Scrambling Index dari Digraf Hamilton Dwiwarna atas n 1 (mod 3) Titik
SCRAMBLING INDEX DARI DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA ATAS n ≡ 1 (mod 3) TITIK
SKRIPSI
RATIH SURYANINGSIH
110803023
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
SCRAMBLING INDEX DARI DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
ATAS n ≡ 1 (mod 3) TITIK
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
RATIH SURYANINGSIH
110803023
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PERSETUJUAN
Judul
:
Scrambling Index dari Digraf Hamilton
Dwiwarna atas n ≡ 1 (mod 3) Titik
Kategori
: Skripsi
Nama
: Ratih Suryaningsih
Nomor Induk Mahasiswa : 110803023
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan,
Juli 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Diketahui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
ATAS n ≡ 1 (mod 3) TITIK
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2015
RATIH SURYANINGSIH
110803023
ii
PENGHARGAAN
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, Allah
SWT yang senantiasa memberikan kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk penulis, sehingga skripsi yang berjudul ”Scrambling Index dari
Digraf Hamilton Dwiwarna atas n ≡ 1 (mod 3) Titik” ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada junjungan umat Muslim sedunia, Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat,
tabi’in, tabi’un dan setiap orang yang mengikuti mereka sampai hari akhir nanti.
Selama masa perkuliahan penulis banyak mendapat dukungan dari beberapa pihak hingga sampai saat ini penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Dukungan tersebut berupa motivasi, do’a dan bantuan bentuk lainnya yang sangat
bermanfaat bagi penulis. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Ayahanda Suparman, S.Pd dan Ibunda Rodiah, S.Pd yang sangat sabar
membimbing, memotivasi, mendo’akan dan memberikan dukungan moril
maupun materil kepada penulis serta keluarga besar Ayah dan Ibu khususnya kepada nenek Ngarijem yang telah banyak membantu penulis dari awal
kuliah hingga akhir. Terima kasih juga untuk adik - adikku yaitu Suhandi
Rivan Azis dan Sandi Rismawan yang senantiasa memberikan dukungan
moril yang sangat berarti bagi penulis.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan
Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II, yang telah
banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa ilmu
pengetahuan, nasihat maupun motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I, dan Bapak
Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah
memberikan nasehat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian.
iii
4. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku
Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan.
5. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara,
Medan.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada InTaYaShu yaitu Indah Wulandari, Mantari Sitorus dan Merryanty Lestari yang senantiasa saling memotivasi, saling mendo’akan dan saling membantu dari awal perkuliahan hingga
terselesainya skripsi ini. Kepada Sundari Atikah, Nur Aisyah, Tilsa Aryeni dan
Khairunisa yang sangat banyak membantu dari awal perkuliahan hingga terselesainya skripsi ini.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Nadia Vela Walni dan Nurul
Izzati yang sangat banyak membantu penulis dalam menulis skripsi ini, serta
kepada teman - teman Ikatan Mahasiswa Matematika Muslim dan teman - teman
stambuk 2011. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang telah
diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat diperlukan. Akhir kata
penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini bermanfaat.
iv
SCRAMBLING INDEX DARI DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
ATAS n ≡ 1 (mod 3) TITIK
ABSTRAK
Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah sebuah digraf yang setiap busur berwarna
merah atau biru. Scrambling index dari D(2) merupakan bilangan bulat positif
terkecil h + ℓ untuk setiap bilangan bulat tak negatif h busur merah dan ℓ busur
biru sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D(2) terdapat
sebuah titik vw di D(2) dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-jalan dari vi ke
vw dan dari vj ke vw . Tulisan ini mendiskusikan tentang rumus scrambling index
dari digraf Hamilton dwiwarna primitif terdiri dua cycle dengan panjang cycle
satu adalah n − 3 dan cycle dua adalah n, atas n ≡ 1 (mod 3) titik, n ≥ 7 dengan
(n − 4)/3 busur biru berurutan pada kedua cycle.
