pada Gambar 2.4. Digraf dwiwarna D(2) tersebut terdiri atas dua cycle sehingga diperoleh matriks cycle M sebagai berikut.

M

=

[

r(C1) b(C1)

r(C2) b(C2)

]

=

[

5 2

2] 1

karena det(M ) = 1, berdasarkan Teorema 2.3.2 maka digraf dwiwarna D(2) tersebut adalah primitif.

v6 v5

v7 v4

v1 v3
v2 Gambar 2.4 : Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dengan n titik. Untuk sebarang pasangan matriks tak negatif (A, B) berukuran n × n dapat ditemukan digraf dwiwarna D(2) atas n titik yang berhubungan dengan (A, B) sebagai berikut. Sebuah (vi, vj) di D(2) adalah arc merah jika dan hanya jika aij > 0 dan (vi, vj) di D(2) adalah arc biru jika dan hanya jika bij > 0.

11

Untuk sebarang pasangan matriks tak negatif (A, B), suatu (h, ℓ)-Hurwitz product dari matriks A dan B, dinotasikan dengan (A, B)(h,ℓ), didefinisikan secara rekursif sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat tak negatif h ≥ 1 dan ℓ ≥ 1, (A, B)(h,0) = Ah, (A, B)(0,ℓ) = Bℓ, dan
(A, B)(h,ℓ) = A(A, B)(h−1,ℓ) + B(A, B)(h,ℓ−1).
Lemma 2.3.4. Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna dengan n titik dan andaikan R dan B adalah matriks ketetanggaan merah dan biru dari D(2). Maka entri (i, j) dari (R, B)(h,ℓ) adalah banyaknya (h, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj.

Bukti. Akan dibuktikan induksi pada (h + ℓ) dan (h + ℓ + 1), jika h = 0 maka

ℓ = 1 atau jika h = 1 maka ℓ = 0. Jika h = 0 maka entri (i, j) dari (R, B)(0,1) = B

adalah

walk

dengan

kompisisi

[

0 1

] .

Dengan

cara

yang

sama,

jika

ℓ

=

0

maka

entri

(i, j)

dari

(R, B)(1,0)

=

R

adalah

walk

dengan

kompisisi

[

1 0

]

di

D(2).

Asumsikan Lemma 2.3.4 adalah benar untuk bilangan bulat tak negatif h′ dan ℓ′ dengan h′ + ℓ′ ≤ h + ℓ, akan diperlihatkan untuk h + ℓ + 1 adalah benar dengan catatan sebagai berikut.

(R, B)(h+1,ℓ) = R(R, B)(h,ℓ) + B(R, B)(h+1,ℓ−1).

Berdasarkan hipotesis induksi, entri (i, j) pada R(R, B)(h,ℓ) adalah walk dari ti-
tik vi ke titik vj yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (h, ℓ)-walk dan entri (i, j) pada B(R, B)(h+1,ℓ−1) adalah walk dari titik vi ke titik vj yang dimulai dengan arc biru dan diikuti oleh (h + 1, ℓ − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari R(R, B)(h+1,ℓ) adalah banyaknya (h + 1, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj. Jadi, entri (i, j) pada (R, B)(h,ℓ) adalah banyaknya (h, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj.

2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif dan andaikan titik vi dan vj adalah dua titik berbeda di D(2). Scrambling index lokal dari titik vi dan vj di titik vt ∈ V (D(2)), kvi,vj (vt), adalah bilangan bulat positif terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga terdapat sebuah vi −(h→,ℓ) vt walk dan vj −(h→,ℓ) vt walk. Scrambling index lokal dari titik vi dan vj di

12

D(2) didefinisikan sebagai,

kvi,vj (D(2)) = vt∈mV (iDn(2)){kvi,vj (vt)}.
Scrambling index dari D(2), dinotasikan dengan k(D(2)), adalah bilangan bulat positif terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D(2) terdapat sebuah titik vt dengan sifat bahwa terdapat vi −(h→,ℓ) vt walk dan vj −(h→,ℓ) vt walk. Berdasarkan definisi scrambling index, diperoleh hubungan sebagai berikut

vi

max
,vj ∈V (D(2)

{kvi,vj
)

(D(2))}

≤

k(D(2)).

