, dan diperoleh nilai titik tetap yaitu E
= 1, 0, 0 dan E
1
= 0.29, 0.22, 0.45
.
E merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E
1
merupakan titik tetap endemik. 4.3.2 Konstruksi Matriks Jacobi Untuk
Model SEIR
Misalkan sistem persamaan 6 dituliskan sebagai berikut:
[ ]
[ ]
15 dengan
� �
16
4.3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SEIR
Kestabilan sistem di titik tetap E s, e, i =
1, 0, 0. Titik tetap E disubstitusikan pada
persamaan 16, maka akan diperoleh �
� Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen
sebagai berikut;
1
=
2
= �
3
= Jika
1
,
2
0 dan
3
0, maka E bersifat
stabil dan jika
1
0,
2
0 dan
3
0, maka E
bersifat sadel. Kestabilan sistem di titik tetap E
1
s, e, i =
Titik tetap E
1
disubstitusikan pada persamaan 16, maka akan diperoleh
J=
� �
Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut:
1
=
2
= �
3
= Jika
1
0,
2
0 dan
3
0, maka E
1
bersifat stabil dan jika
1
0,
2
0 dan
3
0, maka bersifat sadel.
Teorema 1.
a. Jika
c
, maka sebuah titik tetap endemik yang tunggal dari model
merupakan tititk tetap stabil asimtotik global.
b. Misalakan
c
, titik tetap tanpa penyakit merupakan titik tetap stabil
asimtotik global didalam Ὠ.
Berdasarkan model SEIR yang digunakan maka diperoleh dua titik tetap endemik
c
. Dari dua titk tetap endemik yang diperoleh dari model di atas tidak dapat
menjadi stabil secara bersamaan di dalam Ὠ.
4.3.4 Bilangan Reproduksi untuk model SEIR
R dari model SIR diperoleh sebagai
berikut �
17 Sehingga akan diperoleh
R
4.3.5 Orbit dan Kestabilan Sistem Model SEIR
Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga
diperoleh bentuk orbit seperti di bawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai
berikut; = 0.5, β = 0.8, = 0.4 , dan ξ =
0.03. Hal ini berimplikasi R 1 maka akan
diperoleh yang
bersifat stabil. Orbit disajikan sebagai berikut ;
Gambar 11. Orbit kestabilan model SEIR di
bidang SI. Pada gambar 11 terlihat bahwa orbitnya
menuju titik . Oleh karena itu titik tetap
endemik bersifat titik tetap stabil. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada kelompok individu I
yang dapat
menyebarluaskan penyakit
sehingga kelompok individu S terinfeksi penyakit campak measles dan memasuki
kelompok individu R. Pada saat keadaan stabil, penyakit akan
tetap ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak measles bersifat
endemik. Berdasarkan persamaan 10, model SEIR akan mencapai stabil pada saat
= . Titik
merupakan titik stabil endemik karena .
Gambar 12.
Dinamika populasi S, E, I, dan R menurut waktu tahun
Pada gambar 12 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan individu rentan, infeksi
dan pulih.
Seiring berjalannya
waktu poroporsi individu S akan semakin berkurang.
Hal ini disebabkan oleh kelompok individu S terinfeksi penyakit dan memasuki kelompok
individu I. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok S tidak mengalami
perubahan lagi. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada titik stabil.
Kelompok individu
I mengalami
kenaikan. Hal ini disebabkan oleh karena kelompok individu S terjangkit penyakit
campak measles. Sehingga pada waktu tertentu kelompok individu S tidak memasuki
individu I, semakin besar individu S yang tidak terjangkit penyakit maka kelompok
individu I akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilannya.
Besarnya bilangan reproduksi dasar ketika = 0 ialah
= 3.72. Nilai mengakibatkan kedua nilai eigen matriks
jacobi pada model SEIR ini berupa bilangan real positif. Hal tersebut menunjukkan titik
stabil endemik bersifat stabil asimtotik.
Upaya pencegahan penyebaran penyakit campak measles dapat dilakukan dengan
program vaksinasi pada tingkat . Pengaruh
vaksinasi dapat dilihat dari prilaku proposi individu I yang bersifat endemik. Berdasarkan
persamaan 6 tingkat vaksinasi minimun yang diperlukan dalam pencegahan penyebaran
penyakit campak measles ialah
= 0.4625. Selanjutnya akan menganalisis bagaimana
pengaruh vaksin jika tingkat vaksinasi lebih kecil dari vaksinasi minimum.
