populasi dan berkurangnya kekebalan tubuh yang disebabkan oleh infeksi alam yang
menyerang tubuh. Populasi I akan meningkat dengan bertambahnya individu yang terinfeksi
dari kelas S.
Kekebalan tubuh yang terinfeksi akan berubah seiring dengan berjalannya waktu,
maka individu yang terinfeksi akan pulih memasuki individu R. Jadi, populasi R akan
meningkat sesuai
dengan meningkatnya
individu yang pulih dari infeksi dan akan bekurang seiring dengan perubahan kekebalan.
Penyebaran penyakit
campak measles
diasumsikan muncul pada saat individu kehilangan kekebalan tubuh dan hilang
kendali ketika virus itu datang. Hal ini mengarah pada model endemik SIR. Proporsi
banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut;
s = , i =
, dan r = diperoleh persamaan sebagai berikut;
=
βsi + – s
= βsi – ξ+ i
2 =
= ξi – r
3.2 Model SIR dengan vaksinasi
Model endemik
SIR dengan
memeperhatikan faktor vaksinasi diturunkan ulang dari model endemi SIR klasik. Model
penyebaran penyakit diturunkan menggunkan asumsi atau batasan tertentu. Hethcote 2000
menyebutkan bahwa asumsi-asumsi yang digunakan dalam model penyebaran penyakit
sebagai berikut;
Jumlah populasi diasumsikan cukup besar,
Populasi diasumsikan tertutup, oleh karena itu tidak ada populasi yang
masuk ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut,
Pada model SIR, faktor kelahiran dan kematian
diperhatikan, jumlah
kelahiran dan kematian dalam tiap satuan waktu diasumsikan sama,
Populasi diasumsikan bercampur secara homogen yang berarti setiap
individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak
dengan individu lainya,
Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit dan dapat
pula menimbulkan kematian akibat penyakit tersebut.
Selanjutnya, program
vaksinasi diperhatikan dalam model. Asumsi yang
digunakan terhadap vaksinasi tersebut adalah sebagai berikut;
Vaksinasi hanya diberikan pada individu yang baru lahir atau yang
masih dalam usia anak- anak 12 tahun ,
Keampuhan vaksinasi adalah 100, hal ini berarti setiap individu yang
telah mendapatkan vaksinasi akan kebal dari penyakit. Kekebalan yang
terjadi karena vaksinasi bersifat permanen.
Individu yang memperoleh vaksinasi kebal dari penyakit dan memasuki kelompok
pulih. Jumlah individu yang memperoleh vaksin proposional dengan jumlah kelahiran.
Dengan demikian, jumlah individu yang kebal dari penyakit karena telah memperoleh
vaksinasi
N.
Gambar 2. Dinamika populasi dalam model SIR dengan pengaruh vaksinasi
Gambar 2 di atas populasi yang lahir akan memasuki dua individu yaitu; pertama masuk
ke individu rentan dan yang kedua populasi bisa langsung memasuki individu pulih.
Individu yang tidak memperoleh vaksinasi akan memasuki kelompok individu rentan dan
berpotensi untuk terinfeksi penyakit campak measles
maka individu
rentan akan
memasuki individu pulih. Dengan N = S + I + R. Untuk proses
tranmisi vaksinasi dengan menggunakan asumsi yaitu:
Terjadi penularan dari individu ke individu yang lain,
Semua parameter dan variabel yang digunakan tidak negatif,
Tidak ada individu yang sudah terinfeksi masuk ke dalam individu
baru. Model
endemik SIR
dengan mempertimbangkan
pengaruh vaksinasi
selengkapnya dapat diekpresikan sebagai berikut lihat gambar 2;
= 3
= =
S0 0, I0 0 dan R0 ,
Persamaan 3 dapat diskala dengan total populasi
N untuk
menyerderhanakan persamaan 3 dan memudahkan analisis yang
dilakukan. Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan
sebagai berikut;
s = , i =
, dan r = diperoleh persamaan sebagai berikut;
= =
= =
si
+ s 4
= + i - r
3.3 Model SEIR
