. 2.20 Persamaan 2.20 sama dengan
.
2.8 Keterkontrolan
State dikatakan reachable dari
sembarang state pada waktu , jika ada
sehingga , ,
. Suatu sistem controllable jika ada variabel
kontrol yang mampu mentransfer sistem
dari state ke state yang lain
, dengan
. Ogata 1997
Misalkan diberikan sistem dengan persamaan berikut:
2.21 dengan nilai awal
dan .
Misalkan , dengan
konstan. Solusi umum dari persamaan 2.21 adalah
. Dari nilai awal yang diberikan, maka
diperoleh solusi khusus persamaan diferensial 2.21 sebagai berikut
. Misalkan
, maka
dengan .
Karena terdapat input pengendali sedemikian sehingga state
dapat dicapai dari sembarang state
, maka sistem pada persamaan 2.21 merupakan sistem yang
terkontrol. Untuk dapat melihat kekontrolan dari
suatu sistem, dapat pula dilakukan dengan melihat pangkat dari matriks , yaitu matriks
controllability, yang didefinisikan sebagai berikut
.
Teorema 1
Jika pangkat dari dari matriks penuh, maka suatu sistem controllable, jika tidak,
maka sistem tersebut uncontrollable. Bukti: Lihat Lampiran 3
Misalkan diberikan sistem dengan model .
Sistem di atas dikatakan tidak terkontrol, karena
singular. Contoh untuk sistem yang terkontrol
adalah ,
karena nonsingular, atau
dengan kata lain berpangkat penuh.
2.9 Kestabilan
Sistem yang didefinisikan pada persamaan 2.7 dan 2.8 dikatakan
• Stabil, jika lim sup
∞ untuk setiap solusi dari persamaan
. • Stabil asimtotik, jika
lim sup
∞ untuk setiap solusi dari persamaan
. • Takstabil, jika ada solusi dari persamaan
dengan lim
sup ∞ atau
lim sup
∞. Edisusanto 2008
Ada dua teorema yang berkaitan dengan nilai eigen dan poles dari suatu sistem, yaitu:
Teorema 2 Misalkan matriks dari sistem
Σ pada persamaan 2.7 dan 2.8 memiliki nilai eigen
, , … . Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
• Sistem Σ stabil jika dan hanya jika Re
untuk semua i. • Sistem Σ stabil asimtotik jika dan hanya
jika Re
untuk semua i.
• Sistem Σ takstabil jika dan hanya jika Re
untuk suatu i. Bukti: lihat Lampiran 4
Teorema 3
Misalkan suatu sistem Σ pada persamaan
2.7 dan 2.8 memiliki pole , , … .
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: • Sistem Σ stabil jika dan hanya jika
Re untuk semua i.
• Sistem Σ stabil asimtotik jika dan hanya jika
Re untuk semua i.
• Sistem Σ takstabil jika dan hanya jika Re
untuk suatu i. Bukti: lihat Lampiran 5
2.10 Step Response