Transformasi Galileo

14.1 Transformasi Galileo

Kita membayangkan mengamati kondisi berikut ini. Sebuah kereta api bergerak dalam arah x dengan kecepatan u. Dalam kereta ada seorang penumpang yang sedang berjalan dalam arah x juga dengan kecepatan v terhadap kereta. Di tepi jalan ada seorang pengamat yang melihat gerakan kereta api maupun penumpang dalam kereta. Kecepatan penumpang yang sedang berjalan diukur dari tanah menurut pengamat di tanah hanyalah penjumlahan kedua kecepatan di atas, atau

w = u + v (14.1)

dengan w kecepatan penumpang terhadap tanah. Jika penumpang dalam kereta berjalan dalam arah berlawanan arah gerak kereta dengan kecepatan v terhadap kereta (arah -x), maka menuruh pengamat di tanah, kecepatan penumpang ini terhadap tanah adalah

w = u − v (14.2)

Misalkan posisi penumpang dalam kereta yang diukur oleh pengamat di tanah adalah x dan yang diukur oleh pengamat di kereta adalah x’ maka

dx w = (14.3) dt

dx ' v = (14.4) dt

Dengan demikian, persamaan (14.1) dapat ditulis menjadi

dx dx = ' u + (14.5) dt

dt Dan persamaan (14.2) dapat ditulis menjadi

dx dx = ' u − (14.6) dt

dt

Dengan melakukan integral persamaan (14.5) dan (14.6) terhadap waktu didipatkan

x = ut + x ' (14.7)

untuk penumpang yang bergerak dalam arah yang sama dengan kereta dan

x = ut − x ' (14.8)

untuk penumpang yang bergerak dalam arah yang berlawanan dengan kereta. Bentuk penjumlahan pada persamaan (14.8) dan (14.9) dikenal dengan transformasi Galileo. Dan transformasi ini tampak nyata dalam kehidupan sehari-hari.

Apa yang terjadi andaikan penumpang yang berjalan diganti dengan berkas cahaya? Dengan menggunakan persamaan (14.1) dan (14.2) maka berkas cahaya yang bergerak searah gerakan kereta akan diamati oleh pengamat di tanah memiliki

kecepatan w 1 = u + c terhadap tanah. Dan berkas yang bergerak berlawanan arah gerak kereta diamati pengamat di tanah memeiliki kecepatan w 2 = u + c terhadap tanah. Tampak w 1 ≠ w 2 . Dengan kata lain kecepatan cahaya dalam dua arah tidak sama. Ini bertentangan dengan pengamatan Michelson dan Morley bahwa kecepatan cahaya harus sama ke segala arah. Dengan demikian, transformasi Galileo tidak dapat diterapkan untuk cahaya. Kalau begitu transformasi yang bagaimanakah yang dapat dipakai?

Albert Einstein mengusulkan suatu bentuk penjumlahan kecepatan yang lebih umum. Menurut pengamatan di tanah, kecepatan penumpang yang berjalan searah kereta bukan w = u + v, tetapi

(14.9) uv

Dan kecepatan penumpang yang sedang berjalan dalam arah berlawanan dengan arah gerak kereta menurut pengamatan di tanah bukan w = u - v, tetapi

(14.10) uv

Kelihatannya jadi rumit ya? Jawabnya ya, lebih rumit. Tetapi harus diterima karena ternyata dapat menjelaskan penjumlahan kecepatan untuk semua kecepatan. Mari kita lihat.

Kecepatan cahaya dalam ruang hampa adalah 8 c = 3 × 10 m/s. Kecepatan kereta api umumnya sekitar u = 100 km/jam = 100 × 1000 m/3600 s = 27.8 m/s. Kecepatan

jalan penumpang katakanlah = 5 km/jam = 5 v × 1000 m/3600 s = 1.4 m/s. Dengan

2 8 2 demikian uv/c -16 = 27.8 × 1.4/(3 × 10 ) = 4.3 × 10 . Nilai ini jauh lebih kecil dari satu sehingga penyebut dalam persamaan penjumlahan Einstein dapat dianggap satu. Dengan

demikian, persamaan penjumlahan Einstein kembali ke bentuk penjumlhana Galileo. Dan untuk kecepatan-kecepatan yang biasa kita jumpai sehari-hari, termasuk kecepatan planet-planet mengitari matahari, penyebut pada persaman penjumlahan Einstein masih mendati satu, yang berati hasil perhitungan dengan persaman penjumlahan kecepatan Einstein dan Galileo sama. Penyebut dalam persamaan penjumlahan Einstein menyimpang dari nilai satu ketika kecepatan yang dijumlahkan mendekati kecepatan cahaya. Misalkan ada sebuah atom bergerak dengan kecepatan u = 0,5c (yaitu setengah dari kecepatan cahaya). Atom tersebut tiba-tiba memancarkan electron dalam arah gerak atom dengan kecepatan v = 0,7c terhadap atom.

Apabila menggunakan transformasi Galileo, maka kecepatan electron terhadap tanah adalah w = u + v = 0,5c + 0,7c = 1,2c. Tetapi dengan menggunakan penjumlahan kecepatan Einstein, maka kecepatan electron terhadap tanah adalah

Tampak bahwa nilai kecepatan yang dihitung dengan persamaan Einstein lebih rendah daripada yang dihitung dengan transformasi Galileo.

Jika penumpang diganti dengan berkas cahaya, atau v = c maka kecepatan berkas cahaya yang merambat searah kereta menurut pengamat di tanah adalah

uc

Dan kecepatan cahaya yang merambat dalam arah berlawanan dengan kereta adalah

uc

yaitu persis sama dengan kecepatan cahaya yang merambat searah kereta, hanya arahnya berlawanan. Hasil ini semuai dengan hasil pengamatan Michelson dam Morley bahwa kecepatan cahaya ke segala arah sama, tidak dipengaruhi oleh gerak sumber maupun pengamat

Contoh 14.1

Sebuah pesawat bergerak ke kanan dengan kecepatan 0,3c terhadap bumi. Pesawat kedua bergerak ke kiri dengan kecepatan 0,8c terhadap bumi. Berapa kecepatan pesawat pertama terhadap pasawat kedua?