Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
52
Baris kedua dari persamaan tersebut dibagi dengan elemen pivot yaitu 5,6668, sehingga diperoleh :
6668 ,
6 3529
, 2
6666 ,
1 6666
, 5
6666 ,
2 2941
, 1
3333 ,
3333 ,
1
z y
x
Kalikan persamaan kedua dengan elemen kedua dari persamaan pertama 0,3333, kemudian kurangkan dari persamaan pertama. Lakukan hal serupa
untuk persamaan ketiga, untuk mendapatkan :
941
, 12
3529 ,
2 8824
, 8824
, 4
2941 ,
1 2353
, 1
z y
x
Persamaan ketiga dibagi dengan elemen pivot, yaitu 4,8824 sehingga persamaan menjadi :
6505 ,
2 3529
, 2
8824 ,
1 2941
, 1
2353 ,
1
z y
x
Kalikan persamaan ketiga dengan elemen ketiga dari persamaan pertama, hasilnya kemudian dikurangkan dari persamaan pertama. Hal serupa
dilakukan terhadap persamaan kedua, sehingga SPL menjadi :
6505
, 2
1324 ,
3 5061
, 1
1 1
1
z y
x
Jadi penyelesaian SPL tersebut adalah : x = 1,5061
y = 3,1324 z = 2,6505
3.3 Metoda Matriks Invers
Jika [A] adalah seuatu matriks bujursangkar dengan ukuran m x m, maka akan terdapat matriks invers [A]
1
, sehingga diperoleh hubungan : [A].[A]
1
= [I] 3.12
Maka jika terdapat suatu SPL dalam notasi matriks : [A].{X} = {C}
Jika ruas kiri dan kanan kita premultiply dengan [A]
1
, maka :
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
53
[A]
1
.[A].{X} = [A]
1
.{C} [I].{X} = [A]
1
.{C} {X} = [A]
1
.{C} 3.13
Banyak cara dapat digunakan untuk mencari matriks invers, salah satunya adalah dengan menggunakan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan. Untuk
melakukan hal ini, matriks koefisien dilengkapi dengan suatu matriks identitas. Kemudian terpakan Metoda Gauss-Jordan untuk mengubah matriks koefisien
menjadi matriks identitas. Jika langkah ini telah selesai, maka ruas kanan matriks itu akan merupakan matriks invers. Atau secara ilustrasi, proses
tersebut adalah sebagai berikut :
1 1
1
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a
[A] [I]
1
33 1
32 1
31 1
23 1
22 1
21 1
13 1
12 1
11
1 1
1
a a
a a
a a
a a
a
[I] [A]
1
Contoh :
Ulangi contoh soal pada halaman 51, namun dengan menggunakan metoda matriks invers.
Langkah pertama yang dilakukan adalah melengkapi matriks koefisien dengan matriks identitas sehingga menjadi matriks lengkap sebagai berikut :
1 1
1 10
2 ,
3 ,
3 ,
7 1
, 2
, 1
, 3
Normalkan persamaan pertama, kemudian gunakan elemen pertamanya untuk menghilangkan x
1
dari baris yang lainnya :
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
54
1 0999999
, 1
0333333 ,
333333 ,
02 ,
10 19
, 293333
, 00333
, 7
0666667 ,
0333333 ,
1
Gunakan a
22
dari persamaan kedua untuk menghilangkan x
2
dari persamaan pertama dan ketiga :
1 0270142
, 10090
, 142180
, 00473933
, 004739329
, 333175
, 0121
, 10
0417061 ,
1 068057
, 1
Dan gunakan elemen a
33
untuk menghilangkan x
3
dari persamaan pertama dan kedua :
0998801 ,
00269816 ,
0100779 ,
00418346 ,
142293 ,
0051644 ,
00679813 ,
00492297 ,
332489 ,
1 1
1
Dengan demikian invers-nya adalah : [A]
1
=
0998801
, 00269816
, 0100779
, 00418346
, 142293
, 0051644
, 00679813
, 00492297
, 332489
,
Solusi bagi x
1
, x
2
dan x
3
diperoleh dari perkalian matriks invers dengan ruas kanan persamaan :
3 2
1
x x
x
=
0998801
, 00269816
, 0100779
, 00418346
, 142293
, 0051644
, 00679813
, 00492297
, 332489
,
4 ,
71 30
, 19
85 ,
7
3 2
1
x x
x
=
00025314
, 7
48809640 ,
2 00041181
, 3
3.4 Iterasi Jacobi
