Tujuan Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 Sistem Persamaan Diferensial

1.2 Tujuan

Tujuan utama penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Memeriksa kestabilan model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR pada masing-masing titik tetapnya dan menentukan perbedaan dari keempat model tersebut, 2. Dengan dinamika perubahan populasi pada model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR didapat orbit kestabilannya, 3. Mendapatkan dan menginterpretasikan bilangan reproduksi dasar dari model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR, 1.3 Metode Metode tersebut dianalisis melalui dua cara yaitu secara matematis dan secara numerik. Secara matematis, dengan menganalisis kestabilan melalui penentuan titik tetap, orbit kestabilan, dinamika populasi dan kondisi yang memenuhi kestabilannya. Secara numerik menggunakan Software Maple 12 dengan diberikan parameter-parameter berbeda. II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 Sistem Persamaan Diferensial

Linear SPDL Misalkan suatu persamaan differensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut: ̇ = gt dengan dan gt adalah fungsi dari waktu t. Bila adalah suatu matriks berukuran n x n dengan koefisien konstan dan gt dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh sebagai berikut; = ̇ = Ax + b, x0 = x Farlow 1994 Definisi 2 Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan differensial SPD sebagai berikut: = ̇ = fx, x ϵ Suatu titik yang memenuhi f = 0 disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari sistem. Tu 1994 Definisi 3 Titik Tetap Stabil Titik adalah titik tetap sebuah SPD dan xt adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x0=x dan x . Titik dikatakan titik tetap stabil jika terdapat ɛ 0, yang memenuhi sifat berikut; untuk setiap ɛ 1 , 0 ɛ 1 ɛ , terdapat ɛ 0 sedemikian sehingga jika || - x || ɛ maka || - xt|| ɛ 1 , untuk setiap t t . Szidarovszky Bahill 1998 Definisi 4 Titik Tetap Takstabil Misalkan adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan xt adalah sebuah solusi SPD mandiri dengan nilai awal x0= x dengan x Titik dikatakan titik tetap tak stabil jika terdapat radius ρ 0 dengan ciri sebagai berikut: untuk sembarang r 0 terdapat posisi awal x memenuhi || - x || r, berakibat solusi xt memenuhi || - xt|| ρ, untuk paling sedikit satu t 0. Anton 1995 Definisi 5 Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal Titik dikatakan titik tetap asimtotik lokal jika titik dan terdapat ɛ 0 sedemikian sehingga jika || - x || 0 maka Szidarovszky Bahill 1998 Definisi 6 Titik Tetap Stabil Asimtotik Global Titik dikatakan titik tetap asismtot global jika titik stabil dan x ϵ Szidarovszky Bahill 1998 Definisi titik tetap stabil menyatakan bahwa titik stabil jika seluruh orbit lintasan kurva dan yang menggambarkan solusi xt berada pada radius ε 1 , jika nilai awal x yang terpilih cukup dekat dengan Titik tetap stabil asimtotik global, dipilih nilai awal x di luar radius ε sehingga solusi xt adalah untuk t → . Szidarovszky Bahill 1998 Definisi 7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah matriks n x n ,maka suatu matrik taknol x di dalam disebut vektor eigen dari A , jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari A diperoleh; Ax = x Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen maka persamaan diatas

1.2 Tujuan