Analisis Model Modifikasi Simulasi Model Modifikasi
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan titik tetap Model Gyllenberg-Webb
Titik tetap dari sistem persamaan diferensial 3.7-3.8 diperoleh dengan menentukan
0 dan 0, sehingga diperoleh:
ln 0 1
ln 0 2
3 Substitusikan
dari persamaan 3 ke persamaan 1, diperoleh ln
ln
dengan ln
Substitusikan ke persamaan 2, diperoleh
ln ln
Substitusikan , diperoleh
,
4 2
0 ln
,
2 4
2
Substitusikan 0 untuk mendapatkan N dan Q.
ln N ln N
, karena 0 dan
0 maka 0.
0 dan 0 tidak dapat digunakan karena 0 tak terdefinisi.
Substitusikan untuk mendapatkan
dan .
ln N ln N
ln N ln N
karena maka
ln N 4
2 Sehingga diperoleh,
, karena dan
Maka Sehingga diperoleh titik tetap
, , sebagai berikut
,
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 diperoleh ,
0. , .
Substitusikan untuk mendapatkan
dan .
ln N ln N
ln N ln N
karena maka
ln N 4
2
Sehingga diperoleh,
, karena dan
maka sehingga diperoleh titik tetap
, sebagai berikut
, ,
substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 diperoleh ,
0.02 , 0.0 Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk menentukan titik tetap
sebagai berikut: Solve
μp Log ,
Log , 0,
Log , Log ,
μq 0 , ,
Diperoleh,
Solve μp Log
Log 0,
Log μq
Log 0 , ,
Lampiran 2a Analisis kestabilan Model Gyllenberg-Webb
Substitusikan ke persamaan 3.7-3.8, Misalkan sistem
persamaan 3.7-3.8 ditulis sebagai berikut: ,
ln ,
ln dengan melakukan pelinearan didapat matriks Jacobi sebagai berikut :
dimana β
ln ln
ln ln
ln ln
ln
μq ln
ln
Lampiran 2b Analisis kestabilan Model Gyllenberg-Webb di
, Kestabilan sistem di titik tetap
,
, ,
dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
,
Dimana
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
,
, sehingga diperoleh
sehingga nilai eigen adalah
,
√
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 sehingga pelinearan titik tetap
, lebih mudah, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut :
,
. .
. .
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
,
sehingga diperoleh, .
. .
. .
. jadi nilai eigen adalah
. .
sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul stabil.
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai eigen di sekitar titik tetap
, sebagai berikut :
J[P_,Q_,β_,μp_,μq_]=D[{β-μp- 1+Log[©,P+Q]P+11+Log[©,P+Q]Q,1+Log[©,P
+Q]P- 11+Log[©,P+Q]+μqQ},{{P,Q}}]Simplify;
MatrixForm[] P=0.67;Q=1.67;
β=0.7;μp=0.2;μq=0.2; J[P,Q,β,μp,μq];
J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]]
Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]];