ANALISIS BIFURKASI PADA SCALAR MAPPING.

(1)

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah

Sistem dinamik dapat dipandang sebagai suatu sistem yang bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik yang menggunakan waktu kontinu disebut dengan sistem dinamik kontinu dan sistem dinamik yang menggunakan waktu diskrit disebut dengan sistem dinamik diskrit.

Perhatikan persamaan diferensial yang didefinisikan sebagai berikut:

̇ (1.1)

dengan adalah fungsi dari dan merupakan fungsi dari . Persamaan (1.1) disebut juga dengan persamaan diferensial skalar autonomous. Skalar karena pada dimensi satu dan autonomous sebab fungsi tidak bergantung pada (Hale & Kocak, 1991: 4).

Fungsi dikatakan solusi dari persamaan (1.1) pada interval jika

̇ ( ) untuk setiap . Solusi khusus dari persamaan (1.1) dengan nilai awal saat dapat dituliskan sebagai berikut:

̇ . (1.2) Persamaan (1.2) disebut dengan masalah nilai awal dan setiap solusinya disebut solusi yang melalui saat . Solusi persamaan (1.2) sering dinotasikan dengan atau . Jika merupakan fungsi , yaitu

(2)

fungsi yang turunan pertamanya kontinu, maka persamaan diferensial autonomous di atas dapat dipandang sebagai suatu sistem dinamik kontinu. Solusi dari sistem dinamik kontinu terkadang sulit untuk diperoleh, sehingga untuk mengetahui sifat solusi dari sistem tersebut dapat dianalisis melalui nilai-nilai eigen yang dimilikinya. Suatu titik ̅ disebut titik ekuilibrium atau titik kritis dari sistem (1.1) jika memenuhi ̅ (Hale & Kocak, 1991: 11). Titik ekuilibrium dikatakan stabil jika solusi dari sistem akan semakin mendekati titik ekuilibrium seiring dengan bertambahnya waktu dan sebaliknya akan tidak stabil jika solusi sistem akan menjauhi titik ekuilibrium seiring dengan bertambahnya waktu. Titik ekuilibrium dari suatu system ada yang rentan akan suatu gangguan. Hanya dengan sedikit saja gangguan, titik ekuilibrium dari sistem dapat berubah. Hal ini dapat mengakibatkan perubahan kestabilan titik ekuilibrium yaitu stabil menjadi tidak stabil atau sebaliknya. Keadaan seperti ini yang disebut dengan bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan keadaan dinamik dari suatu sistem seiring dengan perubahan nilai parameter (Roat, 2012: 28).

Sistem dinamik diskrit didefinisikan sebagai

(1.3) dengan dan adalah variabel waktu diskrit (Hunter, 2011: 13). Salah satu bagian dari sistem dinamik diskrit adalah scalar mapping. Disebut scalar mapping karena persamaan (1.3) merupakan persamaan beda berdimensi satu yang disebut juga dengan mapping f dan bernilai

(3)

skalar. Jika diberikan suatu nilai awal , maka dapat diperoleh dari hasil iterasi mapping terhadap . Setelah diperoleh, dapat diperoleh dari hasil iterasi mapping terhadap dan begitu seterusnya. Jadi diperoleh barisan bilangan riil sebagai berikut

merupakan barisan dari persamaan (1.4) yang diperoleh dari iterasi mapping . Pada sistem dinamik diskrit, titik kesetimbangan disebut dengan titik tetap dan dinotasikan dengan ̅. Titik ̅ disebut titik tetap dari jika memenuhi ̅ ̅ (Hale & Kocak, 1991: 72). Kestabilan dari titik tetap dapat dianalisa melalui barisan hasil iterasi dari mapping terhadap . Titik tetap akan stabil jika barisan hasil iterasi dari mapping terhadap semakin mendekati titik tetap dan sebaliknya akan tidak stabil jika barisan hasil iterasi dari mapping terhadap menjauhi titik tetap.

Seperti halnya pada sistem dinamik kontinu, scalar mapping juga mengalami bifurkasi. Bifurkasi yang terjadi pada sistem dinamik kontinu sudah banyak dianalisis. Oleh karena itu, pada tugas akhir ini akan dianalis

(4)

B. Batasan Masalah

Pembatasan ruang lingkup permasalahan yang perlu diperhatikan dalam tugas akhir ini yaitu:

1. scalar mapping yang dibahas adalah scalar mapping berdimensi satu dengan satu parameter dan scalar mapping berdimensi satu dengan dua parameter.