Contoh 2.4.1. Representasi digraf dwiwarna D(2) primitif dengan 3 titik, 2 arc merah, dan 2 arc biru seperti pada Gambar 2.5. Scrambling index lokal dari digraf dwiwarna D(2) tersebut sebagai berikut.

kv1,v2 (D(2)) = min{kv1,v2 (v1), kv1,v2 (v2), kv1,v2 (v3)} = min{(1, 1), (2, 1), (3, 1)} = min{2, 3, 4} = 2,
kv1,v3 (D(2)) = min{kv1,v3 (v1), kv1,v3 (v2), kv1,v3 (v3)} = min{(2, 2), (3, 2), (4, 2)} = min{4, 5, 6} = 4,
kv2,v3 (D(2)) = min{kv2,v3 (v1), kv2,v3 (v2), kv2,v3 (v3)} = min{(0, 1), (1, 1), (2, 1)} = min{1, 2, 3} = 1.

Dari definisi, maka diperoleh k(D(2)) ≥ max{kv1,v2(D(2)), kv1,v3(D(2)), kv2,v3(D(2))} = max{2, 4, 1} = 4 dengan komposisi 2 arc merah dan 2 arc biru.
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa k(D(2)) ≤ 4 dengan komposisi 2 arc merah dan 2 arc biru, yaitu akan diperlihatkan untuk setiap dua pasang titik (vi, vj) yang berbeda di D(2) terdapat titik vt di D(2) sedemikian hingga terdapat vi −(2→,2) vt walk dan vj −(2→,2) vt walk. Pada Contoh 2.4.1, diperoleh setiap dua pasang titik yang berbeda, yaitu (v1, v2), (v2, v3), (v1, v3) di D(2).
1. Untuk pasangan titik (v1, v2) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v1 −(2→,2) v1 walk dan v2 −(2→,2) v1 walk, yaitu
v1 −→ v2 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v2 −→ v3 − → v1 −→ v2 − → v1.
2. Untuk pasangan titik (v1, v3) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v1 −(2→,2) v1 walk dan v3 −(2→,2) v1 walk, yaitu
v1 −→ v2 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v3 − → v1 −→ v2 −→ v3 − → v1.

13 v3

v1 v2 Gambar 2.5 : Digraf dwiwarna D(2) primitif

3. Untuk pasangan titik(v2, v3) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v2 −(2→,2) v1 walk dan v3 −(2→,2) v1 walk, yaitu v2 −→ v3 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v3 − → v1 −→ v2 −→ v3 − → v1.
Telah diperlihatkan bahwa k(D(2)) ≤ 4 dan k(D(2)) ≥ 4 dengan kompisisi 2 arc merah dan 2 arc biru. Jadi, dapat disimpulkan scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif pada Gambar 2.5 adalah 4.

Berdasarkan Lemma 2.3.4, scrambling index dari suatu digraf dwiwarna D(2) primitif dapat dicari dengan menggunakan (h, ℓ)-Hurwitz product dari matriks ketetanggaan merah R dan matriks ketetanggaan biru B. Jika untuk setiap dua baris pada (R, B)(h,ℓ) terdapat paling sedikit satu entri bernilai positif pada kolom yang sama, maka k(D(2)) = h + ℓ.
Contoh 2.4.2. Matriks ketetanggaan merah dan biru dari digraf dwiwarna D(2) primitif pada Gambar 2.5 diberikan sebagai berikut.

