Keterkontrolan Kestabilan Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik dengan Umpat Balik State dan Output

. 2.20 Persamaan 2.20 sama dengan .

2.8 Keterkontrolan

State dikatakan reachable dari sembarang state pada waktu , jika ada sehingga , , . Suatu sistem controllable jika ada variabel kontrol yang mampu mentransfer sistem dari state ke state yang lain , dengan . Ogata 1997 Misalkan diberikan sistem dengan persamaan berikut: 2.21 dengan nilai awal dan . Misalkan , dengan konstan. Solusi umum dari persamaan 2.21 adalah . Dari nilai awal yang diberikan, maka diperoleh solusi khusus persamaan diferensial 2.21 sebagai berikut . Misalkan , maka dengan . Karena terdapat input pengendali sedemikian sehingga state dapat dicapai dari sembarang state , maka sistem pada persamaan 2.21 merupakan sistem yang terkontrol. Untuk dapat melihat kekontrolan dari suatu sistem, dapat pula dilakukan dengan melihat pangkat dari matriks , yaitu matriks controllability, yang didefinisikan sebagai berikut . Teorema 1 Jika pangkat dari dari matriks penuh, maka suatu sistem controllable, jika tidak, maka sistem tersebut uncontrollable. Bukti: Lihat Lampiran 3 Misalkan diberikan sistem dengan model . Sistem di atas dikatakan tidak terkontrol, karena singular. Contoh untuk sistem yang terkontrol adalah , karena nonsingular, atau dengan kata lain berpangkat penuh.

2.9 Kestabilan

Sistem yang didefinisikan pada persamaan 2.7 dan 2.8 dikatakan • Stabil, jika lim sup ∞ untuk setiap solusi dari persamaan . • Stabil asimtotik, jika lim sup ∞ untuk setiap solusi dari persamaan . • Takstabil, jika ada solusi dari persamaan dengan lim sup ∞ atau lim sup ∞. Edisusanto 2008 Ada dua teorema yang berkaitan dengan nilai eigen dan poles dari suatu sistem, yaitu: Teorema 2 Misalkan matriks dari sistem Σ pada persamaan 2.7 dan 2.8 memiliki nilai eigen , , … . Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: • Sistem Σ stabil jika dan hanya jika Re untuk semua i. • Sistem Σ stabil asimtotik jika dan hanya jika Re untuk semua i. • Sistem Σ takstabil jika dan hanya jika Re untuk suatu i. Bukti: lihat Lampiran 4 Teorema 3 Misalkan suatu sistem Σ pada persamaan 2.7 dan 2.8 memiliki pole , , … . Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: • Sistem Σ stabil jika dan hanya jika Re untuk semua i. • Sistem Σ stabil asimtotik jika dan hanya jika Re untuk semua i. • Sistem Σ takstabil jika dan hanya jika Re untuk suatu i. Bukti: lihat Lampiran 5

2.10 Step Response