1.2 Tujuan
Tujuan utama penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Memeriksa kestabilan model SIR, SIR
vaksinasi, SEIR dan MSEIR pada masing-masing
titik tetapnya
dan menentukan perbedaan dari keempat
model tersebut, 2.
Dengan dinamika perubahan populasi pada model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan
MSEIR didapat orbit kestabilannya, 3.
Mendapatkan dan menginterpretasikan bilangan reproduksi dasar dari model
SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR, 1.3 Metode
Metode tersebut dianalisis melalui dua cara yaitu secara matematis dan secara
numerik. Secara
matematis, dengan
menganalisis kestabilan melalui penentuan titik tetap, orbit kestabilan, dinamika populasi
dan kondisi yang memenuhi kestabilannya. Secara numerik menggunakan Software Maple
12 dengan diberikan parameter-parameter berbeda.
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 Sistem Persamaan Diferensial
Linear SPDL
Misalkan suatu persamaan differensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut:
̇ = gt dengan dan gt adalah fungsi dari waktu t. Bila
adalah suatu matriks berukuran n x n dengan koefisien
konstan dan gt dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh sebagai berikut;
= ̇ = Ax + b, x0 = x
Farlow 1994 Definisi 2 Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan differensial SPD sebagai berikut:
= ̇ = fx, x ϵ
Suatu titik yang memenuhi f
= 0 disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari
sistem. Tu 1994
Definisi 3 Titik Tetap Stabil
Titik adalah titik tetap sebuah SPD dan
xt adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x0=x
dan x . Titik
dikatakan titik tetap stabil jika terdapat
ɛ 0, yang
memenuhi sifat berikut; untuk setiap ɛ
1
, 0 ɛ
1
ɛ , terdapat
ɛ 0 sedemikian sehingga
jika || - x
|| ɛ maka ||
- xt|| ɛ
1
, untuk setiap t t
. Szidarovszky Bahill 1998
Definisi 4 Titik Tetap Takstabil Misalkan
adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan xt adalah sebuah solusi SPD
mandiri dengan nilai awal x0= x dengan
x Titik
dikatakan titik tetap tak stabil jika terdapat radius
ρ 0 dengan ciri sebagai berikut: untuk sembarang r 0 terdapat posisi
awal x memenuhi ||
- x || r, berakibat
solusi xt memenuhi || - xt||
ρ, untuk paling sedikit satu t 0.
Anton 1995 Definisi 5 Titik Tetap Stabil Asimtotik
Lokal Titik
dikatakan titik tetap asimtotik lokal jika titik dan terdapat
ɛ 0 sedemikian sehingga jika ||
- x || 0 maka
Szidarovszky Bahill 1998 Definisi 6 Titik Tetap Stabil Asimtotik
Global
Titik dikatakan titik tetap asismtot
global jika titik stabil dan x
ϵ Szidarovszky Bahill 1998
Definisi titik tetap stabil menyatakan bahwa titik
stabil jika seluruh orbit lintasan kurva dan yang menggambarkan solusi xt berada
pada radius ε
1
, jika nilai awal x yang
terpilih cukup dekat dengan Titik tetap
stabil asimtotik global, dipilih nilai awal x di luar radius ε
sehingga solusi xt adalah untuk t → .
Szidarovszky Bahill 1998 Definisi 7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah matriks n x n ,maka suatu matrik taknol x di dalam
disebut vektor eigen dari A
, jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari A diperoleh;
Ax = x Vektor
x disebut
vektor eigen
yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk
mencari nilai eigen maka persamaan diatas
1.2 Tujuan