0 1 0

0 0 0

R =  0 0 1  dan B =  1 0 0  ,

000

100

maka untuk h + ℓ = 1, diperoleh

0 1 0 1. (R, B)(1,0) = R =  0 0 1 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 1 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(1,0)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0 2. (R, B)(0,1) = B =  1 0 0 .
100

14
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 1 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(0,1) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 2, diperoleh
0 0 1 1. (R, B)(2,0) = R2 =  0 0 0 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 2 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(2,0) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0 2. (R, B)(0,2) = B2 =  0 0 0 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 2 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,2) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
1 0 0 3. (R, B)(1,1) = R(R, B)(0,1) + B(R, B)(1,0) =  1 1 0 .
010 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 2 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(1,1) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 3, diperoleh
0 0 0 1. (R, B)(3,0) = R3 =  0 0 0 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 3 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(3,0) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0 2. (R, B)(0,3) = B3 =  0 0 0 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 3 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,3) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.

15
1 1 0 3. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + B(R, B)(2,0) =  0 1 1 .
001 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 3 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(2,1) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0 4. (R, B)(1,2) = R(R, B)(0,2) + B(R, B)(1,1) =  1 0 0 .
100 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 3 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(1,2) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 4, diperoleh
0 0 0 1. (R, B)(4,0) = R4 =  0 0 0 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(4,0) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0 2. (R, B)(0,4) = B4 =  0 0 0 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,4) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 1 1 3. (R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + B(R, B)(3,0) =  0 0 1 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 4 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(3,1) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0 4. (R, B)(1,3) = R(R, B)(0,3) + B(R, B)(1,2) =  0 0 0 .
000 Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(1,3) tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.

16

1 0 0 5. (R, B)(2,2) = R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) =  2 1 0 .

110

Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 sama dengan

4 karena untuk setiap dua baris pada (R, B)(2,2) terdapat paling sedikit satu

entri positif pada kolom yang sama. Jadi, diperoleh k(D(2)) = 4 dengan

komposisi

[

2 2

] .

2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna

Pada subbab ini akan dibahas mengenai batas atas dan batas bawah untuk scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif, terkhusus digraf dwiwarna D(2) primitif yang terdiri atas dua cycle (Mulyono dan Suwilo, 2014).
Setiap walk berarah pada suatu digraf dwiwarna D(2) dapat diuraikan menjadi sebuah path dan beberapa cycle. Hal ini berarti untuk setiap vi −(h→,ℓ) vj walk memiliki hubungan sebagai berikut.

[h] ℓ

=

[

r(Pvi,vj ) b(Pvi,vj )

][ + z1

r(C1) b(C1)

][ + z2

r(C2) b(C2)

][ + · · · + zq

r(Cq ) b(Cq )

]

=

[

r(Pvi,vj ) b(Pvi,vj )

] + Mz

untuk beberapa path Pvi,vj dari titik vi ke titik vj dan beberapa vektor bilangan bulat tak negatif z.

Proposisi berikut ini digunakan untuk menentukan batas atas scrambling index digraf dwiwarna.
Proposisi 2.5.1. (Mulyono dan Suwilo, 2014) Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri atas dua cycle C1 dan C2. Andaikan vj adalah sebuah titik yang berada pada kedua cycle. Jika untuk beberapa bilangan bulat positif h dan ℓ, terdapat sebuah path Pvi,vj dari titik vi ke titik vj sedemikian hingga sistem

[ Mz +

r(Pvi,vj ) b(Pvi,vj )

]

=

[

h ℓ

]

(2.1)

memiliki solusi bilangan bulat tak negatif, maka terdapat sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi ke titik vj.

17

Bukti.

Asumsikan

bahwa

solusi

dari sistem (2.1) adalah

z=

[

z1 z2

] .

Terdapat

empat kemungkinan nilai z1 dan z2 sebagai berikut.

Jika z1 > 0 dan z2 > 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke vj melalui sepanjang (r(Pvi,vj ), b(Pvi,vj ))-path Pvi,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C1 sebanyak z1 kali dan bergerak mengelilingi cycle C2 sebanyak z2 kali, dan kembali ke titik vj adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi ke vj.

