Dekomposisi Cholesky Polinom Interpolasi Lagrange

Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 65 5 , 6 1 8 . 22 1 21 2 2        l d l c d =  4 4 4 5 , 3 6 3 16 . . 33 2 32 1 31 3 3        l d l d l c d = 3 Kemudian [U]{X} = {D}                                   3 4 6 1 1 1 5 , 5 , 2 1 3 2 1 x x x Dengan substitusi mundur akan diperoleh : x 3 = d 3 = 3 x 2 = d 2  u 23 .x 3 = 4  13 = 1 x 1 = d 1  u 12 .x 2  u 13 .x 3 = 6  2,51  0,53 = 2

3.7 Dekomposisi Cholesky

Dalam dekomposisi Cholesky, matriks koefisien [A] dapat didekomposisi menjadi bentuk : [A] = [L][L] T 3.31 Suku – suku dalam persamaan 3.31 dapat diperoleh dengan cara yang sama seperti cara Crout. Hasilnya dapat dinyatakan dalam hubungan : ii i j kj ij ki ki l l l a l      1 1 . untuk i = 1,2, …, k 1 3.32      1 1 2 k j kj kk kk l a l 3.33 Contoh : Gunakan dekomposisi Cholesky untuk matriks koefisien berikut ini : [A] =           979 225 55 225 55 15 55 15 6 Untuk baris ke satu, dengan menggunakan 3.33 : l 11 = 6 11  a = 2,4495 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 66 Untuk baris kedua, dari persamaan 3.32 : l 21 = 4495 , 2 15 11 21  l a = 6,1237 Dari 3.33 memberikan : l 22 = 2 2 21 22 1237 , 6 55    l a = 4,1833 Untuk baris ketiga, persamaan 3.32 k = 3 memberikan : i = 1 l 31 = 4495 , 2 55 11 31  l a = 22,454 i = 2 l 32 = 1833 , 4 454 , 22 1237 , 6 225 . 22 31 21 32    l l l a = 20,916 Dan elemen terakhir [L] adalah : l 33 = 2 2 2 32 2 31 33 916 , 20 454 , 22 979      l l a = 6,1106 Sehingga dekomposisi LU metoda Cholesky menghasilkan : [A]=                                1106 , 6 916 , 20 1833 , 4 454 , 22 1237 , 6 4495 , 2 1106 , 6 916 , 20 454 , 22 1833 , 4 1237 , 6 4495 , 2 979 225 55 225 55 15 55 15 6 3.8 Sistem Persamaan Linear Dalam Bidang Teknik Sipil 3.8.1 Bidang Rekayasa Struktur Contoh 1 : Struktur rangka bidang dalam gambar berikut, dibebani gaya sebesar 2 ton. Hitunglah gaya dalam batang serta reaksi perletakan. Dengan cara keseimbangan gaya pada titik kumpul, gaya – gaya yang bekerja pada tiap titik kumpul dapat digambarkan dalam gambar berikut ini : 30 o 90 o 60 o 2 ton 1 2 3 H 1 V 1 V 3 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 67 Gaya batang tarik bertanda positif, sedangkan batang tekan bertanda negatif. Nodal 1 :  h F = F 1 .cos60 + F 3 + H 1 = 0 1  V F = F 1 .sin60 + V 1 = 0 2 Nodal 2 :  h F = F 2 .sin60  F 1 .sin30 + 2 = 0 3  V F =  F 1 .cos30  F 2 .cos60 = 0 4 Nodal 3 :  h F = F 3  F 2 .cos30 = 0 5  V F = F 2 .sin30 + V 3 = 0 6 Jika disusun dalam bentuk matriks, persamaan 1 hingga 6 adalah :                                                                   2 1 30 1 30 60 30 60 30 1 60 1 1 60 3 1 1 3 2 1 V V H F F F sin cos cos cos sin sin sin cos 30 o 90 o 60 o 2 ton 1 2 3 H 1 V 1 V 3 F 1 F 1 F 2 F 2 F 3 F 3 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 68                                                                   2 1 5 1 3 5 5 3 5 3 5 5 1 3 5 1 1 5 3 1 1 3 2 1 V V H F F F , , , , , , , , Setelah dilakukan eliminasi Gauss-Jordan, diperoleh hasil :                                                                 86603 86603 2 5 1 73205 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 1 , , , , V V H F F F Contoh 2 : Dari analisis struktur portal seperti tergambar, diperoleh hubungan matriks kekakuan dengan derajat kebebasan sebagai [K]{X}={B} 1 2 3 4 I 1 ,L 1 I 1 ,L 1 I 2 ,L 2 P Bila : P = 120 kN L 1 = 5 m L 2 = 7 m I 1 = 0,0830,3 4 A 1 = 0,3 x 0,3 = 0,09 m 2 I 2 = 0,0830,40,6 3 A 2 = 0,4 x 0,6 = 0,24 m 2 E = 2,1.10 5 MPa 30 o 90 o 60 o 2 ton 1 2 3 0,8603 ton 0,8603 ton + 1,5 ton +1 ton -1,73205 ton 2 ton Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 69 Ditanya : selesaikan persamaan linear simultan [K]{X} = {B} dengan cara CHOLESKY, jika diketahui : [K]=                                                     1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 1 1 4 4 6 6 2 6 6 12 6 12 6 12 2 6 4 4 6 6 6 12 6 12 6 12 L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EA L EI {X} =                   3 3 3 2 2 2   v u v u {B} =                   P Dengan mensubstitusikan nilai – nilai E, I,A dan L serta P yang bersangkutan