Sistem pada persamaan 2.7 dan 2.8 dapat ditulis dalam bentuk
∑ , , , ,
dengan ,
, ,
.
Misalkan sebuah sistem dengan model matematika
d z dz
m b
kz u dt
dt +
+ = 2.9
akan dimodelkan dalam bentuk persamaan ruang kedaan. Persamaan 2.9 dapat
dituliskan
. Didefinisikan peubah keadaan
dan , serta output
. Secara eksplisit, persamaan 2.9 dapat
dituliskan 2.10
= − −
+ .
k b
x x
x u
m m
m 2.11
Dalam bentuk matriks, persamaan 2.10 dan 2.11 menjadi
1 1
2 2
1 1
1 x
x u
k b
x x
m m
m ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ =
+ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
2.12 dan output
. 2.13 Persamaan 2.12 dan 2.13 dapat pula
dituliskan
2.14
2.15 dengan
, ,
, .
Ogata 1997
2.5 Fungsi Transfer
Fungsi transfer transfer function adalah suatu fungsi yang menghubungkan antara
output sistem dengan input sistem. Hasil transformasi Laplace dari persamaan
2.7 dan 2.8 adalah .
Fungsi transfer didefinisikan sebagai rasio antara fungsi output terhadap fungsi input,
atau
1
. Y s
P s C sI
A B
D X s
−
= =
− +
2.16 Sebagai contoh, akan dicari fungsi transfer
untuk sistem pada persamaan 2.9. Dari definisi fungsi transfer dan dari
persamaan 2.14 dan 2.15, diperoleh
2
1 ms
bs k
= + +
. 2.17 Fungsi transfer pada persamaan 2.17
dapat diperoleh tanpa harus mencari persamaan ruang keadaan terlebih dahulu.
Dengan melakukan transformasi Laplace terhadap persamaan 2.9, fungsi transfer
dapat diperoleh. Hasil transformasi Laplace untuk persamaan 2.9 adalah
. 2.18 Dengan mengasumsikan nilai awal dari
sistem pada persamaan 2.9 sama dengan nol ,
, persamaan 2.18 dapat dituliskan
. .
Berdasarkan definisi fungsi transfer, yaitu rasio
terhadap , diperoleh
.
2.6 Pole dan Zero
Fungsi transfer pada persamaan 2.16 dapat dituliskan dalam bentuk fungsi rasional
sebagai berikut
dengan pembilang dan penyebut
. Pole dari sistem
didefinisikan sebagai akar dari persamaan
. Jika nilai real dari akar persamaannya ada yang positif,
sistem tersebut tidak stabil, sedangkan jika semua akar persamaannya bernilai negatif,
sistem tersebut merupakan sistem yang stabil. Sedangkan zero dari sistem
didefinisikan sebagai akar dari persamaan
. Dari pole dan zero dari suatu sistem,
sistem dapat dibedakan menjadi minimum- phase system dan nonminimum-phase system.
Suatu sistem dikatakan minimum-phase system jika fungsi transfernya tidak memiliki
pole maupun zero yang bernilai positif. sedangkan suatu sistem disebut sebagai
nonminimum-phase system jika memiliki pole atau zero yang bernilai positif.
Ogata 1997
2.7 Bentuk Kanonik
Suatu sistem linear yang bersifat time- invariant dikatakan dalam bentuk kanonik
canonical form, jika persamaan ruang keadaannya dalam bentuk
dan .
Sistem dapat ditransformasi
ke dalam bentuk kanonik dengan cara memilih matriks transformasi sedemikian
sehingga memiliki bentuk yang
identik dengan koefisien dan memiliki bentuk yang identik dengan
koefisien . Warwick 1996
Misalkan suatu sistem yang terkontrol didefinisikan sebagai berikut
dengan adalah matrks berukuran .
Didefinisikan matriks dan , yaitu:
, dengan
adalah koefisien dari persamaan karakteristik
| |
. Didefinisikan pula
. Selanjutnya, akan ditunjukkan
. 2.19 Dengan mensubstitusikan
lihat Lampiran 2, persamaan 2.19 dapat dituliskan
. Selanjutnya, perlu ditunjukkan
. Dapat dilihat bahwa
. Selanjutnya akan ditunjukkan pula
. 2.20 Persamaan 2.20 sama dengan
.
2.8 Keterkontrolan