Jika z1 = 0 dan z2 > 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke vj melalui sepanjang (r(Pvi,vj ), b(Pvi,vj ))-path Pvi,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C2 sebanyak z2 kali. Dengan cara yang sama, Jika z1 > 0 dan z2 = 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke vj melalui sepanjang (r(Pvi,vj ), b(Pvi,vj ))-path Pvi,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C1 sebanyak z1 kali dan kembali ke titik vj adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi ke vj.

Jika z1 = z2 = 0, maka (r(Pvi,vj ), b(Pvi,vj ))-path Pvi,vj dari titik vi ke vj adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah.

Lemma berikut ini digunakan untuk menentukan batas bawah scrambling index digraf dwiwarna. Didefinisikan bahwa ℓ(C1) adalah panjang dari cycle C1 dan ℓ(C2) adalah panjang dari cycle C2.
Lemma 2.5.2. (Mulyono et al. 2015) Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri atas dua cycle C1 dan C2 dengan matriks cycle

M

=

[

r(C1) b(C1)

r(C2) b(C2)

] ,

dan andaikan vi dan vj adalah sebarang dua titik yang berbeda di D(2). Jika kvi,vj (vt) diperoleh dari sebuah (h, ℓ)-walk berarah, maka

[

h ℓ

]

≥

[ M

b(C2)r(Pvi,vt ) − r(C2)b(Pvi,vt ) r(C1)b(Pvj,vt ) − b(C1)r(Pvj,vt )

] .

Oleh karena itu,

kvi,vj (vt) ≥ ℓ(C1)[b(C2)r(Pvi,vt)−r(C2)b(Pvi,vt)]+ℓ(C2)[r(C1)b(Pvj,vt)−b(C1)r(Pvj,vt)] untuk beberapa path Pvi,vt dan Pvj,vt.

18

Bukti. Karena D(2) adalah primitif, maka berdasarkan Teorema 2.3.2 diperoleh det(M ) = 1 atau det(M ) = −1. Tanpa menghilangkan keumuman diasumsikan bahwa det(M ) = 1. Karena det(M ) = 1, terdapat bilangan bulat e1 dan e2 sedemikian hingga

[

h ℓ

][ =M

e1 e2

] .

(2.2)

Karena setiap walk berarah dapat diuraikan menjadi sebuah path dan beberapa cycle, maka

[

h ℓ

]

=

[

r(Pvi,vt ) b(Pvi,vt )

] + M z,

(2.3)

untuk beberapa path Pvi,vt dari titik vi ke vt dan beberapa vektor bilangan bulat tak negatif z. Bandingkan persamaan (2.2) dan (2.3), maka diperoleh

Oleh karena itu,

z=

[

e1 e2

][ − M −1

r(Pvi,vt ) b(Pvi,vt )

]

≥ 0.

[

e1 e2

][ ≥ M −1

r(Pvi,vt ) b(Pvi,vt )

][ =

b(C2)r(Pvi,vt ) − r(C2)b(Pvi,vt ) r(C1)b(Pvi,vt ) − b(C1)r(Pvi,vt )

] .

Sehingga, diperoleh e1 ≥ b(C2)r(Pvi,vt)−r(C2)b(Pvi,vt) untuk beberapa path Pvi,vt dari titik vi ke vt dan e2 ≥ r(C1)b(Pvj,vt) − b(C1)r(Pvj,vt) untuk beberapa path Pvj,vt dari titik vj ke vt. Jika kvi,vj (vt) diperoleh dari sebuah (h, ℓ)-walk berarah, maka

[

h ℓ

][ =M

e1 e2

][ ≥M

b(C2)r(Pvi,vt ) − r(C2)b(Pvi,vt ) r(C1)b(Pvj,vt ) − b(C1)r(Pvj,vt )

]

dan diperoleh

kvi,vj (vt) ≥ ℓ(C1)[b(C2)r(Pvi,vt)−r(C2)b(Pvi,vt)]+ℓ(C2)[r(C1)b(Pvj,vt)−b(C1)r(Pvj,vt)] untuk beberapa path Pvi,vt dan Pvj,vt.