Kata kunci: Digraf Dwiwarna, Primitif, Scrambling Index.
v
SCRAMBLING INDEX OF TWO-COLORED HAMILTONIAN
DIGRAPHS ON n ≡ 1 (mod 3) VERTICES
ABSTRACT
A two-colored digraph D(2) is a digraph whose arcs colored red or blue. Scrambling index of D(2) is smallest positive integer h + ℓ over all pairs of nonnegative
integers h red arcs and ℓ blue arcs such that for each pair of vertices vi and vj
in D(2) there is a vertex vw in D(2) with the property that there exist a (h, ℓ)walk from vi to vw and from vj to vw . This paper discusses about formula for
scrambling index of primitive two-colored Hamiltonian digraphs consists two cycles with length of cycle one is n − 3 and length of cycle two is n, on n ≡ 1 (mod
3) vertices, n ≥ 7 with (n − 4)/3 consecutive blue arcs on both cycles.
Keywords: Two-Colored Digraphs, Primitive, Scrambling Index.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
v
ABSTRACT
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
4
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA
5
2.1 Digraf Dwiwarna
5
2.1.1 Definisi Digraf Dwiwarna
5
2.1.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna
7
2.2 Primitifitas
10
2.2.1 Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
10
2.2.2 Primitifitas Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
11
2.3 Scrambling Index
12
vii
2.4 Batas - Batas Scrambling Index
15
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
19
BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
20
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
41
5.1 Kesimpulan
41
5.2 Saran
41
DAFTAR PUSTAKA
42
viii
DAFTAR GAMBAR
Nomor Gambar
Judul
Halaman
1.1
Digraf Primitif D.
2
1.2
Digraf Wielandt Wn .
3
2.1
Digraf Hamilton Dwiwarna dengan 7 titik dan 8 busur.
7
2.2
Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat dan Tidak Terhubung Kuat.
10
2.3
Digraf Dwiwarna Primitif.
13
4.1
Digraf Hamilton Dwiwarna Primitif.
22
ix
DWIWARNA ATAS n ≡ 1 (mod 3) TITIK
SKRIPSI
RATIH SURYANINGSIH
110803023
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
SCRAMBLING INDEX DARI DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
ATAS n ≡ 1 (mod 3) TITIK
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
RATIH SURYANINGSIH
110803023
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PERSETUJUAN
Judul
:
Scrambling Index dari Digraf Hamilton
Dwiwarna atas n ≡ 1 (mod 3) Titik
Kategori
: Skripsi
Nama
: Ratih Suryaningsih
Nomor Induk Mahasiswa : 110803023
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan,
Juli 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Diketahui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
ATAS n ≡ 1 (mod 3) TITIK
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2015
RATIH SURYANINGSIH
110803023
ii
PENGHARGAAN
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, Allah
SWT yang senantiasa memberikan kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk penulis, sehingga skripsi yang berjudul ”Scrambling Index dari
Digraf Hamilton Dwiwarna atas n ≡ 1 (mod 3) Titik” ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada junjungan umat Muslim sedunia, Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat,
tabi’in, tabi’un dan setiap orang yang mengikuti mereka sampai hari akhir nanti.
Selama masa perkuliahan penulis banyak mendapat dukungan dari beberapa pihak hingga sampai saat ini penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Dukungan tersebut berupa motivasi, do’a dan bantuan bentuk lainnya yang sangat
bermanfaat bagi penulis. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Ayahanda Suparman, S.Pd dan Ibunda Rodiah, S.Pd yang sangat sabar
membimbing, memotivasi, mendo’akan dan memberikan dukungan moril
maupun materil kepada penulis serta keluarga besar Ayah dan Ibu khususnya kepada nenek Ngarijem yang telah banyak membantu penulis dari awal
kuliah hingga akhir. Terima kasih juga untuk adik - adikku yaitu Suhandi
Rivan Azis dan Sandi Rismawan yang senantiasa memberikan dukungan
moril yang sangat berarti bagi penulis.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan
Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II, yang telah
banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa ilmu
pengetahuan, nasihat maupun motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I, dan Bapak
Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah
memberikan nasehat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian.
iii
4. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku
Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan.
5. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara,
Medan.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada InTaYaShu yaitu Indah Wulandari, Mantari Sitorus dan Merryanty Lestari yang senantiasa saling memotivasi, saling mendo’akan dan saling membantu dari awal perkuliahan hingga
terselesainya skripsi ini. Kepada Sundari Atikah, Nur Aisyah, Tilsa Aryeni dan
Khairunisa yang sangat banyak membantu dari awal perkuliahan hingga terselesainya skripsi ini.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Nadia Vela Walni dan Nurul
Izzati yang sangat banyak membantu penulis dalam menulis skripsi ini, serta
kepada teman - teman Ikatan Mahasiswa Matematika Muslim dan teman - teman
stambuk 2011. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang telah
diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat diperlukan. Akhir kata
penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini bermanfaat.
iv
SCRAMBLING INDEX DARI DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
ATAS n ≡ 1 (mod 3) TITIK
ABSTRAK
Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah sebuah digraf yang setiap busur berwarna
merah atau biru. Scrambling index dari D(2) merupakan bilangan bulat positif
terkecil h + ℓ untuk setiap bilangan bulat tak negatif h busur merah dan ℓ busur
biru sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D(2) terdapat
sebuah titik vw di D(2) dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-jalan dari vi ke
vw dan dari vj ke vw . Tulisan ini mendiskusikan tentang rumus scrambling index
dari digraf Hamilton dwiwarna primitif terdiri dua cycle dengan panjang cycle
satu adalah n − 3 dan cycle dua adalah n, atas n ≡ 1 (mod 3) titik, n ≥ 7 dengan
(n − 4)/3 busur biru berurutan pada kedua cycle.
Kata kunci: Digraf Dwiwarna, Primitif, Scrambling Index.
v
SCRAMBLING INDEX OF TWO-COLORED HAMILTONIAN
DIGRAPHS ON n ≡ 1 (mod 3) VERTICES
ABSTRACT
A two-colored digraph D(2) is a digraph whose arcs colored red or blue. Scrambling index of D(2) is smallest positive integer h + ℓ over all pairs of nonnegative
integers h red arcs and ℓ blue arcs such that for each pair of vertices vi and vj
in D(2) there is a vertex vw in D(2) with the property that there exist a (h, ℓ)walk from vi to vw and from vj to vw . This paper discusses about formula for
scrambling index of primitive two-colored Hamiltonian digraphs consists two cycles with length of cycle one is n − 3 and length of cycle two is n, on n ≡ 1 (mod
3) vertices, n ≥ 7 with (n − 4)/3 consecutive blue arcs on both cycles.
Keywords: Two-Colored Digraphs, Primitive, Scrambling Index.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
v
ABSTRACT
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
4
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA
5
2.1 Digraf Dwiwarna
5
2.1.1 Definisi Digraf Dwiwarna
5
2.1.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna
7
2.2 Primitifitas
10
2.2.1 Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
10
2.2.2 Primitifitas Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat
11
2.3 Scrambling Index
12
vii
2.4 Batas - Batas Scrambling Index
15
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
19
BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
20
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
41
5.1 Kesimpulan
41
5.2 Saran
41
DAFTAR PUSTAKA
42
viii
DAFTAR GAMBAR
Nomor Gambar
Judul
Halaman
1.1
Digraf Primitif D.
2
1.2
Digraf Wielandt Wn .
3
2.1
Digraf Hamilton Dwiwarna dengan 7 titik dan 8 busur.
7
2.2
Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat dan Tidak Terhubung Kuat.
10
2.3
Digraf Dwiwarna Primitif.
13
4.1
Digraf Hamilton Dwiwarna Primitif.
22
ix