Scrambling Index dari Digraf Hamilton Dwiwarna atas n 1 (mod 3) Titik
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Digraf merupakan salah satu pokok bahasan dalam ilmu matematika. Digraf
dinotasikan dengan D. Digraf D terdiri atas himpunan titik - titik yang dihubungkan oleh himpunan garis - garis berarah atau busur. Dalam aplikasinya,
digraf dapat ditemukan pada proses jaring - jaring makanan. Himpunan titik titik tersebut diartikan sebagai kumpulan suatu objek yang dalam hal ini adalah
kumpulan binatang dan himpunan busur - busur sebagai aktifitas memakan antara dua binatang berbeda. Siklus makan - memakan tersebut direpresentasikan
menjadi digraf dalam ilmu matematika. Himpunan busur - busur dari digraf yang
diberi dua warna, namun tidak sekaligus kedua warna tersebut berada pada satu
busur disebut digraf dwiwarna, dinotasikan dengan D(2) .
Andaikan h(W ) dan ℓ(W ) masing - masing adalah banyaknya busur merah
dan busur biru pada jalan W . Suatu jalan dari titik vi ke titik vj dengan panjang
(h,ℓ)
(h + ℓ), dinotasikan dengan vi −→ vj , adalah sebuah barisan berhingga busur
di D(2) yang diawali dengan titik v0 = vi dan diakhiri titik v(h+ℓ) = vj . Sebuah
lintasan Pvi vj adalah suatu jalan dengan titik yang berbeda - beda dari titik vi ke
titik vj . Jika titik vi = vj maka disebut lintasan tertutup atau cycle. Digraf D(2)
disebut sebagai digraf Hamilton dwiwarna jika ditemukan cycle yang memuat
semua titik pada D(2) .
Penelitian yang membahas tentang D(2) mulai banyak dilakukan dan parameter yang dikemukan adalah tentang eksponen. Dalam mencari nilai eksponen
dari suatu D(2) terlebih dahulu digraf dwiwarna tersebut harus primitif. Sebuah
D(2) terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat sebuah bilangan bulat tak
negatif h dan ℓ sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj terdap(h,ℓ)
(h,ℓ)
at sebuah jalan vi −→ vj dan sebuah jalan vj −→ vi . Bilangan bulat positif (h+ℓ)
yang paling kecil disebut eksponen dari D(2) , dinotasikan dengan exp(D(2) ).
Shao dan Gao (2009) meneliti tentang batas - batas pada eksponen dan
mengkarakterisasi titik ekstrim dari digraf dwiwarna primitif yang memiliki 2n −
3 − c titik. Digraf tidak berwarna pada penelitian Shao dan Gao ditunjukkan
seperti pada gambar 1.1. Dalam penelitian ini, digraf dwiwarna dikatakan primitif jika dan hanya jika n = 3q + 1 atau n = 3q + 2 untuk q ≥ 2. Digraf dwiwarna primitif tersebut terdiri dari dua cycle dengan panjang cycle satu adalah
2
n dan panjang cycle dua adalah n − 3. Akibatnya, titik vc berada pada interval
2 ≤ c ≤ n − 3.
Gambar 1.1 : Digraf Primitif D.
Penelitian mengenai digraf dwiwarna berkembang menggunakan parameter
baru bernama scrambling index. Pada tahun 2009 Akelbek dan Kirkland memperkenalkan parameter tersebut. Akelbek dan Kirkland (2009a) mengemukakan
definisi scrambling index dari digraf primitif, dinotasikan dengan k(D), adalah
bilangan bulat positif terkecil ℓ sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj
di D terdapat sebuah titik vw di D sedemikian sehingga terdapat sebuah jalan
yang menghubungkan vi ke vw dan vj ke vw dengan panjang ℓ. Dalam artikel
ini juga dijelaskan batas atas dari digraf primitif sehingga akan dicapai batas
atas modulus terbesar kedua nilai eigen dari matriks primitif. Selanjutnya, Akelbek dan Kirkland (2009b) mengklasifikasikan semua digraf primitif sehingga nilai
scrambling index sama dengan batas atas.
Tahun 2014, Mulyono dan Suwilo mendiskusikan nilai scrambling index dari
digraf Wielandt dwiwarna. Digraf Wielandt tersebut dapat dilihat pada gambar
1.2. Scrambling index digraf Wielandt dwiwarna yang terdiri atas cycle Hamilton
v1 → v2 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan busur vn−1 → v1 untuk n ≥ 4 berada
pada interval [n2 − 3n + 3, n2 − 2n + 2].
3
Gambar 1.2 : Digraf Wielandt Wn .
