Barisan Konvergen Barisan Terbatas

10

1. Barisan Konvergen

Pada suatu barisan , seiring dengan semakin besarnya nilai dari akan mendekati ke suatu nilai , maka dapat dikatakan dengan konvergen ke Barisan konvergen secara formal didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.2.2 Bartle Sherbert, 2000: 54 Barisan pada kovergen ke atau merupakan limit dari , jika untuk setiap terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk semua , memenuhi | | . Jika barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut konvergen dan sebaliknya jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan divergen. Bilangan dalam hal ini disebut sebagai limit barisan dan dinotasikan dengan . Terkadang dalam menyatakan suatu barisan konvergen digunakan simbol yang berarti akan mencapai, mendekati, atau menghampiri untuk . Berikut diberikan contoh mengenai barisan konvergen. Contoh 2.8 Akan dibuktikan bahwa . Diberikan . Berdasarkan sifat Archimedes, ada sedemikian sehingga . Jika , maka sehingga | | 11 Jadi, barisan limit tersebut konvergen ke .

2. Barisan Terbatas

Barisan terbatas secara formal didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.2.3 Bartle Sherbert, 2000: 60 Barisan bilangan riil dikatakan terbatas jika ada bilangan riil sedemikian sehingga | | untuk semua . Barisan terbatas jika dan hanya jika himpunan terbatas pada . Berikutnya diberikan Teorema 2.1 mengenai barisan konvergen yang terbatas sebagai berikut. Teorema 2.1 Bartle Sherbert, 2000: 60 Suatu barisan konvergen dari bilangan riil adalah terbatas. Bukti : Andaikan dan , maka ada bilangan asli sedemikian sehingga | | untuk semua . Berdasarkan pertidaksamaan segitiga dengan diperoleh | | | | | | | | | | Jika {| | | | | | | |} maka | | untuk semua . Hal ini menunjukkan bahwa terbatas. Berikut akan diberikan contoh dari barisan konvergen yang terbatas. Contoh 2.9 Diberikan barisan dengan . 12 Akan ditunjukkan bahwa . Diberikan , berdasarkan sifat Archimedes, ada sedemikian sehingga . Jika , maka sehingga | | Oleh karena itu, konvergen ke . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa terbatas. Pilih sedemikian sehingga . Ada sedemikian sehingga | | untuk semua , maka barisan tersebut terbatas dengan 1. Jadi, merupakan barisan konvergen yang terbatas.

3. Barisan Monoton