Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
62
3 1
,
21
f
= 0,0333333
3 3
,
31
f
= 0,1 Dan
00333 ,
7 19
,
32
f
= 0,02713
Sehingga matriks segitiga bawah [L] adalah : [L] =
1
02713 ,
1 ,
1 0333333
, 1
Dan dekomposisi LU dari matriks [A] adalah :
[A] = [L][U] =
0120 ,
10 293333
, 00333
, 7
2 ,
1 ,
3 1
02713 ,
1 ,
1 0333333
, 1
3.6.2 Dekomposisi LU Metoda Crout
Untuk SPL dengan n = 4, maka persamaan 3.25.a dapat dituliskan sebagai :
44 43
42 41
34 33
32 31
24 23
22 21
14 13
12 11
34 24
23 14
13 12
44 43
42 41
34 33
32 31
24 23
22 21
14 13
12 11
1 1
1 1
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
u u
u u
u u
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
3.29
Metoda Crout diturunkan dengan mengunakan perkalian matriks untuk menghitung ruas kiri persamaan 3.29 lalu menyamakannya dengan ruas
kanan. Langkah pertama adalah kalikan baris pertama [L] dengan kolom pertama [U]. Langkah ini memberikan :
l
11
=a
11
l
21
=a
21
l
31
=a
31
l
41
=a
41
Secara umum dapat dituliskan bahwa :
l
i1
= a
i1
untuk i = 1,2,…,n
3.30.a Selanjutnya baris pertama [L] dikalikan dengan kolom
– kolom dari [U] untuk memberikan :
l
11
=a
11
l
11
.u
12
=a
12
l
11
.u
13
=a
13
l
11
.u
14
=a
14
Hubungan pertama sudah jelas, dan berikutnya adalah :
11 12
12
l a
u
11 13
13
l a
u
11 14
14
l a
u
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
63
Atau secara umum dinyatakan :
11 1
1
l a
u
j j
untuk j
= 2,3,….,n 3.30.b
Selanjutnya baris kedua sampai keempat dari [L] dikalikan dengan kolom kedua [U] sehingga menghasilkan :
l
21
.u
12
+
l
22
= a
22
l
31
.u
12
+
l
32
= a
32
l
41
.u
12
+
l
42
= a
42
Masing – masing dapat dipecahkan untuk
l
22
,
l
32
dan
l
42
:
l
i2
= a
i2
l
i1
.u
12
untuk i = 2,3,…,n
3.30.c Kalikan baris kedua [L] dengan kolom
– kolom ketiga dan keempat :
l
21
.u
13
+
l
22
.u
23
= a
23
l
21
.u
14
+
l
22
.u
24
= a
24
Yang dapat dipecahkan untuk u
23
dan u
24
:
22 13
21 23
23
.
l u
l a
u
22 14
21 24
24
.
l u
l a
u
Atau secara umum :
22 1
21 2
2
.
l u
l a
u
j j
j
untuk j = 3,4, …, n
3.30.d Dari hasil hasil di atas maka dapat diberikan rumusan umum Metoda
Dekomposisi Cara Crout :
l
i1
= a
i1
untuk i = 1,2,3, …, n
11 1
1
l a
u
j j
untuk j
= 2,3, …, n Untuk j
= 2,3,……., n 1
1 1
.
j k
kj ik
ij ij
u l
a l
untuk i = j, j +1, …., n
jj j
i ik
ji jk
jk
l u
l a
u
1 1
.
untuk k = j+1, j +2, …, n
Dan
1 1
.
n k
kn nk
nn nn
u l
a l
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
64
Contoh :
Lakukan dekomposisi LU dari SPL ini, dengan metoda Crout 2.x
1
5.x
2
+ x
3
= 12 x
1
+ 3.x
2
x
3
= 8
3.x
1
4.x
2
+ 2.x
3
= 16 Dengan memakai rumusan yang ada
l
11
= 2
l
21
= 1
l
31
= 3 Baris pertama dari [U] :
2 5
11 12
12
l a
u
= 2,5
2 1
11 13
13
l a
u
= 0,5 Kolom kedua [L] :
l
22
= a
22
l
21
.u
12
= 3 12,5 = 0,5
l
32
= a
32
l
31
.u
12
= 4 32,5 = 3,5
Elemen terakhir dari [U] : 5
, 5
, 1
1 .
22 13
21 23
23
l u
l a
u
= 1
Dan elemen terakhir dari [L] :
l
33
= a
33
l
31
.u
13
l
32
.u
23
= 2 30,5 3,51 = 4
Jadi dekomposisi LU adalah :
[L] =
4 5
, 3
3 5
, 1
2 [U] =
1 1
1 5
, 5
, 2
1
Dan bila hasil dekomposisi ini digunakan untuk menyelesaikan SPL tersebut, maka langkah selanjutnya adalah sebagai berikut : sesuai gambar 3.1
[L]{D} = {C}
16
8 12
4 5
, 3
3 5
, 1
2
3 2
1
d d
d
dengan melakukan substitusi maju : d
1
=
2 12
= 6
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
65
5 ,
6 1
8 .
22 1
21 2
2
l d
l c
d
= 4
4 4
5 ,
3 6
3 16
. .
33 2
32 1
31 3
3
l d
l d
l c
d
= 3 Kemudian [U]{X} = {D}
3 4
6 1
1 1
5 ,
5 ,
2 1
3 2
1
x x
x
Dengan substitusi mundur akan diperoleh : x
3
= d
3
= 3 x
2
= d
2
u
23
.x
3
= 4 13 = 1
x
1
= d
1
u
12
.x
2
u
13
.x
3
= 6 2,51 0,53 = 2
3.7 Dekomposisi Cholesky