2. tidak membahas mengenai chaos.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, maka diperoleh rumusan masalah sebagai berikut:

1. Bagaimana kestabilan dari titik tetap pada scalar mapping?

2. Bifurkasi apa yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus monotone map?

3. Bifurkasi apa yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus logistic map?

D. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini yaitu:

1. Mengetahui kestabilan dari titik tetap pada scalar mapping.

2. Mengetahui bifurkasi yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus monotone map.

3. Mengetahui bifurkasi yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus logistic map.

(5)

E. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah memperkaya wawasan bagi penulis maupun pembaca mengenai dinamika yang terjadi pada scalar mapping, yaitu kestabilan dan juga bifurkasi yang terjadi pada scalar mapping.

(6)

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi, barisan, fungsi kontinu, persamaan diferensial, metode numerik, persamaan beda, dan teorema fungsi implisit.

Berikut akan dibahas tiap definisi dan teorema tersebut.

A. Fungsi Komposisi

Pada ilmu matematika sering kali kita jumpai suatu fungsi. Fungsi merupakan pemetaan setiap anggota himpunan ke anggota himpunan yang lain atau secara umum didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.1.1 (Goodaire & Parmenter, 1998: 63) Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B merupakan suatu relasi biner dari A ke B (himpunan bagian ) jika memenuhi untuk setiap pasti terdapat satu sedemikian sehingga . Fungsi disebut juga dengan pemetaan. Sebuah fungsi dari ke dapat dinotasikan sebagai

Notasi jika dihubungkan dengan . Himpunan disebut dengan daerah asal (domain) dari dan himpunan disebut daerah kawan (codomain) dari . Jika , maka dinamakan bayangan (image) dari dan dinamakan pra-bayangan (pra-image) dari

. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan disebut range dari (Munir, 2010: 129).

(7)

Suatu fungsi sering diberi nama dengan sebuah huruf tunggal seperti atau . Fungsi dibaca dari atau pada yang menunjukkan nilai yang diberikan oleh kepada .

Berikut diberikan contoh 2.1 dan contoh 2.2 mengenai fungsi.

Contoh 2.1 Andaikan { } { } dan

{ } maka merupakan fungsi dengan domain dan codomain .

Contoh 2.2 Fungsi merupakan fungsi dengan sebarang . Domain dari adalah dan range dari adalah himpunan bilangan positif { }.

Selanjutnya, akan dijelaskan mengenai definisi fungsi komposisi. Definisi 2.1.2 (Goodaire & Parmenter, 1998: 78) Jika dan

adalah fungsi, maka komposisi dari dan merupakan fungsi

yang didefinisikan sebagai ( ) untuk semua .

Ilustrasi dari definisi 2.1.1 diberikan melalui Gambar 1.

Gambar 1 Ilustrasi dari Fungsi Komposisi ( )

A B C

(8)

Berikut diberikan Contoh 2.3 dan Contoh 2.4 mengenai fungsi komposisi.

Contoh 2.3 Jika { }, { }, { } dan dan merupakan fungsi

{ }, { } maka

( ) ( )

( )

Jadi, { }.

Contoh 2.4 Jika dan adalah fungsi yang didefinisikan dengan

maka dapat didefinisikan dan sebagai berikut

( ) ( ) .

Jadi, dan .

Pada umumnya , namun terkadang dapat pula

seperti halnya Contoh 2.5.

Contoh 2.5 Jika dan adalah fungsi yang didefinisikan dengan

maka dapat didefinisikan dan sebagai berikut

(9)

( )

Jadi, .

B. Barisan

Suatu barisan dalam himpunan merupakan suatu fungsi yang daerah asalnya merupakan himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) dalam himpunan atau secara umum didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.2.1 (Bartle & Sherbert, 2000: 53) Barisan dari bilangan riil (barisan pada ) adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan

{ } dari bilangan asli dimana range termuat dalam himpunan dari bilangan riil.

Jika adalah barisan, nilai dari pada dinotasikan dengan . Nilai disebut dengan elemen dari barisan. Notasi dari barisan yaitu

atau . Berikut ini merupakan contoh dari suatu barisan.

Contoh 2.6 merupakan barisan bilangan genap dan dapat ditulis sebagai .

Contoh 2.7 Jika , maka merupakan barisan. Misalkan , maka diperoleh barisan

Berikutnya akan dibahas mengenai barisan konvergen, barisan yang terbatas dan barisan monoton.

(10)

1. Barisan Konvergen

Pada suatu barisan , seiring dengan semakin besarnya nilai dari akan mendekati ke suatu nilai , maka dapat dikatakan dengan konvergen ke Barisan konvergen secara formal didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.2.2 (Bartle & Sherbert, 2000: 54) Barisan pada kovergen ke atau merupakan limit dari , jika untuk setiap

terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk semua

, memenuhi | | .

