2 LANDASAN TEORI
2.1 Transformasi Laplace
Tranformasi Laplace adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk mempermudah
menyelesaikan persamaan diferensial. Dengan menggunakan transformasi Laplace,
persamaan diferensial dapat ditransformasi ke dalam persamaan aljabar.
Didefinisikan f t adalah fungsi terhadap
waktu t, s adalah variabel kompleks, dan adalah transformasi Laplace dari
. Dengan syarat f
t adalah fungsi yang bernilai nol ketika t0.
Transformasi Laplace memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
Misalkan dan
, maka: 1.
= 2.
; 3.
4. .
Bukti: Lihat Lampiran 1 Farlow 1994
2.2 Sistem
Sistem adalah suatu kesatuan yang terdiri atas komponen atau elemen yang
dihubungkan bersama untuk memudahkan aliran informasi, materi, atau energi. Istilah ini
sering dipergunakan untuk menggambarkan suatu kumpulan entitas yang berinteraksi, di
mana suatu model matematika seringkali bisa dibuat. Gambar 1 menunjukkan suatu contoh
skema dari sebuah sistem.
Gambar 1. Contoh skema dari sebuah sistem Suatu sistem dikatakan sistem kontinu
continous-time system apabila sistem tersebut dapat menerima input berupa
continous-time signal dan menghasilkan output yang berupa continous–time signal
pula. Sistem diskret discrete-time system dicirikan dengan input yang berupa discrete-
time signal dan menghasilkan output yang berupa discrete–time signal. Kedisktretan
suatu sistem dapat pula dilihat dari perubahan keadaan sistem dari waktu ke waktu. Jika
perubahan keadaan yang terjadi hanya pada waktu tertentu, bukan pada setiap titik waktu,
maka dikatakan sistem diskret, dalam hal lain dikatakan sistem kontinu.
Sistem kontinu dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial. Sebagai contoh,
Hukum Newton ke-2, yang menyatakan bahwa sebuah benda dengan massa m konstan
akan dipercepat sebanding dengan gaya f yang bekerja padanya dan berbanding terbalik
dengan massanya , dengan v
adalah kecepatan benda. Sistem diskret direpresentasikan dalam bentuk persamaan
beda. Sebagai contoh adalah banyaknya uang setelah k+1 periode adalah Pk+1=1+iPk,
dengan i adalah suku bunga yang berlaku.
2.3 Sistem Umpan-balik
Sistem yang mengatur hubungan antara nilai output dan reference input sehingga
perbedaan di antara keduanya kecil disebut sistem umpan-balik feedback control system.
DiStefano 1990 Sebagai contoh adalah pendingin ruangan
AC. Dengan mengukur suhu ruangan dan membandingkannya dengan suhu yang
diinginkan reference temperature, sistem AC akan mengaktifkanmenonaktifkan
pendinginpemanas sedemikian rupa sehingga suhu ruangan menjadi nyaman.
Umpan-balik digunakan sebagai sinyal yang memengaruhi pengendalian sistem.
Umpan-balik merupakan ciri khusus dari sistem yang mempunyai sasaran
pengendalian. Contoh konfigurasi dari sebuah sistem kontrol otomatis closed-loop control
system dapat dilihat pada Gambar 2.
Sistem umpan-balik yang paling sederhana melibatkan tiga komponen, yaitu plant atau
sistem P yang akan dikendalikan, controller atau pengendali K yang harus didesain
sehigga menghasilkan input kendali tertentu, dan sensor F yang mencatat states dari sistem
sebagai umpan-balik.
Masalah utama dalam sistem umpan-balik adalah mendesain pengendali K sedemikian
sehingga sistem menjadi stabil. Pemilihan umpan-balik u dapat bervariasi, di antaranya
adalah
, dengan adalah variabel
keadaan. Umpan-balik u yang sedemikian rupa dinamakan umpan-balik state state
feedback. Selain itu, umpan-balik u dapat pula berupa kombinasi linear dari output
pada sistem tersebut, yang dinamakan umpan- balik output output feedback.
Gambar 2. Contoh skema dari sistem kontrol otomatis
2.4 Persamaan Ruang Keadaan
Keadaan state dari sistem dinamik adalah himpunan dari variabel keadaan di
mana informasi dari variabel tersebut pada saat
dan informasi dari input pada saat cukup untuk menggambarkan perilaku
dari sistem tersebut pada suatu waktu .
Variabel keadaan state variable dari sistem dinamik adalah variabel yang dapat
menggambarkan keadaan sistem pada waktu tertentu jika diberikan input dan nilai awal.
Vektor keadaan adalah kumpulan dari variabel keadaan yang dapat menjelaskan
perilaku sistem secara keseluruhan. Ruang keadaan state space adalah ruang
berdimensi-n yang memiliki koordinat , , … ,
. Persamaan ruang keadaan state-space
equation dari sistem dinamik mengandung tiga hal, yaitu variabel input input variable,
variabel output output variable dan variabel keadaan state variable.
Persamaan ruang keadaan dari suatu sistem dapat bervariasi, sesuai dengan definisi
awal dari variabel-variabel dari suatu sistem. Misalkan suatu sistem memiliki state
sejumlah n persamaan diferensial biasa berdimensi n, input sebanyak r, dan output
sebanyak m.
Misalkan pula , , … ,
, , , … , . Maka,
sistem tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
, , , , , ,
2.1 , , .
Sedangkan output dari sistem diberikan sebagai berikut:
, , , , , ,
2.2 , , .
Persamaan 2.1 dan 2.2 dapat dituliskan dalam notasi vektor sebagai berikut:
, , 2.3
, , 2.4
dengan ,
,
, , , ,
, , , ,
, , , ,
, , , ,
. Jika vektor fungsi f, g bergantung kepada
peubah t, maka persamaan 2.3 dan 2.4 disebut sistem time-variying. Jika sistem
tersebut dilinearkan, maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan outputnya dapat
dituliskan sebagai berikut:
2.5
2.6 dengan
, ,
, merupakan
matriks-matriks yang bergantung waktu t. Jika vektor f dan g tidak bergantung terhadap
waktu t, maka persamaan 2.3 dan 2.4 disebut sistem time-invariant. Dalam kasus
ini, sistem tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
2.7
2.8 dengan
, ,
, adalah matriks-matriks
bernilai real, x adalah vektor peubah keadaan state variable, y adalah output sistem, dan u
adalah input kendali.
Sistem pada persamaan 2.7 dan 2.8 dapat ditulis dalam bentuk
∑ , , , ,
dengan ,
, ,
.
Misalkan sebuah sistem dengan model matematika
d z dz
m b
kz u dt
dt +
+ = 2.9
akan dimodelkan dalam bentuk persamaan ruang kedaan. Persamaan 2.9 dapat
dituliskan
. Didefinisikan peubah keadaan
dan , serta output
. Secara eksplisit, persamaan 2.9 dapat
dituliskan 2.10
= − −
+ .
k b
x x
x u
m m
m 2.11
Dalam bentuk matriks, persamaan 2.10 dan 2.11 menjadi
1 1
2 2
1 1
1 x
x u
k b
x x
m m
m ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ =
+ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
2.12 dan output
. 2.13 Persamaan 2.12 dan 2.13 dapat pula
dituliskan
2.14
2.15 dengan
, ,
, .
Ogata 1997
2.5 Fungsi Transfer
Kategori