Mulyono dan Suwilo mengeneralisasikan definisi scrambling index dari digraf primitif menjadi scrambling index dari digraf dwiwarna primitif. Definisi
scrambling index dari digraf dwiwarna primitif, yang dinotasikan dengan k(D(2) ),
adalah bilangan bulat positif terkecil (h + ℓ) untuk semua bilangan bulat tak
negatif h busur merah dan ℓ busur biru sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D(2) terdapat sebuah titik vw di D(2) dengan sifat bahwa
(h,ℓ)
(h,ℓ)
terdapat sebuah jalan vi −→ vw dan sebuah jalan vj −→ vw . Untuk dua titik
berbeda vi dan vj , scrambling index lokal dari vi dan vj di (D(2) ), dinotasikan
dengan kvi ,vj (D(2) ), adalah didefinisikan sebagai berikut :
kvi ,vj (D(2) ) =
=
min
{kvi ,vj (vw )}
min
{min(h + ℓ) : vi −→ vw dan vj −→ vw }
vw ∈V (D(2) )
vw ∈V (D(2) )
(h,ℓ)
(h,ℓ)
Dari definisi, k(D(2) ) dan kvi ,vj (D(2) ) diperoleh hubungan
k(D(2) ) ≥
max
vi ,vj ∈V
(D(2) )
{kvi ,vj (D(2) )}
Penelitian terdahulu mengkaji tentang scrambling index digraf Hamilton
dwiwarna dengan panjang cycle n dan n−1 yang disebut dengan digraf Wielandt.
Pada penelitian ini penulis akan membahas mengenai scrambling index dari digraf
Hamilton dwiwarna primitif menggunakan panjang cycle berdasarkan artikel Shao
dan Gao yaitu terdiri atas dua cycle dengan panjang cycle masing - masing n − 3
dan n, untuk n ≡ 1 (mod 3) titik.
4
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D(2) adalah digraf Hamilton dwiwarna primitif, terdiri atas dua cycle
yaitu v1 → v2 → · · · → vn−3 → v1 dengan panjang cycle satu adalah n − 3 dan
v1 → v2 → · · · → vn−1 → vn → v1 dengan panjang cycle dua adalah n, untuk
n ≡ 1 (mod 3) titik, n ≥ 7, dengan (n−4)/3 busur biru berurutan pada kedua cycle. Adapun masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah menentukan
bentuk umum scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna primitif seperti
pada gambar 4.1.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan matriks cycle agar D(2) primitif kemudian menentukan bentuk umum scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna
D(2) , dengan n ≡ 1 (mod 3) titik, n ≥ 7, terdiri atas dua cycle dengan panjang
cycle satu adalah n − 3 dan panjang cycle dua adalah n dengan (n − 4)/3 busur
biru berurutan pada kedua cycle.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk menambah ilmu pengetahuan dan literatur mengenai scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Digraf merupakan salah satu pokok bahasan dalam ilmu matematika. Digraf
dinotasikan dengan D. Digraf D terdiri atas himpunan titik - titik yang dihubungkan oleh himpunan garis - garis berarah atau busur. Dalam aplikasinya,
digraf dapat ditemukan pada proses jaring - jaring makanan. Himpunan titik titik tersebut diartikan sebagai kumpulan suatu objek yang dalam hal ini adalah
kumpulan binatang dan himpunan busur - busur sebagai aktifitas memakan antara dua binatang berbeda. Siklus makan - memakan tersebut direpresentasikan
menjadi digraf dalam ilmu matematika. Himpunan busur - busur dari digraf yang
diberi dua warna, namun tidak sekaligus kedua warna tersebut berada pada satu
busur disebut digraf dwiwarna, dinotasikan dengan D(2) .
Andaikan h(W ) dan ℓ(W ) masing - masing adalah banyaknya busur merah
dan busur biru pada jalan W . Suatu jalan dari titik vi ke titik vj dengan panjang
(h,ℓ)
(h + ℓ), dinotasikan dengan vi −→ vj , adalah sebuah barisan berhingga busur
di D(2) yang diawali dengan titik v0 = vi dan diakhiri titik v(h+ℓ) = vj . Sebuah
lintasan Pvi vj adalah suatu jalan dengan titik yang berbeda - beda dari titik vi ke
titik vj . Jika titik vi = vj maka disebut lintasan tertutup atau cycle. Digraf D(2)
disebut sebagai digraf Hamilton dwiwarna jika ditemukan cycle yang memuat
semua titik pada D(2) .
Penelitian yang membahas tentang D(2) mulai banyak dilakukan dan parameter yang dikemukan adalah tentang eksponen. Dalam mencari nilai eksponen
dari suatu D(2) terlebih dahulu digraf dwiwarna tersebut harus primitif. Sebuah
D(2) terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat sebuah bilangan bulat tak
negatif h dan ℓ sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj terdap(h,ℓ)
(h,ℓ)
at sebuah jalan vi −→ vj dan sebuah jalan vj −→ vi . Bilangan bulat positif (h+ℓ)
yang paling kecil disebut eksponen dari D(2) , dinotasikan dengan exp(D(2) ).