maka dapat disusun hubungan [K]{X}={B} sebagai berikut :                                                        120 4 973490 3 184402 92 33883 430272 3 184402 184402 4 3832686 3 184402 4 52686 92 33883 568 7213553 7200000 430272 3 184402 4 973490 3 184402 92 33883 3 184402 4 52686 3 184402 367 3832686 7200000 92 33883 568 7213553 3 3 3 2 2 2   v u v u , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Lakukan Dekomposisi untuk matriks [K} dengan cara CHOLESKY l 11 = 568 7213553 11 , a  = 2685,805944 l 21 = 11 21 l a = 0 l 22 = 367 3832686 2 21 22    , l a = 1957,724793 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 70 l 31 = 805944 2685 92 33883 11 31 , , l a  = 12,61592263 l 32 = 724793 1957 3 184402 22 31 21 32 , , l l. l a   = 94,19213894 l 33 = 2 2 2 32 2 31 33 19213894 94 61592263 12 4 973490 , , , l l a      = 982,0687753 l 41 = 805944 2685 7200000 11 41 , l a   =  2680,759575 l 42 = 22 41 21 42 l l. l a  = 0 l 43 =   0687753 982 759575 2680 61592263 12 33 42 32 41 31 43 , , , l l. l l. l a        = 34,43776672 l 44 =     2 2 2 43 2 42 2 41 44 43776672 34 759575 2680 568 7213553 , , , l l l a         = 160,9214382 l 51 = 11 51 l a = 0 l 52 = 724793 1957 4 52686 22 51 21 52 , , l l. l a    =  26,9120397 l 53 =   0687753 982 9120397 26 19213894 94 2857 184402 33 52 32 51 31 53 , , , , l l. l l. l a         = 185,1880313 l 54 =   9214382 160 1880313 185 43776672 34 44 53 43 52 42 51 41 54 , , , l l. l l. l l. l a        = 39,63090495 l 55 = 2 54 2 53 2 52 2 51 55 l l l l a     =       2 2 2 63090495 39 1880313 185 9120397 26 367 3832686 , , , ,      = 1948,357486 l 61 = 11 61 l a = 0 l 62 = 724793 1957 2857 184402 22 61 21 62 , , l l. l a   = 94,19213894 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 71 l 63 =   0687753 982 19213894 94 19213894 94 430272 33 62 32 61 31 63 , , , l l. l l. l a      = 429,0940223 l 64 = 44 63 43 62 42 61 41 64 l l. l l. l l. l a    =   9214382 160 0940223 429 43776672 34 92 33883 , , , ,    =  302,389541 l 65 = 55 64 54 63 53 62 52 61 51 65 l l. l l. l l. l l. l a     =     357486 1948 0940223 429 1880313 185 19213894 94 9120397 26 2857 184402 , , , , , ,          357486 1948 389541 302 63090495 39 , , ,    =  46,40849299 l 66 = 2 65 2 64 2 63 2 62 2 61 66 l l l l l a      =         2 2 2 2 40849299 46 389541 302 0940223 429 19213894 94 4 973490 , , , , ,       = 828,7963431 A. [L]{D} = {B}                                                   120 7963431 828 40849299 46 389541 302 0940223 429 19213894 94 357486 1948 63090495 39 1880313 185 9120397 26 9214382 160 43776672 34 759575 2680 0687753 982 19213894 94 61592263 12 724793 1957 805944 2685 6 5 4 3 2 1 d d d d d d , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 2685,805944.d 1 = 0  d 1 = 0 2 1957,724793.d 2 = 0  d 2 = 0 3 12,61592263.d 1 + 94,19213894.d 2 + 982,0687753.d 3 = 0  d 3 = 0 4 2680,759575.d 1 + 34,43776672.d 3 + 160,9214382.d 4 = 120  d 4 = 0,7457054905 5 26,9120397.d 2  185,1880313.d 3 + 39,63090495.d 4 + 1948,357486.d 5 = 0  d 5 = 0,01516815247 6 94,192138944.d 2 + 429,0940223.d 3  302,389541.d 4  46,40849299.d 5 + 828,7963431.d 6 = 0  d 6 = 0 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 72 B. [U]{X}={D}                                                    2712234329 7 0151681524 7457054905 7963431 828 40849299 46 357486 1948 389541 302 63090495 39 9214382 160 0940223 429 1880313 185 43776672 34 0687753 982 19213894 94 9120397 26 19213894 94 724793 1957 759575 2680 61592263 12 805944 2685 3 3 3 2 2 2 , , , v u v u , , , , , , , , , , , , , , , , ,   1 828,7963431.  3 = 0,2712234329   3 = 3,2725.10 4 2 1948,357486.v 3  46,40849299.  3 = 0,01516815247  v 3 = 0 3 160,9214382.u 3 + 39,63090495.v 3  302,389541.  3 = 0,7457054905  u 3 = 5,248911.10 3 4 982,0687753.  2 + 34,43776672.u 3  185,1880313.v 3 + 429,0940223.  3 = 0   2 = 3,27044.10 4 5 1957,724793.v 2 + 94,19213894.  2  26,9120397.v 3 + 94,19213894.  3 = 0  v 2 = 0 6 2685,805944.u 2 + 12,61592263.  2  2680,759575.u 3 = 0  u 2 = 5,2405.10 3 Sehingga :                                             4 3 4 3 3 3 3 2 2 2 10 2725 3 10 248911 5 10 27044 3 10 2405 5 . , . , . , . , v u v u  

