1
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Sistem dinamik dapat dipandang sebagai suatu sistem yang bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik yang menggunakan waktu kontinu
disebut dengan sistem dinamik kontinu dan sistem dinamik yang menggunakan waktu diskrit disebut dengan sistem dinamik diskrit.
Perhatikan persamaan diferensial yang didefinisikan sebagai berikut: ̇
̇ 1.1
dengan adalah fungsi dari dan merupakan fungsi dari . Persamaan
1.1 disebut juga dengan persamaan diferensial skalar autonomous. Skalar karena
pada dimensi satu dan autonomous sebab fungsi tidak bergantung pada
Hale Kocak, 1991: 4. Fungsi
dikatakan solusi dari persamaan 1.1 pada interval jika ̇ untuk setiap . Solusi khusus dari persamaan 1.1
dengan nilai awal saat
dapat dituliskan sebagai berikut: ̇
. 1.2 Persamaan 1.2 disebut dengan masalah nilai awal dan setiap solusinya
disebut solusi yang melalui saat
. Solusi persamaan 1.2 sering dinotasikan dengan
atau . Jika
merupakan fungsi , yaitu
2
fungsi yang turunan pertamanya kontinu, maka persamaan diferensial autonomous di atas dapat dipandang sebagai suatu sistem dinamik kontinu.
Solusi dari sistem dinamik kontinu terkadang sulit untuk diperoleh, sehingga untuk mengetahui sifat solusi dari sistem tersebut dapat dianalisis
melalui nilai-nilai eigen yang dimilikinya. Suatu titik ̅ disebut titik
ekuilibrium atau titik kritis dari sistem 1.1 jika memenuhi ̅
Hale Kocak, 1991: 11. Titik ekuilibrium dikatakan stabil jika solusi dari sistem akan semakin mendekati titik ekuilibrium seiring dengan
bertambahnya waktu dan sebaliknya akan tidak stabil jika solusi sistem akan menjauhi titik ekuilibrium seiring dengan bertambahnya waktu. Titik
ekuilibrium dari suatu system ada yang rentan akan suatu gangguan. Hanya dengan sedikit saja gangguan, titik ekuilibrium dari sistem dapat
berubah. Hal ini dapat mengakibatkan perubahan kestabilan titik ekuilibrium yaitu stabil menjadi tidak stabil atau sebaliknya. Keadaan
seperti ini yang disebut dengan bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan keadaan dinamik dari suatu sistem seiring dengan perubahan nilai
parameter Roat, 2012: 28. Sistem dinamik diskrit didefinisikan sebagai
1.3 dengan
dan adalah variabel waktu diskrit Hunter, 2011: 13. Salah satu bagian dari sistem dinamik diskrit adalah scalar mapping.
Disebut scalar mapping karena persamaan 1.3 merupakan persamaan beda berdimensi satu yang disebut juga dengan mapping f dan
bernilai
3
skalar. Jika diberikan suatu nilai awal , maka
dapat diperoleh dari hasil iterasi mapping
terhadap . Setelah
diperoleh, dapat
diperoleh dari hasil iterasi mapping terhadap
dan begitu seterusnya. Jadi diperoleh barisan bilangan riil sebagai berikut
merupakan barisan dari persamaan 1.4 yang diperoleh dari iterasi mapping
. Pada sistem dinamik diskrit, titik kesetimbangan disebut dengan titik tetap dan dinotasikan dengan
̅. Titik ̅ disebut titik tetap dari
jika memenuhi ̅ ̅ Hale Kocak, 1991: 72. Kestabilan dari titik tetap dapat dianalisa melalui barisan hasil iterasi dari mapping
terhadap . Titik tetap akan stabil jika barisan hasil iterasi dari mapping
terhadap semakin mendekati titik tetap dan sebaliknya akan tidak stabil
jika barisan hasil iterasi dari mapping terhadap
menjauhi titik tetap. Seperti halnya pada sistem dinamik kontinu, scalar mapping juga
mengalami bifurkasi. Bifurkasi yang terjadi pada sistem dinamik kontinu sudah banyak dianalisis. Oleh karena itu, pada tugas akhir ini akan dianalis
bifurkasi yang terjadi pada sistem dinamik diskrit, yaitu scalar mapping.
4
B. Batasan Masalah
Kategori