19
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai Chain Rule dan Teorema Nilai Rata-Rata sebagai berikut.
1. Chain Rule
Chain Rule merupakan teorema yang membahas mengenai turunan dari suatu fungsi komposisi. Namun, sebelum membahas mengenai
Chain Rule akan dibahas dahulu Teorema 2.4 yaitu teorema
Caratheodory yang akan digunakan dalam pembuktian Chain Rule. Teorema 2.4 Caratheodory Bartle Sherbert, 2000: 160 Fungsi
terdefinisi pada interval yang memuat titik sehingga terdiferensial pada
jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi pada yang kontinu pada dan memenuhi
untuk . 2.1 Pada kasus ini
.
Bukti :
Akan dibuktikan jika terdiferensial pada maka terdapat fungsi pada yang kontinu pada dan memenuhi
untuk . Jika
ada, maka didefinisikan dengan
{
Berdasarkan definisi fungsi , maka
sehingga fungsi
kontinu. Jika , maka kedua sisi pada persamaan 2.1
20
sama dengan nol. Kemudian jika , maka dengan mengalikan
dengan diperoleh persamaan 2.1 untuk . Jika kontinu pada pada dan memenuhi persamaan 2.1, maka
terdiferensial pada . Jika persamaan 2.1 dibagi dengan
, maka kekontinuan dari
mengimplikasikan bahwa
ada. Oleh karena itu, terdiferensial pada dan . Berikut
diberikan contoh mengenai penggunaan Teorema 2.4.
Contoh 2.19 Fungsi
didefinisikan dengan untuk semua
. Ada , maka
dengan sehingga memenuhi Teorema 2.4. Oleh
karena itu, terdiferensial pada dan
.
Teorema 2.5 Chain Rule Bartle Sherbert, 2000: 162 Diberikan
interval pada fungsi dan sedemikian
sehingga Jika terdiferensial pada dan jika
terdiferensial pada maka fungsi komposisi terdiferensial
pada dan
2.2
Bukti :
21
Karena ada, menurut Teorema 2.4 terdapat fungsi pada
sedemikian sehingga kontinu pada dan
untuk dimana . Karena
ada, terdapat suatu fungsi
pada sedemikian sehingga kontinu pada dan untuk , dimana
. Subsitusikan dan , maka diperoleh
[ ] [ ]
untuk semua sedemikian sehingga . Karena fungsi
kontinu pada dan nilai pada yaitu sehingga dengan menggunakan Teorema 2.4 diperoleh persamaan
2.2. Berikut diberikan contoh dari Teorema 2.5 Chain Rule.
Contoh 2.20 Jika
terdiferensial pada dan untuk
setiap dan , maka
. Berdasarkan Teorema 2.5, diperoleh bahwa
untuk semua . Oleh karena itu,
untuk semua .
22
2. Teorema Nilai Rata-Rata
Kategori