Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
7
Solusi Analitis dan Numerik Permasalahan Penerjun Payung
0,00 10,00
20,00 30,00
40,00 50,00
60,00
10 20
30 40
50 60
w aktu t , detik
k e
c e
p a
ta n
v
,m d
e ti
k
Solusi Numerik Solusi Analitis
Gb. 1.3 Grafik Solusi Analitis dan Numerik Permasalahan Penerjun Payung
Dari gambar 1.3 nampak bahwa terdapat sedikit perbedaan hasil antara solusi analitis eksak dengan solusi numerik. Perbedaan ini yang
disebut dengan istilah error kesalahan . Adanya error dalam pendekatan secara numerik dapat diminimalisasi dengan mengambil selang interval
perhitungan yang lebih kecil. Sebagai pembanding coba lakukan perhitungan ulang secara numerik dengan menggunakan interval waktu yang lebih kecil.
Semisal diambil t = 1 detik atau bahkan t = 0,5 detik. Namun dengan makin
kecilnya interval ini akan makin melibatkan angka yang banyak, sehingga proses perhitungan secara manual akan memakan waktu. Denagn adanya
banyak bahasa program yang dapat digunakan permasalahan ini akan dapat diminimalisir. Ada kalanya semakin kecil interval yang kita ambil akan
memberikan solusi yang jauh dari kenyataan. Pada suatu batas interval tertentu, justru akan terjadi suatu kondisi yang sering disebut ill condition.
1.5 Kesalahan Absolut dan Kesalahan Relatif
Penyelesaian suatu model matematika secara numerik memberikan hasil aproksimasipendekatan yang berbeda dengan penyelesaian secara
analitis. Adanya perbedaan inilah yang sering disebut sebagai error
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
8
kesalahan . Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan error dapat dirumuskan sebagai berikut :
Nilai eksak = aproksimasi + error 1.13 a
Dengan menyusun kembali persamaan 1.13 a maka akan diperoleh definisi dari kesalahan absolut absolute error, yaitu :
Kesalahan absolut E
t
= nilai eksak aproksimasi
1.13 b atau E
t
= p p
1.13 c Dan selanjutnya kita definisikan kesalahan relatif Relative error sebagai :
Kesalahan relatif
t
= 100
p E
t
1.14 Persamaan 1.13 hingga 1.14 hanya dapat dihitung bila nilai eksak diketahui.
Dalam metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui bila fungsi yang dijumpai dapat diselesaikan secara analitis. Sehingga dalam metode numerik,
aproksimasi sekarang ditentukan berdasarkan aproksimasi sebelumnya. 100
1 1
n x
n x
n x
a
p p
p
1.15
Tanda untuk persamaan 1.13 hingga 1.15 dapat positif atau negatif. Jika aproksimasi lebih besar daripada nilai eksak atau aproksimasi
sebelumnya lebih besar daripada aproksimasi sekarang, maka errornya negatif. Dan sebaliknya jika aproksimasinya lebih kecil dari nilai eksak, maka
errornya positif. Biasanya dalam metode numerik nilai mutlak kesalahan relatif disyaratkan lebih kecil dari suatu toleransi
s
.
s a
1.16
Contoh :
Siswa A mengukur panjang suatu jembatan, hasil pengukurannya menunjukkan panjang jembatan 9999 cm panjang jembatan sesungguhnya
adalah 10000 cm . Siswa B mengukur panjang suatu penggaris, hasil pengukurannya menunjukkan bahwa penggaris tersebut panjangnya adalah 9
cm panjang sesungguhnya dari penggaris adalah 10 cm . Hitung kesalahan absolut dan kesalahan relatif dari kedua siswa tersebut
Catatan Kuliah Analisis Numerik – CIV-208
9
Jawab :
a. Masalah panjang jembatan : E
t
= 10000 – 9999 = 1 cm
100 10000
1
t
= 0,01
b. Masalah panjang penggaris E
t
= 10 – 9 = 1 cm
100 10
1
t
= 10
Dari hasil di atas dapat disimpulkan bahwa siswa A ternyata lebih teliti dalam melaksanakan pengukurannya.
1.6 Truncation Error
