Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
75
4.1 Polinom Interpolasi Newton 4.1.1 Interpolasi Linear
Bentuk interpolasi paling sederhana ialah interpolasi linear, yang dilakukan dengan jalan menghubungkan dua buah titik data dengan suatu
garis lurus. Dan dengan menggunakan hukum segitiga sebangun gambar 4.2 maka diperoleh hubungan :
o o
o o
x x
x f
x f
x x
x f
x f
1 1
1
4.2.a Yang bisa dituliskan kembali dalam bentuk :
.
1 1
1
o o
o o
x x
x x
x f
x f
x f
x f
4.2.b
Persamaan 4.2.b merupakan persamaan umum interpolasi linear.
Gambar 4.2 Pemahaman Interpolasi Linear Secara Grafik
4.1.2 Interpolasi Kuadrat
Jika terdapat tiga titik data, maka interpolasi dapat dilakukan secara kuadrat. Yang mempunyai bentuk :
f
2
x = b
o
+ b
1
x x
o
+ b
2
x x
o
x x
1
4.3 Dengan koefisien
– koefisien b
o
, b
1
dan b
2
berturut – turut adalah :
b
o
= fx
o
4.4.a b
1
=
o o
x x
x f
x f
1 1
4.4.b
fx
fx
1
f
1
x fx
o
x
o
x x
1
x
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
76
b
2
=
o o
o
x x
x x
x f
x f
x x
x f
x f
2 1
1 1
2 1
2
4.4.c
Contoh :
Diketahui nilai ln 1 = 0, ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595. Hitunglah nilai dari ln 2 dengan :
a. menggunakan data ln 1 dan ln 4 interpolasi linear b. menggunakan data ln 1, ln 4 dan ln 6 interpolasi kuadrat
nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718 Dengan menggunakan persamaan 4.2.b :
f
1
2 = 0 +
1 2
1 4
3862944 ,
1
= 0,46209813 100
69314718 ,
46209813 ,
69314718 ,
t
= 33,3
Dengan memakai persamaan 4.3, 4.4.a, 4.4.b dan 4.4.c maka : b
o
= 0 b
1
=
1 4
3862944 ,
1
= 0,46209813
b
2
= 1
6 46209813
, 4
6 3862944
, 1
7917595 ,
1
=
0,051873116 Substitusikan nilai
– nilai b
o
, b
1
dan b
2
ke persamaan 4.3 untuk memperoleh bentuk :
f
2
x = 0 + 0,46209813.x 1 0,051873116.x 1x 4
Dan untuk mendapatkan nilai ln 2, kita substitusikan x = 2 ke dalam persamaan tersebut :
f
2
2 = 0,56584436 100
69314718 ,
56584436 ,
69314718 ,
t
= 18,4
4.1.3 Interpolasi orde n
Jika terdapat n+1 data maka dapat dilakukan interpolasi orde n seperti
dibahas dalam sub bab berikut. Perhatikan bahwa polinom derajat n dalam 4.1 dapat dituliskan kembali dalam bentuk :
f
n
x = b
o
+ b
1
x x
o
+ … + b
n
x x
o
x x
1
x x
n 1
4.5
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
77
Dengan memakai titik – titik data yang diketahui, maka koefisien – koefisien
b
o
, b
1
, b
2
, …. b
n
dapat dihitung sebagai berikut : b
o
= fx
o
4.6.a b
1
= f[x
1
.x
o
] 4.6.b
b
2
= f[x
2
, x
1
, x
o
] 4.6.c
….... b
n
= f[x
n
, x
n 1
, ……, x
1
, x
o
] 4.6.d
Fungsi di dalam kurung siku adalah finite divided difference beda terbagi hingga . First divided difference dinyatakan secara umum sebagai :
f[x
i
,x
j
] =
j i
j i
x x
x f
x f
4.7 Sedangkan second divided difference, adalah merupakan perbedaan dari dua
beda terbagi pertama, yang dirumuskan sebagai : f[x
i
,x
j
,x
k
] =
k i
k j
j i
x x
x x
f x
x f
] ,
[ ]
, [
4.8 Dan beda terbagi hingga ke-n adalah :
f[x
n
,x
n 1
,….,x
1
,x
o
] =
o n
o n
n n
n
x x
x x
x f
x x
x f
] ,
, [
] ,....,
, [
2 1
1 1
4.9 Persamaan 4.7 hingga 4.9 dapat dipakai untuk menghitung koefisien
– koefisien dalam persamaan 4.6, dan kemudian disubstitusikan ke dalam
persamaan 4.5 untuk mendapatkan polinom interpolasi beda terbagi Newton divided
– difference interpolating polinomial : f
n
x = fx
o
+ x x
o
f[x
1
,x
o
] + x x
o
x x
1
f[x
2
,x
1
,x
o
] +…… + x
x
o
x x
1
…..x x
n 1
f[x
n
,x
n 1
,….,x
o
] 4.10
Tabel 4.1 memberikan skema cara mencari beda terbagi hingga pertama, kedua hingga ketiga.
Gambar 4.3 Skema Pencarian Beda Terbagi Hingga
i x
i
fx
i
pertama kedua
Ketiga x
fx
o
f[x
1
,x
o
] f[x
2
,x
1
,x
o
] f[x
3
,x
2
,x
1
,x
o
] 1
x
1
fx
1
f[x
2
,x
1
] f[x
3
,x
2
,x
1
] 2
x
2
fx
2
f[x
3
.x
2
] 3
x
3
fx
3
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
78
Contoh :
Diketahui titik – titik data sebagai berikut :
x
i
fx
i
x
o
= 1 0 x
1
= 4 1,3862944 x
2
= 6 1,7917595 x
3
= 5 1,6094379
Gunakan Interpolasi Polinom beda terbagi Newton orde ketiga, untuk mendapatkan nilai f2
Polinom orde ketiga, dari persamaan 4.5 dengan n = 3 adalah : f
3
x = b
o
+ b
1
x x
o
+ b
2
x x
o
x x
1
+ b
3
x x
o
x x
1
x x
2
Koefisien – koefisien b
o
, b
1
, b
2
dan b
3
dicari dari persamaan 4.7, 4.8 dan 4.9, hasilnya ditabelkan sebagai berikut :
i x
i
fx
i
pertama kedua
Ketiga 0 x
=1 0 0,46209813 - 0,051873116 0,0078655415
1 x
1
=4 1,3862944 0,20273255 0,020410950
2 x
2
=6 1,7917595 0,18232160
3 x
3
=5 1,6094379
Baris teratas dari tabel tersebut merupakan koefisien – koefisien polinom,
yakni : b
o
= fx
o
= 0 b
1
= f[x
1
,x
o
] = 0,46209813 b
2
= f[x
2
,x
1
,x
o
] = 0,051873116
b
3
= f[x
3
,x
2
,x
1
,x
o
] = 0,0078655415
Sehingga polinom yang terbentuk adalah : f
3
x = 0 + 0,46209813x 1 0,051873116x1x4
+ 0,0078655415x 1x4x6
Dan dapat dipakai untuk menghitung f
3
2 = 0,62876869
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
79
4.2 Polinom Interpolasi Lagrange
