Analisis Kestabilan Titik Tetap

Simulasi ke 4 a b Gambar 6 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap penurunan nilai parameter , a dinamika sel P dan b dinamika sel Q. Dengan menurunkan nilai , dapat dilihat dari persamaan diatas bahwa laju perubahan sel P pada akan menurun, hal ini dapat dilihat pada Gambar 6a, demikian juga dengan laju perubahan sel Q mengalami penurunan. Dengan menurunnya sel P akan mengubah laju perubahan sel Q, hal ini dapat dilihat pada Gambar 6b. Simulasi ke 5 a b Gambar 7 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap peningkatan nilai parameter , a dinamika P dan b dinamika Q Berdasarkan Gambar 7a, dengan meningkatkan nilai dari persamaan diatas menunjukkan laju perubahan sel P akan menurun, demikian juga dengan 5 10 15 20 25 30 t 1 2 3 4 5 6 7 P Turun Nilai standar 5 10 15 20 25 30 t 2 4 6 8 10 Q Turun Nilai standar 5 10 15 20 25 30 t 1 2 3 4 5 6 7 P p Naik Nilai standar 5 10 15 20 25 30 t 2 4 6 8 10 Q p Naik Nilai standar laju perubahan sel Q mengalami penurunan. Dengan menurunnya sel P akan mengubah laju perubahan sel Q, hal ini dapat dilihat pada Gambar 7b. Simulasi ke 6 a b Gambar 8 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap peningkatan nilai parameter , a dinamika P dan b dinamika Q. Peningkatan nilai dari persamaan diatas menunjukkan laju perubahan sel Q akan menurun, dapat dilihat pada Gambar 8a, demikian juga dengan laju perubahan sel P mengalami penurunan. Dengan menurunnya sel Q akan mengubah laju perubahan sel P, hal ini ditunjukkan oleh Gambar 8b. Simulasi ke 7 a b Gambar 9 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap peningkatan nilai parameter , a dinamika P dan b dinamika Q. 5 10 15 20 25 30 t 1 2 3 4 5 6 7 P q Naik Nilai standar 5 10 15 20 25 30 t 2 4 6 8 10 Q q Naik Nilai standar 5 10 15 20 25 30 t 1 2 3 4 5 6 7 P Naik Nilai standar 5 10 15 20 25 30 t 2 4 6 8 10 Q Naik Nilai standar Perhatikan persamaan 3.7 dan 3.8 sebelumnya, dengan meningkatkan nilai , dapat dilihat dari persamaan diatas bahwa laju perubahan sel P pada akan meningkat, hal ini dapat dilihat pada Gambar 9a, demikian juga dengan laju perubahan sel Q mengalami peningkatan. Dengan meningkatnya sel P akan mengubah laju perubahan sel Q, hal ini dapat dilihat pada Gambar 9b. Jumlah sel P dan sel Q dengan model Gyllenberg-Webb tidak dapat menggambarkan jumlah sel tumor sebenarnya, pertumbuhannya sel tumor kurang dari 20 sel.

3.3 Model Alberto

Alberto dan Fasano 2011 mengasumsikan bahwa populasi sel tumor pada model Gyllenberg-Webb memenuhi model Gompertz. Selanjutnya model Alberto dapat dituliskan sebagai berikut : 3.12 3.13 ln . 3.14 Dengan mendiferensialkan persamaan , diperoleh . Karena , diperoleh . Dengan mensubstitusikan persamaan 3.14, diperoleh ln ln N . Sehingga ln ln dengan e ln . a b Gambar 10 Pertumbuhan sel tumor dengan model Alberto a sel P dan b sel Q. Jumlah sel P dan sel Q dengan Model Alberto dapat menggambarkan jumlah sel tumor sebenarnya, pertumbuhan sel tumor mencapai 10 8 sel. Namun solusi analitik dari model Alberto tidak dipengaruhi oleh fungsi dan . 50 100 150 200 t 5.0 107 1.0 108 1.5 108 2.0 108 2.5 108 3.0 108 P 50 100 150 200 t 2 108 4 108 6 108 8 108 Q IV MODEL MODIFIKASI Model Alberto yang merupakan hasil analisis Alberto dan Fasano 2011 menggunakan asumsi bahwa populasi sel tumor memenuhi model Gompertz. Meskipun model Alberto cukup baik menjelaskan pertumbuhan sel P dan sel Q, namun hasil analitik yang diperoleh tidak dipengaruhi oleh fungsi dan . Pada model Gyllenberg-Webb, Gyllenberg dan Webb 1991 mendefinisikan fungsi yang merupakan fungsi tak turun. Namun, pada saat nilai semakin besar maka nilai juga semakin besar. Nilai semakin besar tidak diikuti oleh perubahan nilai , sehingga laju perubahan sel P akan semakin menurun. Penurunan laju perubahan sel P akan mempengaruhi pertumbuhan sel Q, dari simulasi model Gyllenberg-Webb menunjukkan jumlah sel tumor kurang dari 20 sel. Hasil simulasi model Gyllenberg-Webb tersebut tidak dapat menjelaskan kenyataan yang sebenarnya bahwa pertumbuhan sel tumor mencapai jutaan sel. Berdasarkan hal tersebut maka fungsi yang didefinisikan oleh Gyllenberg dan Webb 1991 akan dimodifikasi. Proses transisi dari sel P menjadi sel Q dipengaruhi oleh laju pertumbuhan sel tumor dan laju penghambat pertumbuhan sel tumor . Kozusko dan Bajzer 2003 menyatakan bahwa , atas dasar itu maka fungsi akan dimodifikasi dengan cara menghadirkan parameter dan dari model Gompertz. Fungsi pada model modifikasi merupakan fungsi tak turun, dalam tulisan ini didefinisikan sebagai berikut : ln Pada saat nilai semakin besar maka kenaikan nilai dapat dikendalikan, modifikasi fungsi tersebut diharapkan mendapatkan model yang lebih baik. Fungsi merupakan fungsi tak naik, dalam tulisan ini didefinisikan sebagai berikut : ln Selanjutnya model modifikasi sebagai berikut :