Jika barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut konvergen dan sebaliknya jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan divergen. Bilangan dalam hal ini disebut sebagai limit barisan dan dinotasikan dengan

Terkadang dalam menyatakan suatu barisan konvergen digunakan simbol yang berarti akan mencapai, mendekati, atau menghampiri untuk .

Berikut diberikan contoh mengenai barisan konvergen. Contoh 2.8 Akan dibuktikan bahwa

Diberikan . Berdasarkan sifat Archimedes, ada sedemikian sehingga . Jika , maka

sehingga | _|

(11)

Jadi, barisan limit tersebut konvergen ke .

2. Barisan Terbatas

Barisan terbatas secara formal didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.2.3 (Bartle & Sherbert, 2000: 60) Barisan bilangan riil

dikatakan terbatas jika ada bilangan riil sedemikian sehingga | | untuk semua .

Barisan terbatas jika dan hanya jika himpunan terbatas pada . Berikutnya diberikan Teorema 2.1 mengenai barisan konvergen yang terbatas sebagai berikut.

Teorema 2.1 (Bartle & Sherbert, 2000: 60) Suatu barisan konvergen dari bilangan riil adalah terbatas.

Bukti :

Andaikan dan , maka ada bilangan asli sedemikian sehingga | | untuk semua . Berdasarkan pertidaksamaan segitiga dengan diperoleh

| | | | | | | | | |

Jika {| | | | | | | |} maka | | untuk semua . Hal ini menunjukkan bahwa terbatas.

Berikut akan diberikan contoh dari barisan konvergen yang terbatas.

(12)

Akan ditunjukkan bahwa . Diberikan , berdasarkan

sifat Archimedes, ada sedemikian sehingga . Jika ,

maka sehingga

|_|

Oleh karena itu, konvergen ke . Selanjutnya, akan ditunjukkan

bahwa terbatas. Pilih sedemikian sehingga .

Ada sedemikian sehingga | | untuk semua , maka barisan tersebut terbatas dengan 1. Jadi, merupakan barisan konvergen yang terbatas.

3. Barisan Monoton

Barisan monoton secara formal didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.2.4 (Bartle & Sherbert, 2000: 69) Misalkan merupakan barisan bilangan riil. Barisan dikatakan monoton naik jika memenuhi

Barisan dikatakan monoton turun jika memenuhi

Barisan dikatakan monoton jika monoton naik atau monoton turun. Berikut diberikan contoh mengenai barisan monoton.

Contoh 2.10 Barisan merupakan barisan monoton naik.

(13)

Contoh 2.11 Barisan merupakan barisan monoton turun.

Selanjutnya, diberikan Teorema 2.2 mengenai kekonvergenan monoton sebagai berikut.

Teorema 2.2 (Bartle & Sherbert, 2000: 69) Barisan monoton dari bilangan riil konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas. Selanjutnya,

1. jika adalah barisan monoton naik dan terbatas, maka

{ }

2. jika adalah barisan monoton turun dan terbatas, maka

{ }. Bukti :

Berdasarkan Teorema 2.1, barisan konvergen pasti terbatas. Sebaliknya, merupakan barisan monoton dan terbatas, maka merupakan barisan monoton naik atau monoton turun.

1. Akan dibuktikan jika terbatas, maka barisan monoton naik. Karena terbatas, ada bilangan riil sedemikian sehingga

untuk semua . Jadi { } terbatas. Supremum dari barisan tersebut adalah { }. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa .

Jika , maka bukan batas atas dari himpunan{

(14)

sehingga . Karena merupakan barisan monoton naik maka diperoleh untuk setiap , sehingga

untuk semua . Oleh karena itu, diperoleh

| |

untuk semua Karena sembarang maka konvergen ke atau .

2. Jika merupakan barisan monoton turun dan terbatas, maka jelas bahwa merupakan barisan monoton naik dan terbatas. Pada bagian pertama terlihat bahwa

{ } karena jika dan

{ }, maka diperoleh

{ } { }

Oleh karena itu, { } atau

{ }.

Berikut ini diberikan contoh dari barisan monoton riil yang konvergen sebagai berikut.

Contoh 2.12

√ .

Batas bawah dari himpunan

√ adalah .

Contoh 2.13 Akan diselidiki apakah barisan yang didefinisikan oleh

(15)

konvergen atau divergen.

Barisan merupakan barisan monoton naik sebab

, untuk setiap . Perhitungan secara numerik untuk barisan tersebut diberikan sebagai berikut:

, , , .

