Teorema Nilai Rata-Rata Persamaan Diferensial

22

2. Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema nilai rata-rata merupakan teorema yang menghubungkan suatu fungsi dengan nilai turunannya derivatif. Sebelum membahas mengenai teorema tersebut, terlebih dahulu akan diberikan pengertian maksimum dan minimum relatif suatu fungsi. Definisi 2.4.2 Bartle Sherbert, 2000: 168 Fungsi mempunyai nilai maksimum relatif di titik jika terdapat persekitaran dari titik dengan radius , yaitu sehingga untuk setiap . Sedangkan, fungsi mempunyai nilai minimum relatif di titik jika terdapat persekitaran dari titik dengan radius , yaitu sehingga untuk setiap . Jika fungsi mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik , maka fungsi dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif di titik . Selanjutnya, suatu proses untuk menemukan titik dimana fungsi mempunyai nilai ekstrem relatif yaitu dengan mencari nilai derivatif fungsi di suatu titik di dalam domainnya agar sama dengan nol. Namun, cara tersebut hanya dapat diaplikasikan pada titik-titik interior dari suatu interval, perhatikan Contoh 2.21. Contoh 2.21 Diberikan fungsi pada interval . Titik merupakan satu-satunya titik dimana mencapai nilai minimum relatif dan merupakan satu-satunya titik dimana mencapai 23 nilai maksimum relatif. Akan tetapi, tidak satupun ditemukan nilai nol dari turunan . Sebelum diberikan Teorema 2.6, perlu diketahui pengertian dari titik interior suatu himpunan tak kosong. Definisi 2.4.3 Chatterjee, 2012: 39 Diberikan , titik disebut titik interior himpunan jika terdapat persekitaran dengan radius , yaitu . Kumpulan semua titik interior himpunan disebut interior himpunan dan dinotasikan dengan . Teorema 2.6 Teorema Ekstremum Interior Bartle Sherbert, 2000: 168 Diberikan titik interior interval dan fungsi mempunyai nilai ekstrem relatif. Jika fungsi mempunyai turunan di titik , maka . Bukti : Akan dibuktikan untuk kasus mempunyai nilai maksimum relatif. Misalkan maksimum relatif. Andaikan , maka atau . a. Jika , maka ada suatu persekitaran sedemikian sehingga dan . Jika dan , maka , sehingga diperoleh 24 . Hal ini kontradiksi dengan sebagai nilai maksimum relatif. b. Jika , maka ada suatu persekitaran sedemikian sehingga dan . Jika dan , maka , sehingga diperoleh . Hal ini kontradiksi dengan sebagai nilai maksimum relatif. Berdasarkan pembuktian a dan b di atas, maka terbukti bahwa . Akibat 2.1 Bartle Sherbert, 2000: 168 Diberikan fungsi kontinu pada dan andaikan mempunyai nilai ektremum relatif pada titik interior pada , maka turunan fungsi di titik tidak ada atau . Berikut diberikan contoh kasus dari Akibat 2.1. Contoh 2.22 Jika | | pada , maka mempunyai interior minimum pada , tetapi tidak ada. Teorema 2.7 Teorema Rolle Bartle Sherbert, 2000: 168 Andaikan kontinu pada interval tertutup . ada pada setiap titik dari interval terbuka dan , maka 25 terdapat paling sedikit satu titik pada sedemikian sehingga . Bukti : Jika sama dengan nol fungsi nol, maka sembarang pada akan memenuhi teorema tersebut. Oleh karena itu, andaikan tidak sama dengan nol, substitusi dengan – dan andaikan memiliki nilai positif. Berdasarkan teorema maksimum dan minimum jika ada interval tertutup dan kontinu pada maka memiliki absolute minimum dan absolute maksimum pada fungsi mencapai nilai { } dititik pada . Karena , titik pasti pada sehingga ada. mempunyai relatif maksimum pada , maka menurut Teorema 2.7 . Ilustrasi dari Teorema 2.7 diberikan melalui Gambar 2. Teorema 2.8 Teorema Nilai Rata-Rata Bartle Sherbert, 2000: 169 Andaikan kontinu pada interval tertutup dan mempunyai turunan pertama pada interval terbuka , maka terdapat minimal satu titik pada sedemikian sehingga a b c Gambar 2 Ilustasi dari Teorema 2.7. 26 Gambar 3 Ilustrasi dari Teorema 2.8 Bukti: Fungsi pada didefinisikan sebagai berikut : Berdasarkan Teorema 2.7, kontinu pada , terdiferensial pada , dan . Oleh karena itu, ada titik pada sedemikian sehingga Jadi, . Berikut diberikan contoh mengenai Teorema 2.8. Contoh 2.23 Akan dibuktikan bahwa , . 27 Fungsi kontinu dan terdiferensial pada , maka Teorema 2.8 dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Terdapat tiga kemungkinan dari nilai , yaitu 1. Jika , maka benar . 2. Jika , dengan menggunakan Teorema 2.8 pada interval terdapat sehingga Karena , maka sehingga diperoleh , . 3. Jika , dengan menggunakan Teorema 2.8 pada interval terdapat sehingga Karena , maka dan karena – , maka sehingga diperoleh , . Berdasarkan hal di atas, maka terbukti bahwa . 28

E. Metode Numerik