3.8.2 Bidang Manajemen Konstruksi

Dalam suatu perencanaan satu “batch” beton, diperlukan material berturut – turut : pasir 28 m 3 , agregat kasar 10-20 mm 30 m 3 , agregat kasar 30 – 40 mm 18 m 3 . Terdapat tiga sumber bahan dengan kandungan material sebagai berikut : Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 73 Pasir Agregat 10-20 mm Agregat 30-40 mm Sumber 1 30 40 30 Sumber 2 25 50 25 Sumber 3 52 30 18 Berapa m 3 -kah yang harus digali dari ketiga sumber tersebut untuk memenuhi kebutuhan kontraktor ? Dari data – data di atas dibentuk persamaan : 30sumber1 + 25sumber2 + 52sumber3 = total pasir 40sumber1 + 50sumber2 + 30sumber3 = total agregat 10-20 mm 30sumber1 + 25sumber2 + 18sumber3 = total agregat 30-40 mm Dengan memasukkan data kebutuhan material, maka dapat dituliskan SPL dalam bentuk matriks :                                18 30 28 3 2 1 18 25 30 30 50 40 52 25 30 Sumber Sumber Sumber , , , , , , , , , Setelah eliminasi diperoleh :                                    10 3333 7 28 3 2 1 34 39333 1667 52 25 30 , Sumber Sumber Sumber , , , , , , Dan akhirnya dengan substitusi mundur, diperoleh banyaknya galian yang harus diperoleh dari setiap sumber adalah : Sumber 1 = 21,181 m 3 Sumber 2 = 25,40628 m 3 Sumber 3 = 29,41176 m 3 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 74 BAB IV INTERPOLASI Jika suatu saat kita dihadapkan pada suatu data, maka sering kali kita dituntut untuk mencari suatu nilai di antara titik data yang tak diketahui sebelumnya. Metoda yang sering digunakan adalah dengan menggunakan suatu polinom suku banyak . Perhatikan kembali rumusan untuk suatu polinom berderajat n adalah : fx = a o + a 1 .x + a 2 .x 2 + a 3 .x 3 + ….. + a n .x n 4.1 Untuk n+1 buah titik data maka akan terdapat suatu polinom orde n atau kurang yang melalui semua titik. Sebagai ilustrasi dalam gambar 4.1.a maka hanya terdapat satu garis lurus polinom derajat 1 yang menghubungkan 2 buah titik data. Hanya terdapat satu polinom derajat dua parabola yang menghubungkan ketiga titik data 4.1.b. dalam bab ini akan dibahas interpolasi dengan menggunakan metoda polinom Newton dan Lagrange. Gambar 4.1.a Interpolasi Linear Gambar 4.1.b Interpolasi Kuadrat 1 2 3 4 5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 75 4.1 Polinom Interpolasi Newton 4.1.1 Interpolasi Linear Bentuk interpolasi paling sederhana ialah interpolasi linear, yang dilakukan dengan jalan menghubungkan dua buah titik data dengan suatu garis lurus. Dan dengan menggunakan hukum segitiga sebangun gambar 4.2 maka diperoleh hubungan : o o o o x x x f x f x x x f x f      1 1 1 4.2.a Yang bisa dituliskan kembali dalam bentuk : . 1 1 1 o o o o x x x x x f x f x f x f      4.2.b Persamaan 4.2.b merupakan persamaan umum interpolasi linear. Gambar 4.2 Pemahaman Interpolasi Linear Secara Grafik