Gambar 13 . Proporsi individu Infeksi pada
sataun waktu tahun
Dari gambar 13 warna biru menunjukkan proporsi individu untuk tingkat vaksinasi
minimum =
0.4625. Warna hitam
menunjukkan proporsi individu I untuk vaksiansi
= 0.3, warna merah menunjukkan proporsi individu I untuk vaksinasi
= 0.1 dan warna hijau menunjukkan proporsi
individu I untuk vaksinasi = 0.
Dari kurva di atas terlihat bahwa pada setiap tingkat vaksinasi yang diberikan pada
saat yang bersamaan mencapai titik stabil. Proporsi individu kelompok infeksi akan
mencapai titik kestabilan dalam jangka waktu kurang lebih 4 tahun. Dari semua vaksinasi
yang diberikan bahwa penyakit akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak terbatas.
Oleh karena itu, penyakit campak measles bersifat endemik. Dengan demikian vaksinasi
yang dilakukan tidak berhasil membuat penyakit campak measles menghilang dari
populasi individu I.
Dengan demikian jika
c
= 0.4625, maka penyakit campak measles tidak akan
menghilang dari populasi individu I dalam jangka waktu yang tak terbatas. Titik stabil
yang dicapai dalam individu I merupakan titik stabil endemik.
Tabel 3. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan
�
Titik stabil kestabilan
3.72 Stabil asimtotik
0.1 3.35 Stabil
asimtotik 0.3
2.66 Stabil
asimtotik Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa dengan
meningkatkan vaksinasi yang diberikan pada model SEIR ternyata bilangan reproduksi
dasar
mengalami penurunan.
Namun demikian
c
= 0.4625, nilai sehingga penyakit campak measles tidak
akan menghilang dari populasi. Selajutnya akan menganalisis bagaimana
pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingakat vaksinasi
minimum.
Gambar 14 . Proporsi individu I
Jika diberikan vaksinasi pada tingkat =
0.6, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna hijau. Untuk
= 0.6, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu
kurang lebih 4 tahun dan mencapai titik stabil di
= 0.29, 0.22, 0.54. merupakan titik
tetap endemik dikarenakan proporsi individu I 0. Besarnya bilangan reproduksi dasar
adalah = 3.72. Titik tetap bebas penyakit
tersebut bersifat stabil asimtotik karena nilai .
Jika, setiap kelahiran memperoleh vaksin sebesar
= 1. Jika diberikan vaksinasi pada tingkat
= 1, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna biru . Untuk
= 1, penyakit akan menghilang dari populasi dalam
jangka waktu kurang lebih 5 tahun. Dalam waktu kurang lebih 5 tahun maka sistem akan
mencapai stabil dan mencapai titik stabi di
= 0.29, 0.22, 0.54. Dengan
demikian penyakit
campak measles akan menghilang dari populasi
untuk nilai tingkat vaksinasi lebih besar dari
tingkat vaksinasi minimum Semakin besar
tingkat vaksinasi maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi.
Tabel 4. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan
�
Titik stabil Kestabilan
0.6 1.49
Stabil asimtotik
0.9 1.27
Stabil asimtotik
1 1.04
Stabil asimtotik
Dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa jika semakin
tinggi tingkat
vaksinasi yang
diberikan pada model SEIR maka nilai rasio reproduksi
dasar mengalami
penurunan. Dengan demikian, untuk tingkat vaksinasi
yang lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum,
bilangan reproduksi
dasar mengalami penurunan. Namun demikian
sehingga penyakit campak measles akan selalu ada dalam jangka waktu yang
tidak terbatas. 4.4 Model MSEIR
4.4.1 Titik Tetap
Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular
an , sehingga dari persamaan
7 diperoleh :
18
Titik tetap . Jika
, maka akan memperoleh titik kestabilan endemik di
� sebagai berikut;
dimana Jika
1, maka 0 untuk t 0, hal
ini menunjukkan bahwa jumlah penderita penyakit campak measles berangsur - angsur
semakin berkurang
sedemikian hingga
penyakit akan menghilang dari populasi dan tidak terjadi endemik pada populasi tersebut.
Jika 1, maka
0 untuk t 0, artinya jumlah penderita akan bertambah sehingga
penyakit akan menyebarluas dan menjadi endemik. Titik tetap endemik pada model
MSEIR juga menunjukkan bahwa terdapat individu pada kelompok I yang dapat
menyebarkan penyakit kepada individu S 4.4.2 Konstruksi Matriks Jacobi untuk
Model MSEIR
Misalkan sistem
persamaan 10
dituliskan sebagai berikut;
[ ]
19 Kestabilan persamaan 5 , 6 , 9 , dan 10
akan diperoleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jacobi pada titik tetap yang
didapat.
4.4.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model MSEIR
