13
4.2.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR vaksinasi
Titik tetap
E =
, disubstitusikan ke dalam persamaan 13
sehingga akan diperoleh; [
] Untuk memperoleh nilai eigen dari matriks
jacobi di atas maka |J – I| = 0, sehingga
diperoleh nilai eigen yaitu;
- - = 0
1
= - 0
2
= Jika
i
0 untuk i = 1,2. Nilai 0
mengakibatkan
1
= - 0, jika
2
0 maka . Jika
1
0 dan
2
0, maka titik tetap
bersifat stabil dan jika
1
0 dan
2
0, maka titik tetap bersifat
sadel. Nilai
mengakibatkan =
1. Jika 1
maka merupakan titik tetap stabil asimtotik.
Dengan kata lain, syarat terjadinya bebas penyakit adalah bilangan reproduksi dasar
harus kurang dari satu. Jika 1 maka
akan tidak stabil. Dengan mengambil parameter
positif diperoleh 1, sehingga
merupakan titik tetap stabil asimtotik. Kestabilan sistem di titik tetap E
1
Tititk tetap =
disubstitusikan pada persamaan 13, maka akan diperoleh matriks jacobinya sebagai
berikut ini; [
] Dari persamaan diatas diperoleh nilai eigen
dari matriks jacobi yaitu;
√ √
Dari persamaan di atas, titik tetap endemik hanya akan muncul ketika
, sedangkan nilai
merupakan bilangan real negatif atau berupa bilangan kompleks. Dengan
bilangan real bernilai negatif untuk 1 sehingga menyebabkan titik
akan stabil asimtotik.
4.2.4 Bilangan Reproduksi Dasar untuk model SIR vaksinasi
R dari model SIR diperoleh sebagai
berikut;
Persamaan di atas setelah dilinearisasi diperoleh sebagai berikut;
14 R
= 4.2.5 Orbit dan Kestabilan Sistem Model
SIR vaksinasi Orbit
kestabilan diperoleh
dengan menggunakan software Maple 12 sehingga
diperoleh bentuk orbit seperti dibawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai
berikut: = 0.5, β = 0.8, = 0.4 dan ξ = 0.03,
hal ini berimplikasi pada 1 maka akan
diperoleh yang bersifat stabil
dan yang bersifat tak
stabil. Orbit disajikan sebagai berikut;
Gambar 7. Orbit kstabilan model SIR dengan
vaksinasi dibidang SI
Gambar 8. Dinamika populasi S, I dan R
menurut waktu tahun Pada gambar 8 di atas kita dapat melihat
bagaimana hubungan individu rentan, infeksi dan
pulih. Seiring
berjalannya waktu
poroporsi individu rentan akan semakin berkurang. Hal ini, disebabkan oleh kelompok
individu rentan terjangkit penyakit dan memasuki kelompok individu infeksi. Pada
waktu tertentu, proporsi
individu pada kelompok rentan tidak mengalami perubahan
lagi. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada titik kesetimbangan.
Kelompok individu infeksi mengalami penurunan. Hal ini disebabkan oleh karena
kelompok individu rentan tidak terjangkit penyakit setelah adanya penerimaan vaksin.
Sehingga pada waktu tertentu kelompok individu rentan tidak memasuki individu I,
semakin besar individu rentan yang tidak terjangkit penyakit maka kelompok individu
infeksi akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilan.
Program vaksinasi
dilakukan untuk
mencegah meluasnya penyebaran penyakit campak measles. Vaksinasi diasumsikan
berhasil jika pada waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi I. Bilangan
reproduksi dasar dapat juga digunakan untuk menentukan
apakah penyakit
campak measles tersebut akan menghilang dari
populasi I pada waktu tertentu jika nilai dan jika
Penyakit campak measles akan ada sampai batas waktu yang
tak terbatas. Upaya pencegahan penyebaran penyakit
campak measles dapat dilakukan dengan program vaksinasi pada tingkat
�. Pengaruh vaksinasi dapat dilihat dari prilaku proposi
individu I yang bersifat endemik. Berdasarkan persamaan 4 tingkat vaksinasi minimum
yang diperlukan
dalam pencegahan
penyebaran penyakit campak measles ialah =
0.4625. Menganalisis
bagaimana pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi lebih
kecil dari vaksinasi minimum.