4.1.2 Interpolasi Kuadrat

Jika terdapat tiga titik data, maka interpolasi dapat dilakukan secara kuadrat. Yang mempunyai bentuk : f 2 x = b o + b 1 x x o + b 2 x x o x x 1 4.3 Dengan koefisien – koefisien b o , b 1 dan b 2 berturut – turut adalah : b o = fx o 4.4.a b 1 = o o x x x f x f   1 1 4.4.b fx fx 1 f 1 x fx o x o x x 1 x Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 76 b 2 = o o o x x x x x f x f x x x f x f       2 1 1 1 2 1 2 4.4.c Contoh : Diketahui nilai ln 1 = 0, ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595. Hitunglah nilai dari ln 2 dengan : a. menggunakan data ln 1 dan ln 4 interpolasi linear b. menggunakan data ln 1, ln 4 dan ln 6 interpolasi kuadrat nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718 Dengan menggunakan persamaan 4.2.b : f 1 2 = 0 + 1 2 1 4 3862944 , 1    = 0,46209813 100 69314718 , 46209813 , 69314718 ,    t  = 33,3 Dengan memakai persamaan 4.3, 4.4.a, 4.4.b dan 4.4.c maka : b o = 0 b 1 = 1 4 3862944 , 1   = 0,46209813 b 2 = 1 6 46209813 , 4 6 3862944 , 1 7917595 , 1     =  0,051873116 Substitusikan nilai – nilai b o , b 1 dan b 2 ke persamaan 4.3 untuk memperoleh bentuk : f 2 x = 0 + 0,46209813.x  1  0,051873116.x  1x  4 Dan untuk mendapatkan nilai ln 2, kita substitusikan x = 2 ke dalam persamaan tersebut : f 2 2 = 0,56584436 100 69314718 , 56584436 , 69314718 ,    t  = 18,4