Terlihat bahwa kenaikan nilai dari barisan sangat lambat sehingga seolah-olah suku-suku barisan ini akan menuju bilangan tertentu dan menjadi konvergen. Selanjutnya, perhatikan suku-suku ke dengan

, yaitu . Untuk , maka . Untuk

. Untuk , maka

. Secara umum diperoleh barisan

₍_{) (} ) ₍_{) (} )

sebanyak suku

Jadi, selalu ada suku pada barisan ini yang lebih besar dari bilangan riil manapun sehingga barisan ini tidak terbatas dan disimpulkan bahwa barisan ini divergen.

(16)

C. Fungsi Kontinu

Secara formal, fungsi kontinu didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.3 (Bartle & Sherbert, 2000: 120) Misalkan , dan . Fungsi kontinu pada jika diberikan sebarang , ada

sedemikian sehingga jika adalah sembarang titik pada yang memenuhi | | , maka | | . Jika fungsi tidak kontinu pada , maka diskontinu pada .

Berikut diberikan contoh dari fungsi kontinu.

Contoh 2.14 {

Fungsi bernilai saat yaitu Kemudian, . Jadi, sehingga kontinu pada .

Contoh 2.15 diskontinu pada .

Jika untuk maka tidak didefinisakan untuk sehingga diskontinu pada .

Contoh 2.16 Perhatikan fungsi berikut ini

{

Fungsi bernilai untuk , yaitu . Sedangkan

. Jadi, sehingga diskontinu pada .

(17)

D. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan-persamaan yang memuat turunan-turunan (derivatif) dari satu atau lebih peubah (variabel) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas (Ross, 1984: 3). Sedangkan turunan dari suatu fungsi secara formal didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.4.1 (Bartle & Sherbert, 2000: 158) Misalkan , dan . Bilangan riil merupakan turunan pada jika diberikan sebarang ada sedemikian sehingga jika memenuhi

| | , maka

| |

Jadi, terdiferensial pada dan dituliskan dengan . Turunan dari pada dapat pula didefinisikan melalui limit sebagai berikut :

Notasi menyatakan berturut-turut adalah turunan

pertama, kedua, ketiga, …, turunan ke- . Selanjutnya diberikan Teorema

2.3 sebagai berikut.

Teorema 2.3 (Bartle & Sherbert, 2000: 159) Jika mempunyai turunan pada , maka kontinu pada .

Bukti :

Untuk semua , , sehingga diperoleh

(18)

Karena ada, maka

( )

Jadi,

sehingga kontinu pada .

Kebalikan dari Teorema 2.3 ini tidak benar. Jika fungsi kontinu di , maka bukan berarti mempunyai turunan di .

Himpunan semua fungsi kontinu dinotasikan dengan

dan himpunan semua fungsi diferensial dengan turunan pertama kontinu dinotasikan dengan Oleh karena itu, merupakan fungsi dengan turunan orde yang kontinu.

Berikut diberikan contoh mengenai turunan.

Contoh 2.17 Misalkan dengan , maka untuk sebarang pada diperoleh

Karena fungsi didefinisikan pada , maka untuk . Contoh 2.18 Misalkan | | dengan , maka untuk diperoleh

| |

sama dengan jika dan sama dengan untuk . Limit dititik tidak ada sehingga fungsi tersebut tidak terdiferensial pada . Oleh karena itu, kekontinuan pada titik bukan syarat cukup yang memenuhi turunan pada ada.

(19)

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai Chain Rule dan Teorema Nilai Rata-Rata sebagai berikut.

1. Chain Rule

Chain Rule merupakan teorema yang membahas mengenai turunan dari suatu fungsi komposisi. Namun, sebelum membahas mengenai Chain Rule akan dibahas dahulu Teorema 2.4 yaitu teorema Caratheodory yang akan digunakan dalam pembuktian Chain Rule. Teorema 2.4 Caratheodory (Bartle & Sherbert, 2000: 160) Fungsi

terdefinisi pada interval yang memuat titik sehingga terdiferensial pada jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi pada

yang kontinu pada dan memenuhi

untuk . (2.1) Pada kasus ini .

Bukti :

Akan dibuktikan jika terdiferensial pada maka terdapat fungsi pada yang kontinu pada dan memenuhi

untuk . Jika ada, maka didefinisikan dengan

{

Berdasarkan definisi fungsi , maka sehingga fungsi kontinu. Jika , maka kedua sisi pada persamaan (2.1)

(20)

sama dengan nol. Kemudian jika , maka dengan mengalikan

dengan diperoleh persamaan (2.1) untuk .

Jika kontinu pada pada dan memenuhi persamaan (2.1), maka terdiferensial pada .

Jika persamaan (2.1) dibagi dengan , maka kekontinuan dari mengimplikasikan bahwa

ada. Oleh karena itu, terdiferensial pada dan . Berikut diberikan contoh mengenai penggunaan Teorema 2.4.

Contoh 2.19 Fungsi didefinisikan dengan untuk semua

. Ada , maka

dengan sehingga memenuhi Teorema 2.4. Oleh karena itu, terdiferensial pada dan . Teorema 2.5 Chain Rule (Bartle & Sherbert, 2000: 162) Diberikan interval pada fungsi dan sedemikian sehingga Jika terdiferensial pada dan jika terdiferensial pada maka fungsi komposisi terdiferensial pada dan

( ) (2.2) Bukti :

(21)

Karena ada, menurut Teorema 2.4 terdapat fungsi pada sedemikian sehingga kontinu pada dan

untuk dimana . Karena ( ) ada, terdapat suatu fungsi pada sedemikian sehingga kontinu pada

dan untuk , dimana

. Subsitusikan dan , maka diperoleh

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ]

( ) ( )

[( ) ]

untuk semua sedemikian sehingga . Karena fungsi

kontinu pada dan nilai pada yaitu ( ) sehingga dengan menggunakan Teorema 2.4 diperoleh persamaan (2.2). Berikut diberikan contoh dari Teorema 2.5 (Chain Rule).

Contoh 2.20 Jika terdiferensial pada dan untuk setiap dan , maka . Berdasarkan Teorema 2.5, diperoleh bahwa

( )

untuk semua . Oleh karena itu, ( ) untuk semua .

(22)

2. Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema nilai rata-rata merupakan teorema yang menghubungkan suatu fungsi dengan nilai turunannya (derivatif). Sebelum membahas mengenai teorema tersebut, terlebih dahulu akan diberikan pengertian maksimum dan minimum relatif suatu fungsi.

Definisi 2.4.2 (Bartle & Sherbert, 2000: 168) Fungsi mempunyai nilai maksimum relatif di titik jika terdapat persekitaran dari titik dengan radius , yaitu sehingga

untuk setiap . Sedangkan, fungsi mempunyai nilai minimum relatif di titik jika terdapat persekitaran dari titik dengan radius , yaitu sehingga

untuk setiap . Jika fungsi mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik , maka fungsi dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif di titik .

Selanjutnya, suatu proses untuk menemukan titik dimana fungsi mempunyai nilai ekstrem relatif yaitu dengan mencari nilai derivatif fungsi di suatu titik di dalam domainnya agar sama dengan nol. Namun, cara tersebut hanya dapat diaplikasikan pada titik-titik interior dari suatu interval, perhatikan Contoh 2.21.

Contoh 2.21 Diberikan fungsi pada interval . Titik

merupakan satu-satunya titik dimana mencapai nilai minimum relatif dan merupakan satu-satunya titik dimana mencapai

(23)

nilai maksimum relatif. Akan tetapi, tidak satupun ditemukan nilai nol dari turunan .

Sebelum diberikan Teorema 2.6, perlu diketahui pengertian dari titik interior suatu himpunan tak kosong.

Definisi 2.4.3 (Chatterjee, 2012: 39) Diberikan , titik disebut titik interior himpunan jika terdapat persekitaran dengan radius , yaitu . Kumpulan semua titik interior himpunan disebut interior himpunan dan dinotasikan dengan . Teorema 2.6 Teorema Ekstremum Interior (Bartle & Sherbert, 2000: 168) Diberikan titik interior interval dan fungsi

mempunyai nilai ekstrem relatif. Jika fungsi mempunyai turunan di titik , maka .

Bukti :

Akan dibuktikan untuk kasus mempunyai nilai maksimum relatif. Misalkan maksimum relatif. Andaikan , maka

atau .

a. Jika , maka ada suatu persekitaran sedemikian sehingga

dan .

Jika dan , maka , sehingga diperoleh

(24)

Hal ini kontradiksi dengan sebagai nilai maksimum relatif. b. Jika , maka ada suatu persekitaran sedemikian

sehingga

dan .

Jika dan , maka , sehingga diperoleh

Hal ini kontradiksi dengan sebagai nilai maksimum relatif. Berdasarkan pembuktian (a) dan (b) di atas, maka terbukti bahwa

Akibat 2.1 (Bartle & Sherbert, 2000: 168) Diberikan fungsi kontinu pada dan andaikan mempunyai nilai ektremum relatif pada titik interior pada , maka turunan fungsi di titik tidak ada atau .

Berikut diberikan contoh kasus dari Akibat 2.1.

Contoh 2.22 Jika | | pada , maka mempunyai interior minimum pada , tetapi tidak ada.

Teorema 2.7 Teorema Rolle (Bartle & Sherbert, 2000: 168) Andaikan kontinu pada interval tertutup . ada pada setiap titik dari interval terbuka dan , maka

(25)

terdapat paling sedikit satu titik pada sedemikian sehingga

. Bukti :

Jika sama dengan nol ( fungsi nol), maka sembarang pada akan memenuhi teorema tersebut. Oleh karena itu, andaikan tidak sama dengan nol, substitusi dengan – dan andaikan memiliki nilai positif. Berdasarkan teorema maksimum dan minimum (jika ada interval tertutup dan kontinu pada maka memiliki absolute minimum dan absolute maksimum pada ) fungsi mencapai nilai { } dititik pada . Karena

, titik pasti pada sehingga ada. mempunyai relatif maksimum pada , maka menurut Teorema 2.7 . Ilustrasi dari Teorema 2.7 diberikan melalui Gambar 2.

Teorema 2.8 Teorema Nilai Rata-Rata (Bartle & Sherbert, 2000: 169) Andaikan kontinu pada interval tertutup dan mempunyai turunan pertama pada interval terbuka , maka

b c

(26)

Gambar 3 Ilustrasi dari Teorema 2.8 Bukti:

Fungsi pada didefinisikan sebagai berikut :

Berdasarkan Teorema 2.7, kontinu pada , terdiferensial pada

, dan . Oleh karena itu, ada titik pada sedemikian sehingga

Jadi, .

Berikut diberikan contoh mengenai Teorema 2.8. Contoh 2.23 Akan dibuktikan bahwa , .

(27)

Fungsi kontinu dan terdiferensial pada , maka Teorema 2.8 dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Terdapat tiga kemungkinan dari nilai , yaitu

1. Jika , maka benar .

2. Jika , dengan menggunakan Teorema 2.8 pada interval terdapat sehingga

Karena , maka sehingga diperoleh ,

3. Jika , dengan menggunakan Teorema 2.8 pada interval terdapat sehingga

Karena , maka dan karena – , maka

sehingga diperoleh , .

(28)

E. Metode Numerik

Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan (arithmetic) biasa (Munir, 2013: 5). Solusi yang diperoleh dengan menggunakan metode numerik merupakan solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik disebut dengan solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan. Solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang diinginkan. Solusi hampiran tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih ini disebut dengan galat (error).

Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yaitu dengan menghitung nilai fungsi dengan merupakan ukuran langkah (step size) setiap iterasi. Nilai awal berfungsi untuk memulai iterasi. Salah satu hal penting dari metode numerik adalah deret Taylor. Deret Taylor digunakan sebagai dasar dari pengembangan metode-metode yang ada dalam metode numerik. Oleh karena itu, akan dijelaskan mengenai deret Taylor sebagai berikut.

Definisi 2.5.1 (Rinaldi Munir, 2013: 18) Andaikan dan semua turunannya, , pada selang . Misalkan , maka untuk nilai-nilai disekitar (lihat Gambar 4) dan , dapat diekspansi ke dalam deret Taylor:

(29)

Persamaan (2.3) merupakan penjumlahan dari suku-suku yang disebut dengan deret. Misalkan , maka persamaan (2.3) menjadi

(2.4)

Berikut diberikan contoh mengenai deret Taylor.

Contoh 2.24 Hampiran dari fungsi ke dalam deret Taylor di sekitar ditunjukkan sebagai berikut:

Turunan-turunan dari fungsi terhadap , yaitu

_, ,

Berdasarkan persamaan (2.3) dan , maka diperoleh deret Taylor sebagai berikut

(30)

Metode numerik juga dapat digunakan untuk mencari solusi dari persamaan . Proses pencarian solusi tersebut atau biasanya mencari nilai akar dilakukan dengan cara iterasi. Untuk mendapatkan solusi diperlukan tebakan (guest) awal akar, lalu dengan menggunakan prosedur iterasi akan diperoleh hampiran akar yang baru. Pada setiap kali iterasi, hampiran akar yang lama digunakan untuk menghitung hampiran akar yang baru. Hampiran akar yang baru mungkin dapat mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Banyak sekali metode pencarian akar yang ada, misalnya saja metode Euler dan metode Newton Rhapson. Berikut ini diberikan penjelasan mengenai metode Euler dan metode Newton-Rhapson.

1. Metode Euler

Diberikan persamaan diferensial,

dan nilai awal .

Misalkan adalah hampiran nilai pada yang dihitung dengan metode Euler. Dalam hal ini

Metode Euler diturunkan dengan cara menguraikan di sekitar ke dalam deret Taylor :

(31)

Bila persamaan (2.5) dipotong sampai suku orde tiga, maka diperoleh

(2.6)

dengan Berdasarkan persamanan bentuk baku persamaam diferensial orde satu maka

dan

–

maka persamaan (2.6) dapat ditulis menjadi

(2.7) Dua suku pertama persamaan (2.7) yaitu:

(2.8) atau dapat ditulis

(2.9) yang merupakan metode Euler.