Gambar 9. Proporsi individu I pada saat nilai
= 0.4625, = 0.3 ,
= 0.1, dan = 0
Dari gambar 9 menunjukan bahwa semua vaksinasi yang diberikan bahwa penyakit akan
selalu ada dalam jangka waktu yang tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak
measles bersifat endemik. Dengan demikian vaksinasi yang dilakukan tidak berhasil
membuat
penyakit campak
measles menghilang dari populasi individu I.
Dengan demikian jika = 0.4625,
maka penyakit campak measles tidak akan menghilang dari populasi individu I dalam
jangka waktu yang tak terbatas. Kondisi kesetimbangan yang dicapai dalam individu I
merupakan titik kesetimbangan endemik. Tabel 1. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi
Dasar dan Kestabilan.
Titik Tetap Kestabilan
1, 0 1.86
-Stabil asimtotik
- Takstabil 0.1
1, 0 1.67
-Stabil asimtotik
-Takstabil 0.3
0.7, 0 1.3
-Stabil asimtotik
-Takstabil
Dari Tabel 1 dapat di lihat bahwa jika semakin
tinggi tingkat
vaksinasi yang
diberikan maka nilai bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Namun demikian
c
= 0.4625,
nilai sehingga penyakit campak measles
akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak batas.
Makinde 2007 menyatakan tingkat vaksinasi yang dilakukan harus lebih besar
dari tingkat
vaksinasi minimum
yang
diberikan agar penyebaran campak measles dapat dicegah dengan sangat baik. Oleh karena
itu, selanjutnya akan dilakukan simulasi nilai yang lebih besar dari
Selajutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi yang
diberikan lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum.
Gambar 10 . Proporsi individu I pada saat
nilai = 0.4625,
= 0.6, = 0.9 , dan
=1 Dalam waktu kurang lebih 15 tahun maka
sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabi di
= 0.5, 0. merupakan titik
tetap bebas penyakit dikarenakan proporsi individu I = 0. Besarnya bilangan reproduksi
dasar ialah = 0.74. Titik tetap bebas
penyakit tersebut bersifat stabil asimtotis karena nilai
. Jika setiap kelahiran memperoleh vaksin
sebesar = 1. Diberikan vaksinasi pada
tingkat = 1, maka proporsi individu I
ditunjukan oleh warna biru. Untuk = 1,
penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 15 tahun. Dalam
waktu kurang lebih 15 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabil di
= 0.5, 0. Dengan
demikian Penyakit
campak measles akan menghilang dari populasi
untuk nilai tingkat vaksinasi lebih besar dari
tingkat vaksinasi minimum Semakin besar
tingkat vaksinasi maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi.
Tabel 2. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan
� Titik tetap
Kestabilan 0.6
0.5, -0.2 0.74
-Stabil asimtotik
-Takstabil 0.9
0.5, -0.4 0.19
-Stabil asimtotik
-Takstabil 1
50, -16 -Stabil
asimtotik -Takstabil
Dari Tabel 2 dapat di lihat bahwa jika semakin
tinggi tingkat
vaksinasi yang
diberikan maka bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Namun demikian
c
= 0.4625,
nilai sehingga penyakit campak measles
akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak batas. Tabel 2 juga menunjukkan bahwa untuk
c
= 0.4625, kenaikan tingkat vaksinasi dapat menyebabkan semakin menurunnya
bilangan reproduksi dasar Untuk = 1,
titik stabil pada proporsi kelompok individu rentan
bernilai nol.
Hal tersebut
menunjukkan bahwa semua individu rentan kebal dari penyebaran penyakit campak
measles dan akan memasuki kelompok individu pulih. Titik stabil yang dicapai ialah
titik tetap stabil bebas penyakit dikarenakan proporsi kelompok individu infeksi bernilai
nol. 4.3 Model SEIR
4.3.1 Titik Tetap
Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular
an , sehingga dari persamaan 4
diperoleh : = 0
15
= 0 didapat nilai titik tetap yaitu E
s, e, i= 1, 0, dan
E
1
s, e,
i=
Dengan menggunakan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan
,
,
, dan diperoleh nilai titik tetap yaitu E
= 1, 0, 0 dan E
1
= 0.29, 0.22, 0.45
.
E merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E
1
merupakan titik tetap endemik. 4.3.2 Konstruksi Matriks Jacobi Untuk
Model SEIR
Misalkan sistem persamaan 6 dituliskan sebagai berikut:
[ ]
[ ]
15 dengan
� �
16
4.3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SEIR
Kategori