Shao dan Gao (2009) meneliti tentang batas - batas pada eksponen dan
mengkarakterisasi titik ekstrim dari digraf dwiwarna primitif yang memiliki 2n −
3 − c titik. Digraf tidak berwarna pada penelitian Shao dan Gao ditunjukkan
seperti pada gambar 1.1. Dalam penelitian ini, digraf dwiwarna dikatakan primitif jika dan hanya jika n = 3q + 1 atau n = 3q + 2 untuk q ≥ 2. Digraf dwiwarna primitif tersebut terdiri dari dua cycle dengan panjang cycle satu adalah
2
n dan panjang cycle dua adalah n − 3. Akibatnya, titik vc berada pada interval
2 ≤ c ≤ n − 3.
Gambar 1.1 : Digraf Primitif D.
Penelitian mengenai digraf dwiwarna berkembang menggunakan parameter
baru bernama scrambling index. Pada tahun 2009 Akelbek dan Kirkland memperkenalkan parameter tersebut. Akelbek dan Kirkland (2009a) mengemukakan
definisi scrambling index dari digraf primitif, dinotasikan dengan k(D), adalah
bilangan bulat positif terkecil ℓ sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj
di D terdapat sebuah titik vw di D sedemikian sehingga terdapat sebuah jalan
yang menghubungkan vi ke vw dan vj ke vw dengan panjang ℓ. Dalam artikel
ini juga dijelaskan batas atas dari digraf primitif sehingga akan dicapai batas
atas modulus terbesar kedua nilai eigen dari matriks primitif. Selanjutnya, Akelbek dan Kirkland (2009b) mengklasifikasikan semua digraf primitif sehingga nilai
scrambling index sama dengan batas atas.
Tahun 2014, Mulyono dan Suwilo mendiskusikan nilai scrambling index dari
digraf Wielandt dwiwarna. Digraf Wielandt tersebut dapat dilihat pada gambar
1.2. Scrambling index digraf Wielandt dwiwarna yang terdiri atas cycle Hamilton
v1 → v2 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan busur vn−1 → v1 untuk n ≥ 4 berada
pada interval [n2 − 3n + 3, n2 − 2n + 2].
3
Gambar 1.2 : Digraf Wielandt Wn .
Mulyono dan Suwilo mengeneralisasikan definisi scrambling index dari digraf primitif menjadi scrambling index dari digraf dwiwarna primitif. Definisi
scrambling index dari digraf dwiwarna primitif, yang dinotasikan dengan k(D(2) ),
adalah bilangan bulat positif terkecil (h + ℓ) untuk semua bilangan bulat tak
negatif h busur merah dan ℓ busur biru sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D(2) terdapat sebuah titik vw di D(2) dengan sifat bahwa
(h,ℓ)
(h,ℓ)
terdapat sebuah jalan vi −→ vw dan sebuah jalan vj −→ vw . Untuk dua titik
berbeda vi dan vj , scrambling index lokal dari vi dan vj di (D(2) ), dinotasikan
dengan kvi ,vj (D(2) ), adalah didefinisikan sebagai berikut :
kvi ,vj (D(2) ) =
=
min
{kvi ,vj (vw )}
min
{min(h + ℓ) : vi −→ vw dan vj −→ vw }
vw ∈V (D(2) )
vw ∈V (D(2) )
(h,ℓ)
(h,ℓ)
Dari definisi, k(D(2) ) dan kvi ,vj (D(2) ) diperoleh hubungan
k(D(2) ) ≥
max
vi ,vj ∈V
(D(2) )
{kvi ,vj (D(2) )}
Penelitian terdahulu mengkaji tentang scrambling index digraf Hamilton
dwiwarna dengan panjang cycle n dan n−1 yang disebut dengan digraf Wielandt.
Pada penelitian ini penulis akan membahas mengenai scrambling index dari digraf
Hamilton dwiwarna primitif menggunakan panjang cycle berdasarkan artikel Shao
dan Gao yaitu terdiri atas dua cycle dengan panjang cycle masing - masing n − 3
dan n, untuk n ≡ 1 (mod 3) titik.
4
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D(2) adalah digraf Hamilton dwiwarna primitif, terdiri atas dua cycle
yaitu v1 → v2 → · · · → vn−3 → v1 dengan panjang cycle satu adalah n − 3 dan
v1 → v2 → · · · → vn−1 → vn → v1 dengan panjang cycle dua adalah n, untuk
n ≡ 1 (mod 3) titik, n ≥ 7, dengan (n−4)/3 busur biru berurutan pada kedua cycle. Adapun masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah menentukan
bentuk umum scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna primitif seperti
pada gambar 4.1.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan matriks cycle agar D(2) primitif kemudian menentukan bentuk umum scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna
D(2) , dengan n ≡ 1 (mod 3) titik, n ≥ 7, terdiri atas dua cycle dengan panjang
cycle satu adalah n − 3 dan panjang cycle dua adalah n dengan (n − 4)/3 busur
biru berurutan pada kedua cycle.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk menambah ilmu pengetahuan dan literatur mengenai scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna.