4
B. Batasan Masalah
Pembatasan ruang lingkup permasalahan yang perlu diperhatikan dalam tugas akhir ini yaitu:
1. scalar mapping yang dibahas adalah scalar mapping berdimensi satu
dengan satu parameter dan scalar mapping berdimensi satu dengan dua parameter.
2. tidak membahas mengenai chaos.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, maka diperoleh rumusan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana kestabilan dari titik tetap pada scalar mapping?
2. Bifurkasi apa yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus
monotone map? 3.
Bifurkasi apa yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus logistic map?
D. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini yaitu:
1. Mengetahui kestabilan dari titik tetap pada scalar mapping.
2. Mengetahui bifurkasi yang dapat muncul pada scalar mapping untuk
kasus monotone map. 3.
Mengetahui bifurkasi yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus logistic map.
5
E. Manfaat Penulisan
Adapun manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah memperkaya wawasan bagi penulis maupun pembaca mengenai
dinamika yang terjadi pada scalar mapping, yaitu kestabilan dan juga
bifurkasi yang terjadi pada scalar mapping.
6
BAB II LANDASAN TEORI
Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III
nanti, diantaranya: fungsi komposisi, barisan, fungsi kontinu, persamaan diferensial, metode numerik, persamaan beda, dan teorema fungsi implisit.
Berikut akan dibahas tiap definisi dan teorema tersebut.
A. Fungsi Komposisi
Pada ilmu matematika sering kali kita jumpai suatu fungsi. Fungsi merupakan pemetaan setiap anggota himpunan ke anggota himpunan yang
lain atau secara umum didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.1 Goodaire Parmenter, 1998: 63 Suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B merupakan suatu relasi biner dari A ke B
himpunan bagian jika memenuhi untuk setiap pasti
terdapat satu sedemikian sehingga . Fungsi disebut juga
dengan pemetaan. Sebuah fungsi dari ke dapat dinotasikan sebagai
. Notasi
jika dihubungkan dengan . Himpunan disebut dengan daerah asal domain dari
dan himpunan disebut daerah kawan codomain dari
. Jika , maka dinamakan bayangan image dari
dan dinamakan pra-bayangan pra-image dari . Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan disebut range dari
Munir, 2010: 129.
7
Suatu fungsi sering diberi nama dengan sebuah huruf tunggal seperti atau
. Fungsi dibaca dari atau pada yang menunjukkan nilai yang diberikan oleh
kepada . Berikut diberikan contoh 2.1 dan contoh 2.2 mengenai fungsi.
Contoh 2.1
Andaikan { }
{ } dan { } maka merupakan fungsi dengan
domain dan codomain .
Contoh 2.2 Fungsi merupakan fungsi
dengan sebarang
. Domain dari adalah dan range dari adalah himpunan bilangan
positif { }. Selanjutnya, akan dijelaskan mengenai definisi fungsi komposisi.
Definisi 2.1.2 Goodaire Parmenter, 1998: 78 Jika
dan adalah fungsi, maka komposisi dari dan merupakan fungsi
yang didefinisikan sebagai untuk semua
. Ilustrasi dari definisi 2.1.1 diberikan melalui Gambar 1.
Gambar 1 Ilustrasi dari Fungsi Komposisi
A B
C
8
Berikut diberikan Contoh 2.3 dan Contoh 2.4 mengenai fungsi komposisi.
Contoh 2.3 Jika
{ }, { }, { } dan dan
merupakan fungsi { }, { }
maka
Jadi, { }.
Contoh 2.4 Jika
dan adalah fungsi yang didefinisikan dengan
maka dapat didefinisikan dan sebagai berikut
. Jadi,
dan .
Pada umumnya , namun terkadang dapat pula
seperti halnya Contoh 2.5.
Contoh 2.5 Jika
dan adalah fungsi yang didefinisikan dengan
maka dapat didefinisikan dan sebagai berikut
9
Jadi, .
B. Barisan
Kategori