3 MODEL PENDULUM TERBALIK
3.1 Pendulum Terbalik
Pendulum terbalik inverted pendulum adalah sebuah bandul di mana massa dari
bandul tersebut berada di atas titik tumpunya. Dalam kasus ini titik tumpu tersebut
ditempatkan pada sebuah kereta yang dapat digerakkan dalam arah mendatar horizontal.
Berbeda halnya dengan pendulum normal tidak terbalik yang bersifat stabil, pendulum
terbalik memiliki sifat yang tidak stabil, sehingga harus diatur sedemikian rupa agar
pendulum tetap tegak dengan cara memberikan gaya pada titik tumpunya atau
pada kereta.
Gambar 5 adalah sebuah contoh dari pendulum terbalik. Dalam kasus ini, kereta
yang dilengkapi motor hanya dapat bergerak dalam garis lurus horizontal, dan pendulum
yang diletakkan di atas kereta bergerak berotasi dalam bidang yang sama.
Gaya diberikan kepada mobil melalui
motor yang terdapat di kereta. Tanpa adanya gaya yang sesuai, pendulum akan jatuh.
Dengan adanya umpan-balik, motor pada kereta akan memberikan gaya yang sesuai
sehingga pendulum tetap dalam keadaan tegak.
3.1.1 Daftar lambang dan istilah
Berikut ini lambang dan istilah yang digunakan.
: sudut antara pendulum dengan garis vertikal,
: berat kereta, : berat pendulum,
,
Gambar 5. Model dari pendulum terbalik
, ,
, ,
: koordinat dari pusat gravitasi pendulum,
: momen inersia, : koefisien dari viscous friction
antara pendulum dan kereta, : koefisien dari viscous friction
antara kereta dengan lantai, : vertical reaction force pada
pendulum, : horizontal reaction force pada
pendulum, : gayainput yang diberikan pada
kereta, : rasio antara massa dan panjang
pendulum.
3.1.2 Asumsi
Berikut adalah asumsi-asumsi dalam memodelkan pendulum terbalik:
1. Gaya gesek yang diamati hanya viscous friction gaya gesekan.
2. dan kecil. 3. Pendulum berbentuk bola pejal.
4. Pendulum homogen rapat massa di setiap titik pada pendulum sama,
sehingga momen inersia
. 5. Perbandingan massa dan panjang
pendulum adalah konstan .
3.1.3 Formulasi Model
Berikut ini akan diturunkan model matematik untuk sistem pendulum terbalik.
Setelah mendapatkan model matematik untuk sistem pendulum terbalik, akan dilihat
kestabilan dari sistem tersebut. Kemudian, akan dilakukan pengendalian terhadap sistem
pendulum terbalik.
Dari Gambar 5, diperoleh: sin 3.1
cos . 3.2 Berdasarkan Hukum Newton, persamaan
gerak pada pendulum dapat dibagi menjadi: 1. Rotational motion gerak rotasi dari
pendulum di sekitar pusat gravitasi pendulum center of gravity.
sin cos
. 3.3
2. Gaya yang bekerja pada kereta dalam sumbu x.
. 3.4
3. Gaya yang bekerja pada pendulum dalam sumbu x di sekitar pusat gravitasi
pendulum.
sin .
3.5 4. Gaya yang bekerja pada pendulum dalam
sumbu y di sekitar pusat gravitasi pendulum.
cos
.
3.6 Jika persamaan 3.5 disubstitusikan ke
persamaan 3.4, maka diperoleh . 3.7
Jika persamaan 3.6 disubstitusikan ke persamaan 3.3, maka diperoleh
. 3.8 Agar diperoleh persamaan state space
linear untuk , persamaan 3.7 harus
merupakan fungsi dari turunan yang lebih rendah function of lower order terms saja.
Untuk itu, harus dieliminasi dari persamaan 3.7, dan diperoleh
. atau
. atau
2 2
2 2
2
. ml
g ml
x u
I ml
I ml
x ml
M m
I ml
η ζ
θ θ
⎛ ⎞
− −
+ +
⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠
= ⎡
⎤ + −
⎢ ⎥
+ ⎣
⎦
3.9 Persamaan berikut diperoleh dengan cara
mengeliminasi dari persamaan 3.8
. 3.10
3.1.4 Representasi Matriks
Kategori