Fungsi Transfer Pole dan Zero Bentuk Kanonik

Sistem pada persamaan 2.7 dan 2.8 dapat ditulis dalam bentuk ∑ , , , , dengan , , , . Misalkan sebuah sistem dengan model matematika d z dz m b kz u dt dt + + = 2.9 akan dimodelkan dalam bentuk persamaan ruang kedaan. Persamaan 2.9 dapat dituliskan . Didefinisikan peubah keadaan dan , serta output . Secara eksplisit, persamaan 2.9 dapat dituliskan 2.10 = − − + . k b x x x u m m m 2.11 Dalam bentuk matriks, persamaan 2.10 dan 2.11 menjadi 1 1 2 2 1 1 1 x x u k b x x m m m ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2.12 dan output . 2.13 Persamaan 2.12 dan 2.13 dapat pula dituliskan 2.14 2.15 dengan , , , . Ogata 1997

2.5 Fungsi Transfer

Fungsi transfer transfer function adalah suatu fungsi yang menghubungkan antara output sistem dengan input sistem. Hasil transformasi Laplace dari persamaan 2.7 dan 2.8 adalah . Fungsi transfer didefinisikan sebagai rasio antara fungsi output terhadap fungsi input, atau 1 . Y s P s C sI A B D X s − = = − + 2.16 Sebagai contoh, akan dicari fungsi transfer untuk sistem pada persamaan 2.9. Dari definisi fungsi transfer dan dari persamaan 2.14 dan 2.15, diperoleh 2 1 ms bs k = + + . 2.17 Fungsi transfer pada persamaan 2.17 dapat diperoleh tanpa harus mencari persamaan ruang keadaan terlebih dahulu. Dengan melakukan transformasi Laplace terhadap persamaan 2.9, fungsi transfer dapat diperoleh. Hasil transformasi Laplace untuk persamaan 2.9 adalah . 2.18 Dengan mengasumsikan nilai awal dari sistem pada persamaan 2.9 sama dengan nol , , persamaan 2.18 dapat dituliskan . . Berdasarkan definisi fungsi transfer, yaitu rasio terhadap , diperoleh .

2.6 Pole dan Zero

Fungsi transfer pada persamaan 2.16 dapat dituliskan dalam bentuk fungsi rasional sebagai berikut dengan pembilang dan penyebut . Pole dari sistem didefinisikan sebagai akar dari persamaan . Jika nilai real dari akar persamaannya ada yang positif, sistem tersebut tidak stabil, sedangkan jika semua akar persamaannya bernilai negatif, sistem tersebut merupakan sistem yang stabil. Sedangkan zero dari sistem didefinisikan sebagai akar dari persamaan . Dari pole dan zero dari suatu sistem, sistem dapat dibedakan menjadi minimum- phase system dan nonminimum-phase system. Suatu sistem dikatakan minimum-phase system jika fungsi transfernya tidak memiliki pole maupun zero yang bernilai positif. sedangkan suatu sistem disebut sebagai nonminimum-phase system jika memiliki pole atau zero yang bernilai positif. Ogata 1997

2.7 Bentuk Kanonik

Suatu sistem linear yang bersifat time- invariant dikatakan dalam bentuk kanonik canonical form, jika persamaan ruang keadaannya dalam bentuk dan . Sistem dapat ditransformasi ke dalam bentuk kanonik dengan cara memilih matriks transformasi sedemikian sehingga memiliki bentuk yang identik dengan koefisien dan memiliki bentuk yang identik dengan koefisien . Warwick 1996 Misalkan suatu sistem yang terkontrol didefinisikan sebagai berikut dengan adalah matrks berukuran . Didefinisikan matriks dan , yaitu: , dengan adalah koefisien dari persamaan karakteristik | | . Didefinisikan pula . Selanjutnya, akan ditunjukkan . 2.19 Dengan mensubstitusikan lihat Lampiran 2, persamaan 2.19 dapat dituliskan . Selanjutnya, perlu ditunjukkan . Dapat dilihat bahwa . Selanjutnya akan ditunjukkan pula . 2.20 Persamaan 2.20 sama dengan .

2.8 Keterkontrolan