2. Metode Titik Tetap

Metode titik tetap merupakan salah satu metode dalam metode numerik yang digunakan untuk mencari suatu hampiran akar persamaan. Misalkan

(2.10) dapat dituliskan dalam bentuk

(32)

Penyelesaian dari persamaan (2.11) disebut dengan titik tetap . Misalkan dipilih sebarang , maka hasil iterasi hampiran titik tetap fungsi adalah sebagai berikut

(2.12) dengan . Barisan hasil iterasi dari persamaan (2.11) adalah yang mungkin konvergen ke suatu akar dari

sehingga memenuhi persamaan (2.10). Persamaan (2.11) merupakan bentuk lain untuk sehingga merupakan pembuat nol dari fungsi . Secara formal hal ini dinyatakan sebagai berikut.

Lemma 2.1 (Sahid, 2005: 144) Misalkan adalah fungsi kontinu dan misalkan barisan dihasilkan dengan iterasi . Jika

, maka merupakan titik tetap fungsi .

Bukti:

Jika , maka . Fungsi merupakan fungsi kontinu, maka

Jadi, terbukti bahwa dan merupakan titik tetap .

Berikut akan diberikan Lemma 2.2 mengenai keberadaan akar dan ketunggalan dari suatu titik tetap dari persamaan (2.10).

Lemma 2.2 (Sahid, 2005: 146) Misalkan adalah fungsi kontinu pada interval .

(33)

1. Jika memenuhi untuk semua , maka persamaan (2.10) memiliki sedikitnya sebuah penyelesaian dalam

2. Jika terdefinisi pada dan jika | | untuk semua , maka memiliki titik tetap tunggal pada .

Bukti:

1. Akan dibuktikan jika memenuhi untuk semua

maka persamaan (2.10) memiliki sedikitnya sebuah penyelesaian dalam . Fungsi didefinisikan sebagai berikut . Fungsi kontinu pada , maka fungsi juga kontinu pada interval tersebut. Selanjutnya,

, karena dan . Fungsi merupakan fungsi kontinu, dan , maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat titik sedemikian sehigga . Jadi, merupakan titik tetap .

2. Selanjutnya, akan dibuktikkan Jika terdefinisi pada dan jika | | untuk semua , maka memiliki titik tetap tunggal pada . Andaikan terdapat dua titik tetap, misalkan dan yang memenuhi dan . Fungsi kontinu pada interval dan mempunyai pada

, maka menurut Teorema 2.8 terdapat titik dengan sedemikian sehingga

(34)

Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa | | untuk semua . Jadi pengandaian harus diingkar sehingga hanya ada tepat sebuah titik tetap .

Gambar 5 Keberadaan Akar persamaan .

Gambar 5 menunjukkan keberadaan penyelesaian yaitu titik potong antara garis dan .

Selanjutnya diberikan Teorema 2.9 mengenai syarat cukup dari kekonvergenan metode titik tetap.

Teorema 2.9 (Sahid, 2005: 148) Misalkan metode titik tetap digunakan untuk menghitung hampiran-hampiran titik tetap

(35)

. Misalkan interval memuat titik tetap dan hampiran awal titik tetap . Apabila terdapat bilangan sedemikian sehingga

| | untuk semua , Maka barisan hampiran titik-titik tetap konvergen ke . Bukti:

Misalkan . Oleh karena merupakan titik tetap, maka memenuhi

. Apabila dikurangi dengan , maka berdasarkan persamaan (2.13) diperoleh

Menurut Teorema 2.8 terdapat bilangan sedemikian hingga

sehingga

Oleh karena , maka . Akibatnya, mengingat hipotesis

| | untuk semua , maka

| | | | | |

Hal ini berarti lebih dekat ke ( , karena dan titik tengah titik tengah ) daripada . Oleh karena hampiran awal

, maka semua hampiran berikutnya juga termuat di dalam interval , serta

(36)

| | | | | | | |

Oleh karena , maka | | Jadi, konvergen ke .

Metode titik tetap ini digunakan sebagai dasar pada titik kesetimbangan dari scalar mapping dan disebut dengan titik tetap.

F. Persamaan Beda

Diketahui himpunan diskrit dari titik . Jarak antara dua titik berurutan yaitu dan disebut dengan step size. Step size bernilai konstan. Dengan menggunakan metode Euler, jika dan mensubstitusi ̇ dengan maka persamaan diferensial ̇

menjadi persamaan beda sebagai berikut:

(2.13) (Kocak, 1991: 68). Jika diberikan suatu nilai awal , maka nilai perkiraan

dapat diperoleh.

