. Sistem dengan jumlah output lebih dari
satu dinamakan single input multiple output system. Untuk selanjutnya, yang menjadi
perhatian utama adalah posisi kereta, sehingga output sistem pendulum terbalik akan
menggunakan persamaan 3.12.
Persamaan 3.11 dan 3.12 merupakan salah satu dari sekian banyak representasi
state space dari pendulum terbalik. Sistem pendulum terbalik dapat pula
direpresentasikan dengan menggunakan fungsi transfer. Fungsi transfer yang ekivalen
dengan persamaan 3.11 dan 3.12 adalah:
. Proses penurunan fungsi transfer diberikan
pada Lampiran 6 Dalam kasus ini, beberapa parameter akan
dimisalkan untuk mempermudah perhitungan, yaitu:
, ,
, ,
. Dengan menggunakan permisalan tersebut,
persamaan 3.11 dan 3.12 dapat dituliskan sebagai berikut
3.13
dengan
,
,
.
3.2 Kestabilan Model Pendulum
Terbalik Berikut ini akan dikaji kestabilan dari
sistem pendulum terbalik tersebut, dengan melihat akar ciri nilai eigen atau poles dari
matrik pada persamaan 3.13. Jika semua nilai eigennya bernilai negatif, maka sistem
tersebut merupakan sistem yang stabil, karena
, pada saat ∞.
Akar ciri dari matriks
adalah:
,
,
.
3.2.1 Umpan-balik
State dan Pole Placement
Dari akar ciri yang diperoleh, dapat dilihat bahwa sistem pendulum terbalik tidak stabil.
Sistem pada persamaan 3.13 tersebut dapat distabilkan dengan cara memilih sinyal
inputkontrol yang tepat.
Persamaan sistem dinamik dari pendulum terbalik adalah
. 3.14 Dengan mensubstitusikan sinyal kontrol
, sistem pada persamaan 3.14 akan menjadi
. Diagram balok untuk sistem pada
persamaan 3.14 dapat dilihat pada Gambar 6. Selanjutnya, akan dipilih vektor yang
berukuran sedemikian rupa sehingga
memiliki nilai eigen yang
dikehendaki. Proses mendapatkan dinamakan pole placement.
Syarat agar pole placement dapat dilakukan adalah dengan melihat apakah
sistem tersebut terkontrol ataukah tidak. Jika suatu sistem terkontrol, maka pole placement
dapat dilakukan. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem untai tertutup
adalah
, , … ,
. Dengan memilih matriks penyesuai gain matrix yang
sesuai dalam kasus ini vektor , dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem
yang takstabil memiliki poles yang diinginkan.
Sebagai contoh, misalkan suatu sistem didefinisikan sebagau berikut
x Ax
u =
+
3.15 dengan
, .
Gambar 6. Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state Sistem pada persamaan 3.15 memiliki
poles di .
. , dan
, . Poles tersebut menunjukkan bahwa
sistem diatas tidak stabil. Dengan menggunakan umpan-balik state
, sistem tersebut akan dipaksa untuk memiliki
poles di dan
. Selanjutnya, perlu dilihat keterkontrolan
dari sistem tersebut. Matriks dari sistem tersebut adalah
. Dapat dilihat bahwa matriks dari sistem
tersebut berpangkat penuh, sehingga pole placement dapat dilakukan.
Selanjutnya, akan dicari vektor sehingga |
| sama dengan persamaan karakteristik dari poles yang dikehendaki.
Persamaan karakteristik yang dikehendaki adalah:
. Sedangkan
| |
. Oleh karena
| | harus sama
dengan persamaan karakteristik yang dikehendaki, maka
, ,
. Sehingga diperoleh
. Dalam kasus sistem pendulum terbalik,
matriks controllability adalah sebagai
berikut:
3.16
dengan
,
,
,
.
Karena det
, maka matiks
berpangkat penuh, sehingga persamaan 3.13 merupakan sistem yang
terkontrol. Agar persamaan 3.13 merupakan sistem
yang stabil, nilai dari |
| dipaksa
sama dengan nilai dari persamaan karakteristik yang dikehendaki dengan cara
menaruh pole di posisi stabil. Pole yang di kehendaki adalah
, , , ; √ i,
√ i, ,
, dengan
dan adalah pasangan closed- loop poles
yang dominan. Sedangkan dan ditempatkan di sebelah kiri
dan agar pengaruh dari respon dan kecil. Persamaan karakteristik yang
dikehendaki dari sistem tersebut adalah √ i
√ i
dengan ,
, ,
. Untuk memudahkan percarian vektor ,
state equation pada persamaan 3.13 akan ditransformasi ke dalam bentuk kanonik.
Untuk mentransformasi persamaan 3.13, didefinisikan matriks transformasi , yaitu
dengan adalah matriks controllability, yaitu:
dan
, dengan adalah koefisien polinom dari
persamaan karakteristik |
| .
Dalam kasus ini persamaan karakteristik dari sistem pendulum terbalik adalah:
| |
4 2
3 1 0.
4 g
l s
s l
l
ϕ ϕ
− +
= +
= +
3.17 Dari persamaan 3.17, diperoleh
3.18
Didefinisikan pula vektor , dengan .
Karena pangkat dari penuh, maka
memiliki inverse, sehingga persamaan 3.13 dapat ditransformasi menjadi
. 3.19 Misalkan persamaan karakteristik yang
dikehendaki adalah 3.20
sedemikian sehingga sistem pendulum terbalik stabil. Misalkan pula
. 3.21 Dipilih
. Setelah sinyal kontrol disubstitusikan ke persamaan 3.19,
persamaan pendulum terbalik menjadi . 3.22
Akan ditunjukkan bahwa persamaan karakteristik dari sistem pada persamaan
3.22 sama dengan persamaan karakteristik dari sistem pada persamaan 3.13 yang
menggunakan .
Persamaan karakteristik dari sistem pada persamaan 3.22 adalah
| |
. Sedangkan persamaan karakteristik dari
persamaan 3.13 dengan adalah
| | |
| |
| .
Sehingga persamaan karakteristik dari sistem pendulum terbalik dapat dituliskan
| |
s -1
s -1
-1 a
n
+ δ
n
a
n-1
+ δ
n-1
a
n-2
+ δ
2
a
1
+ δ
1
. 3.23 Persamaan 3.23 adalah persamaan
karakteristik dari sistem yang disertai umpan- balik state. Persamaan 3.23 harus sama
dengan persamaan 3.20 agar sistem tersebut stabil. Dengan menyamakan koefisien dari
polinom pada persamaan 3.20 dan 3.23, diperoleh
. Jika nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke
dalam persamaan 3.21, akan diperoleh .
3.24 Dari persamaan 3.16 dan 3.18,
diperoleh
.
Secara explisit, sistem pendulum terbalik yang telah ditransformasi ke bentuk kanonik
adalah sebagai berikut:
. dengan
, ,
disediakan di Lampiran 7.
Dari persamaan 3.24, umpan-balik state
untuk kasus pendulum terbalik adalah
| |
|
-
4l
2
4+l φ
9g
-
l 4+l φ
3g
-
4l
2
4+l φ
9g
-
l 4+l φ
3g
-
l 4+l φ
3
-
l 4+l φ
3
dengan
, ,
, .
Sehingga sistem pendulum terbalik pada Gambar 6 merupakan sistem yang stabil.
Untuk memperoleh umpan-balik state, dapat pula digunakan formula Ackermann
yang disajikan dalam Lampiran 8.
Gambar 7. Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output
3.2.2 Umpan-balik
