Model Alberto Mathematical Analysis of Gompertz Model, Gyllenberg-Webb Model and Its Modification of Tumour Growth.

Penggunakan fungsi yang didefinisikan oleh Gyllenberg dan Webb 1991 sangat mempengaruhi laju perubahan sel P. Semakin besar nilai mengakibatkan laju perubahan sel P pada persamaan 3.7 akan semakin menurun. Sementara nilai fungsi modifikasi sangat kecil sekali dibandingkan nilai fungsi yang didefinisikan oleh Gyllenberg dan Webb 1991, sehingga laju perubahan sel P dari model modifikasi selalu naik. a b c Gambar 19 a Dinamika sel Q dari model Gyllenberg-Webb, b Dinamika sel Q dari model Alberto, c Dinamika sel Q dari model modifikasi. 50 100 150 200 t 2 4 6 8 10 Q 50 100 150 200 t 2 108 4 108 6 108 8 108 Q 50 100 150 200 t 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 Q Berdasarkan Gambar 7a, dinamika sel Q dari model Gyllenberg-Webb pada awalnya mengalami kenaikan, kemudian menurun menuju nilai kestabilannya. Sementara pada Gambar 7c dinamika sel Q dari model modifikasi selalu naik seperti fungsi sigmoidal, begitu juga dengan dinamika sel Q dari model Alberto pada Gambar 7b. Penggunakan fungsi yang didefinisikan oleh Gyllenberg dan Webb 1991 sangat mempengaruhi laju perubahan sel P pada persamaan 3.7 mengakibatkan laju perubahan sel Q pada persamaan 3.8 juga mengalami penurunan. Semakin besar nilai mengakibatkan laju perubahan sel P pada persamaan 3.7 dan laju perubahan sel Q pada persamaan 3.8 akan semakin menurun. Sementara nilai fungsi modifikasi sangat kecil sekali dibandingkan nilai fungsi yang didefinisikan oleh Gyllenberg dan Webb 1991, sehingga laju perubahan sel P pada persamaan 3.9 dari model modifikasi selalu naik, mengakibatkan laju perubahan sel Q pada persamaan 3.10 dari model modifikasi juga naik. V SIMPULAN Dalam model pertumbuhan sel tumor dengan model Gyllenberg-Webb dan model modifikasi diperoleh dua titik tetap. Peningkatan laju pertumbuhan populasi sel proliferasi mengakibatkan peningkatan jumlah sel proliferasi. Dengan meningkatnya jumlah sel proliferasi maka laju perubahan sel non-proliferasi akan menaik sehingga akan meningkatkan jumlah sel non-proliferasi. Dalam model Gyllenberg-Webb, Semakin besar laju transisi dari sel proliferasi ke sel non-proliferasi maka laju perubahan sel proliferasi akan menurun sehingga lama kelamaan sel proliferasi akan habis. Hal ini tidak sesuai dengan keadaan real. Laju transisi dari sel proliferasi ke sel non-proliferasi pada model modifikasi jauh lebih kecil dibandingkan laju transisi dari sel proliferasi ke sel non-proliferasi pada model Gyllenberg-Webb. Hal ini mengakibatkan banyaknya sel proliferasi dari model modifikasi akan berbentuk fungsi sigmoidal. Hal ini sesuai dengan kondisi real. Dinamika pertumbuhan populasi sel proliferasi dan sel non-proliferasi dengan model modifikasi memiliki pola yang sama dengan model Alberto yaitu selalu meningkat seperti fungsi sigmoidal. Sedangkan pada model Gyllenberg- Webb tidak memiliki pola pertumbuhan seperti fungsi sigmoidal. Pola pertumbuhan populasi sel proliferasi dan sel non-proliferasi antara model Gyllenberg-Webb dan model Alberto sangat jauh berbeda. Pertumbuhan model Alberto dan model modifikasi dapat merepresentasikan pertumbuhan sel tumor yang sebenarnya dimana jumlah populasinya mencapai jutaan sel. DAFTAR PUSTAKA Adnani FE, Talibi H. 2008. Attractiveness of a Positive Steady State in a Population Tumor Growth Model with Quiescence. Applied Mathematical sciences Volume 2: 293-304. Alberto D, Fasano A. 2011. A Generalization of Gompertz Law Compatible with the Gyllenberg–Webb Theory for Tumour Growth. Mathematical Biosciences 230: 45-54. Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. Mc Graw-Hill, New York. Gyllenberg M, Webb GF. 1991. Quiescence as an explanation of Gompertzian tumor growth. Growth Development and Aging 53:25-33. Keshet LE. 1987. Mathematical model in biology. Random House, New York Kozusko F, Bajzer Z. 2003. Combining Gompertzian Growth and Cell Population Dynamics. Mathematical Biosciences 185: 153-167. Lorenzo S. 2006. Model ling the balance between quiescence and cell death in normal and tumour cell populations. Mathematical Biosciences 202 : 349- 370. Peter WS. 1972. Kinetics of tumor Growth and Regression in IgG Multiple Myeloma. The Journal of Clinical Investigation. Volume 51: 1697-1708. Ramano D, Roberto F. 1989. An Exponential-Gompertzian Description of LoVo Cell Tumor Growth from in Vivo and in Vitro Data. Cancer Res 49: 6543- 6546. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos With Application to Physics, Biology, Chemistry and Engeneering. Addison-Wesley Publising Company, Reading, Massachusets. Tu PNV. 1994. Dynamical systems, An Introduction with Applications in Economics and Biology. New York : Springer-Verlag. LAMPIRAN