4.1.3 Interpolasi orde n

Jika terdapat n+1 data maka dapat dilakukan interpolasi orde n seperti dibahas dalam sub bab berikut. Perhatikan bahwa polinom derajat n dalam 4.1 dapat dituliskan kembali dalam bentuk : f n x = b o + b 1 x x o + … + b n x x o x x 1 x x n 1 4.5 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 77 Dengan memakai titik – titik data yang diketahui, maka koefisien – koefisien b o , b 1 , b 2 , …. b n dapat dihitung sebagai berikut : b o = fx o 4.6.a b 1 = f[x 1 .x o ] 4.6.b b 2 = f[x 2 , x 1 , x o ] 4.6.c ….... b n = f[x n , x n 1 , ……, x 1 , x o ] 4.6.d Fungsi di dalam kurung siku adalah finite divided difference beda terbagi hingga . First divided difference dinyatakan secara umum sebagai : f[x i ,x j ] = j i j i x x x f x f   4.7 Sedangkan second divided difference, adalah merupakan perbedaan dari dua beda terbagi pertama, yang dirumuskan sebagai : f[x i ,x j ,x k ] = k i k j j i x x x x f x x f   ] , [ ] , [ 4.8 Dan beda terbagi hingga ke-n adalah : f[x n ,x n 1 ,….,x 1 ,x o ] = o n o n n n n x x x x x f x x x f      ] , , [ ] ,...., , [ 2 1 1 1 4.9 Persamaan 4.7 hingga 4.9 dapat dipakai untuk menghitung koefisien – koefisien dalam persamaan 4.6, dan kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 4.5 untuk mendapatkan polinom interpolasi beda terbagi Newton divided – difference interpolating polinomial : f n x = fx o + x x o f[x 1 ,x o ] + x x o x x 1 f[x 2 ,x 1 ,x o ] +…… + x x o x x 1 …..x x n 1 f[x n ,x n 1 ,….,x o ] 4.10 Tabel 4.1 memberikan skema cara mencari beda terbagi hingga pertama, kedua hingga ketiga. Gambar 4.3 Skema Pencarian Beda Terbagi Hingga i x i fx i pertama kedua Ketiga x fx o f[x 1 ,x o ] f[x 2 ,x 1 ,x o ] f[x 3 ,x 2 ,x 1 ,x o ] 1 x 1 fx 1 f[x 2 ,x 1 ] f[x 3 ,x 2 ,x 1 ] 2 x 2 fx 2 f[x 3 .x 2 ] 3 x 3 fx 3 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 78 Contoh : Diketahui titik – titik data sebagai berikut : x i fx i x o = 1 0 x 1 = 4 1,3862944 x 2 = 6 1,7917595 x 3 = 5 1,6094379 Gunakan Interpolasi Polinom beda terbagi Newton orde ketiga, untuk mendapatkan nilai f2 Polinom orde ketiga, dari persamaan 4.5 dengan n = 3 adalah : f 3 x = b o + b 1 x x o + b 2 x x o x x 1 + b 3 x x o x x 1 x x 2 Koefisien – koefisien b o , b 1 , b 2 dan b 3 dicari dari persamaan 4.7, 4.8 dan 4.9, hasilnya ditabelkan sebagai berikut : i x i fx i pertama kedua Ketiga 0 x =1 0 0,46209813 - 0,051873116 0,0078655415 1 x 1 =4 1,3862944 0,20273255 0,020410950 2 x 2 =6 1,7917595 0,18232160 3 x 3 =5 1,6094379 Baris teratas dari tabel tersebut merupakan koefisien – koefisien polinom, yakni : b o = fx o = 0 b 1 = f[x 1 ,x o ] = 0,46209813 b 2 = f[x 2 ,x 1 ,x o ] =  0,051873116 b 3 = f[x 3 ,x 2 ,x 1 ,x o ] = 0,0078655415 Sehingga polinom yang terbentuk adalah : f 3 x = 0 + 0,46209813x 1  0,051873116x1x4 + 0,0078655415x 1x4x6 Dan dapat dipakai untuk menghitung f 3 2 = 0,62876869 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 79

4.2 Polinom Interpolasi Lagrange

Dari Interpolasi Newton orde pertama diperoleh bentuk : f 1 x = fx o + x x o .f[x 1 ,x o ] 4.11 Dengan f[x 1 ,x o ] = o o x x x f x f   1 1 4.12 Yang dapat ditulis dalam bentuk : f[x 1 ,x o ] = 1 1 1 x x x f x x x f o o o    4.13 Substitusikan 4.13 ke 4.11 untuk mendapatkan : f 1 x = fx o + . . 1 1 1 o o o o o x f x x x x x f x x x x      4.14 Akhirnya dengan mengelompokkan suku-suku yang serupa dan penyederhanaan akan diperoleh bentuk polinom Interpolasi Lagrange orde satu sebagai berikut : f 1 x = . . 1 1 1 1 x f x x x x x f x x x x o o o o      4.15 Secara umum bentuk polinom Interpolasi Lagrange adalah : f n x =   n i i i x f x L . 4.16 Dengan L i x =      n i j j j i j x x x x ; 4.17 Notasi  mempunyai arti sebagai “hasil kali dari”. Contoh untuk interpolasi linear n = 1 adalah persamaan 4.15 di atas. Sedangkan untuk orde dua interpolasi kuadrat adalah : f 2 x = . . 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x o o o o o          + . 2 1 2 2 1 x f x x x x x x x x o o     4.18 Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208 80 Contoh : Gunakan polinom interpolasi Lagrange orde pertama dan kedua untuk menghitung nilai ln 2, berdasarkan data yang diberikan dalam contoh sebelumnya. x o = 1 fx o = 0 x 1 = 4 fx 1 = 1,3862944 x 2 = 6 fx 2 = 1,7917595 Polinom orde pertama, berdasarkan persamaan 4.15 untuk x = 2 adalah : f 1 2 = 3862944 , 1 . 1 4 1 2 . 4 1 4 2      = 0,4620981 Polinom orde dua, dari persamaan 4.18 untuk x = 2 adalah : f 2 x = 3862944 , 1 . 6 4 1 4 6 2 1 2 . 6 1 4 1 6 2 4 2          + 7917595 , 1 . 4 6 1 6 4 2 1 2     = 0,56584437 Hasil yang diperoleh melalui Interpolasi Lagrange ternyata cukup dekat dengan Interpolasi Newton. 4.3 Interpolasi Dalam Bidang Teknik Sipil 4.3.1 Bidang Rekayasa Struktur