b. Asosiatif pengelompokan Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku :
Contoh : 1. 2 + 1 + 7 = 2 + 1 + 7
3 + 7 = 2 + 8 10 = 10 terbukti
2. 9 + 2 + 4 = 9 + 2 + 4 11 + 4 = 9 + 6
15 = 15 terbukti c. Identitas penjumlahan
Untuk sembarang bilangan bulat a berlaku :
Contoh : 1 7 + 0 = 0 + 7 = 7 2 10 + 0 = 0 + 10 = 10
d. Invers penjumlahan Untuk sembarang bilangan bulat a berlaku :
Contoh :1 6 + -6 = -6 + 6 = 0 2 20 + -20 = -20 + 20 = 0
2. Pengurangan
Seperti halnya operasi penjumlahan pada bilangan bulat, operasi pengurangan pada bilangan bulat dapat dilakukan dengan peraga garis
bilangan, mistar, dan bola bermuatan. Untuk sembarang bilangan bulat a dan b berlaku : a – b = a + -b dengan b dan -b saling berlawanan.
Contoh : a. 7 – 6 = 7 + -6 = 1
-4 -3
-2 -1
3 2
1 5
4 5
8 -3
5
1 2
3 4
5 6
7 8
9 7
6 1
a + b + c = a + b + c dengan a, b, c ∈ B
a + 0 = 0 + a = a
a + -a = -a + a = 0
b. 8 – 15 = 8 + -15 = -7
c. -8 – 4 = -8 + -4 = -12
d. -8 – -4 = -8 + 4 = -4
Pengurangan bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat, berarti operasi pengurangan pada bilangan bulat bersifat tertutup.
3. Perkalian
Perhatikan perkalian berikut 3 x 9 = 9 + 9 + 9 = 27 artinya angka 9 ada 3 buah
2 x 5 = 5 + 5 = 10 artinya angka 5 ada 2 buah 4 x -5 = -5 + -5 + -5 + -5 = -20 artinya angak -5 ada 4 buah
-7 -6 -4
-5 -3
2 1
-1 3
4 6
7 5
-2 8
8 15
-7
-12 -4
--10 -9 \-4
-5 -6
-7 -3 -2
-1 -8
-11 -8
-4 -12
-12 -4
--10 -9 \-4
-5 -6
-7 -3 -2
-1 -8
-11 -8
4 -4
Jika perkalian dua bilangan bulat negatif, misal -2 x -9 = ...., maka kita dapat mengingat bahwa perkalian antara dua bilangan negatif
menghasilkan bilangan positif sehingga hasil -2 x -9 = 18. Berdasarkan contoh perkalian tersebut, dapat disimpulkan bahwa
hasil perkalian antarbilangan bulat adalah sebagai berikut : a. Perkalian dua bilangan bulat dengan tanda sama adalah bilangan bulat
positif. b. Perkalian dua bilangan bulat dengan tanda berbeda adalah bilangan
bulat negatif. c. Perkalian sembarang bilangan bulat dengan nol adalah nol.
Sifat operasi perkalian : a. Komutatif
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b berlaku :
Contoh : 1 4 x 5 = 5 x 4 = 20
2 -6 x 3 = 3 x -6 = 18 b. Asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku :
Contoh : 1 2 x 4 x 3 = 2 x 4 x 3
2 -4 x 5 x 6 = -4 x 5 x 6 8 x 3 = 2 x 12
-20 x 6 = -4 x 30 24 = 24 terbukti
-120 = -120 terbukti
c. Distributif Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku :
a x b = b x a -a x b = b x -a
a x b x c = a x b x c
a x b + c = a x b + a x c a x b - c = a x b - a x c
Contoh : 1 3 x 5 + 6 = 3 x 5 + 3 x 6
3 x 11 = 15 + 18 33 = 33 terbukti
2 2 x 9 – 5 = 2 x 9 – 2 x 5 2 x 4 = 18 – 10
8 = 8 terbukti d. Tertutup
Jika a dan b adalah sembarang bilangan bulat, maka a x b juga bilangan bulat.
Contoh : 1 Bilangan 5 dan bilangan 2 adalah bilangan bulat, maka :
5 + 2 = 2 + 5 = 7 Bilangan 7 adalah bilangan bulat juga.
2 Bilangan -9 dan bilangan 5 adalah bilangan bulat, maka : -9 x 5 = 5 x -9 = -45
Bilangan -45 adalah bilangan bulat juga. e. Identitas perkalian
Untuk sembarang bilangan bulat a berlaku : Maka 1 disebut sebagai unsur identitas perkalian.
Contoh : 1 5 x 1 = 1 x 5 = 5
2 100 x 1 = 1 x 100 = 100
4. Pembagian