Contoh 2.25 Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut:

̇ (2.14) dengan merupakan parameter positif. Untuk memperkirakan solusi dari persamaan (2.14) dapat menggunakan metode Euler dengan sehingga diperoleh:

(37)

;

( ) (2.15)

Jika sangat kecil, dan juga sangat kecil maka untuk sembarang nilai awal pada interval solusi dari persamaan (2.15) konvergen monoton ke 1 untuk .

G. Teorema Fungsi Implisit

Pada teori bifurkasi, teorema fungsi implisit sangat dibutuhkan. Teorema ini digunakan untuk mempelajari titik ekuilibrium maupun titik tetap. Oleh karena itu diberikan teorema fungsi implisit sebagai berikut. Teorema 2.10 Teorema Fungsi Implisit (Hale & Kocak, 1991: 41) Andaikan ; merupakan fungsi yang memenuhi

dan

maka, ada konstanta , dan fungsi

{ ‖ ‖ }

sedemikian sehingga

(38)

Selain itu, jika ada sedemikian sehingga ‖ ‖ dan

(39)

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R. G dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis. 3th. USA: John Wiley and Sons.

Chatterjee, Dipak. 2012. Real Analysis 2th Editon. New Delhi: PHI Learning Private Limited.

Faye, Gregory. 2012. Dynamical Systems and Chaos. USA : School of Mathematics, University of Minnesota.

Goodaire, Edgar G. dan M. M. Parmenter. 1998. Discrete Mathematics with Graph Theory. USA: Prentice Hall.

Hale, Jack K. dan Huseyin Kocak. 1991. Dynamics and Bifurcations. NewYork : Springer-Verlag.

Hunter, John K. 2011. Introduction to Dynamical Systems. Davis : Department of Mathematics, University of California.

Kulenovic, Mustafa R.S dan Orlando Merino. 2002. Discrete Dynamical Systems and Difference Equations with Mathematica. USA : Chapman & Hall/CRC.

Kuznetsov, Yuri A. 1998. Elements of Applied Bifurcation Theory, Second Edition. NewYork : Springer-Verlag.

Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika Bandung. ____________. 2013. Metode Numerik. Bandung : Informatika Bandung.

Roat, Mas. 2012. Bifurkasi Hopf pada Sistem Predator Prey dengan Fungsi Respon Tipe II. Skripsi. Universitas Negeri Yogyakarta.

(40)

Ross, Shepley L. 1984. Differential Equations 3th Edition. New Delhi : John Wiley & Sons, Inc.

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Yogyakarta: C.V. Andi Offset (Penerbit Andi).

Tuwankotta, Johan Matheus. 2008. Lecture Notes : Discrete Dynamical System and Chaos. Bandung : Departemen Matematika, FMIPA, ITB.

(1)

. Misalkan interval memuat titik tetap dan hampiran awal titik tetap . Apabila terdapat bilangan sedemikian sehingga

| | untuk semua , Maka barisan hampiran titik-titik tetap konvergen ke .

Bukti:

Misalkan . Oleh karena merupakan titik tetap, maka memenuhi . Apabila dikurangi dengan , maka berdasarkan persamaan (2.13) diperoleh

Menurut Teorema 2.8 terdapat bilangan sedemikian hingga

sehingga

Oleh karena , maka . Akibatnya, mengingat hipotesis | | untuk semua , maka

| | | | | |

Hal ini berarti lebih dekat ke ( , karena dan titik tengah titik tengah ) daripada . Oleh karena hampiran awal

, maka semua hampiran berikutnya juga termuat di dalam interval , serta

(2)

Metode titik tetap ini digunakan sebagai dasar pada titik kesetimbangan dari scalar mapping dan disebut dengan titik tetap.

F. Persamaan Beda

(2.13) (Kocak, 1991: 68). Jika diberikan suatu nilai awal , maka nilai perkiraan dapat diperoleh.

Contoh 2.25 Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut:

̇ (2.14) dengan merupakan parameter positif. Untuk memperkirakan solusi dari persamaan (2.14) dapat menggunakan metode Euler dengan sehingga diperoleh:

(3)

;

( ) (2.15) Jika sangat kecil, dan juga sangat kecil maka untuk sembarang nilai awal pada interval solusi dari persamaan (2.15) konvergen monoton ke 1 untuk .

G. Teorema Fungsi Implisit

Teorema 2.10 Teorema Fungsi Implisit (Hale & Kocak, 1991: 41)

Andaikan ; merupakan fungsi yang memenuhi

dan

. maka, ada konstanta , dan fungsi

{ ‖ ‖ }

sedemikian sehingga

(4)

Selain itu, jika ada sedemikian sehingga ‖ ‖ dan | | , dan memenuhi persamaan , maka .