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN

Metodologi penelitian yang dilakukan untuk mendapatkan scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna D(2) adalah dengan studi penelahaan terhadap jurnaljurnal dan buku yang berkaitan dengan teori graf dan scrambling index. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut.

1. Menentukan primitifitas digraf dwiwarna
Penelitian ini membahas digraf Hamilton dwiwarna D(2) terdiri atas dua cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Akan dicari matriks cycle M dari D(2) sehingga berdasarkan Teorema 2.3.2 content dari matriks cycle M adalah 1. Dengan kata lain, diketahui

M

=

[

n−a a

(n − 1)/2 − b ] b

akan ditentukan nilai a dan b sedemikian hingga det(M ) = 1 atau det(M ) = −1.

2. Komputasi nilai scrambling index
Terdapat dua cara untuk menghitung scrambling index dari D(2). Pertama, dengan menggunakan sof tware MATLAB akan diperoleh h + ℓ, sehingga k(D(2)) = h + ℓ. Berikut algoritma program scrambling index dari D(2) dengan n ≥ 5 titik ganjil.
1. Menginput matriks ketetanggaan dari D(2), yaitu matriks ketetanggaan merah R dan matriks ketetanggaan biru B.
2. Menghitung (h, ℓ)-Hurwitz product, (R, B)(h,ℓ), dari matriks ketetanggaan merah R dan matriks ketetanggaan biru B.
3. Jika untuk setiap dua baris pada (R, B)(h,ℓ) sedikitnya terdapat satu entri bernilai positif pada kolom yang sama, maka k(D(2)) = h + ℓ.
Kedua, dengan cara manual yaitu dengan mencari h + ℓ terkecil. Andaikan vi, vj ∈ V (D(2)) dan andaikan vt ∈ V (D(2)) dengan t = 1, 2, . . . , n. Berdasarkan

20

Lemma 2.5.2, diketahui bahwa

[

h ℓ

]

≥

M

[

b(C2)r(Pvi,vt ) − r(C2)b(Pvi,vt ) r(C1)b(Pvj,vt ) − b(C1)r(Pvj,vt )

]

dengan e1 = b(C2)r(Pvi,vt)−r(C2)b(Pvi,vt) dan e2 = r(C1)b(Pvj,vt)−b(C1)r(Pvj,vt), agar mendapatkan h + ℓ, maka harus dicari nilai e1 dan e2 yaitu dengan mencari path Pvi,vt dari titik vi ke titik vt yang memuat arc merah paling banyak dan sedikit arc biru dan mencari path Pvj,vt dari titik vj ke titik vt yang memuat arc biru paling banyak dan sedikit arc merah. Karena digraf Hamilton dwiwarna D(2) memuat dua cycle, maka terdapat paling banyak dua kemungkinan path Pvi,vt dan path Pvj,vt. Apabila terdapat dua path Pvi,vt dari titik vi ke titik vt, maka e1 = min{b(C2)r(Pvi,vt) − r(C2)b(Pvi,vt)}. Apabila terdapat dua path Pvj,vt dari titik vj ke titik vt, maka e2 = min{r(C1)b(Pvj,vt) − b(C1)r(Pvj,vt)}. Karena nilai e1 dan e2 yang dipilih bernilai kecil, maka akan menghasilkan h + ℓ yang bernilai kecil. Setelah diperoleh kvi,vj (vt) = h + ℓ untuk setiap titik vt ∈ V (D(2)), maka k(D(2)) = min{kvi,vj (vt)}.
Selanjutnya, menentukan bentuk umum formula scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna D(2) dengan n ≥ 5 titik ganjil berdasarkan komputasi nilai scrambling index yang diperoleh.

3. Pembuktian formula scrambling index
Pembuktian formula scrambling dengan cara menentukan batas atas dan batas bawah dari dcrambling index tersebut. Berdasarkan Proposisi 2.5.1 akan dip