�̂ t = , t
≥ 0 �
�
= ����� ���� �������� ����� masih bertahan pada �
�
1 ≤ � ≤ �
�
�
= menyatakan jumlah objek yang lulus pada �
�
2.3 Uji Log Rank
Pada statistika, uji log-ran k uji mantel-cox adalah sebuah uji hipotesis untuk membandingkan fungsi survival diantara dua kelompok. Uji ini merupakan uji
statistik nonparametrik dan sesuai digunakan ketika data tidak simetris yaitu data miring ke kanan. Uji log-rank diperluas untuk analisis stratifikasi, sebagai
contoh, pengaruh variabel prognostik yang patut dperhitungkan, dan untuk membandingkan tiga grup atau lebih Machin et. al, 2006.
Menurut Armitage dan Berry 1987 langkah pengerjaan uji ini ialah menyusun waktu survival, mengurutkan kedua grup yang diobservasi. Misalkan ada dua
grup A dan B, jika �
�
menyatakan waktu ada �
�
objek yang mengalami peristiwa misalnya kelulusan dan
�
�
, �
�
masing-masing menyatakan jumlah objek yang memiliki resiko namun masih bertahan dari grup A dan B, maka ekspektasi
banyaknya objek yang mengalami peristiwa ialah: ��
��
= �
��
�
�
�
�
����
��
= �
�
�
�
− �
�
�
�
�
�
�
� 2
�
�
− 1 Uji statistik untuk kesamaan rata-rata peristiwa misalnya kelulusan dari kedua
grup ialah dengan: �
2 2
= ∑ �
��
− ∑ ��
�� 2
∑ ��
��
+ ∑ �
��
− ∑ ��
�� 2
∑ ��
��
2.4 Cox Proportional Hazard
Fungsi survival dan fungsi hazard merupakan analisis yang digunakan untuk melihat perbedaan 2 kelompok atau lebih. Namun apabila variabel-variabel
kovariat yang ingin dikontrol atau bila menggunakan beberapa variabel penjelas dalam menjelaskan hubungan antara waktu survival maka regresi cox lah yang
digunakan. Jadi regresi cox merupakan model yang menggambarkan hubungan antara waktu survival sebagai variabel dependen dengan 1 set variabel
independen. Variabel independen ini bias kontinu maupun kategorik.
Cox proportional hazard merupakan pemodelan yang digunakan dalam analisis survival yang merupakan model semiparametrik. Regresi cox
proportional hazard digunakan bila outcome yang diamati adalah panjang waktu suatu kejadian. Pada mulanya pemodelan ini digunakan pada cabang statistika
khususnya biostatistika yaitu digunakan untuk menganalisis kematian atau harapan hidup seseorang. Namun seiring perkembangan zaman pemodelan ini
banyak dimanfaatkan di berbagai bidang. Diantaranya bidang akademik, kedokteran, sosial, science, teknik, pertanian dan sebagainya.
Menurut Machin et. al 2006 dengan menotasikan rata-rata fungsi hazard ℎ
�, kita dapat menentukan hazard resiko objek tertentu
ℎ�, dengan:
ℎ� = ��ℎ �
2.9
Dimana �� adalah fungsi yang mungkin berubah sesuai dengan waktu t.
Kemudian persamaan di atas dapat ditulis sebagai rasio dari hazard objek tertentu atau dikatakan sebagai hazard relative, yaitu:
�� =
ℎ� ℎ
�
2.10
Ketika �� tidak berubah maka ℎ� = ℎ, dimana h adalah konstanta.
Formula model Cox merupakan perkalian dari dua besaran yaitu fungsi baseline hazard dan bentuk eksponensial untuk penjumlahan linier dari βiXi ,yaitu
penjumlahan dari p variabel independent X Kleinbaum dan Klein, 2005. ℎ
t × �
∑ �
� �� �
�=1
baselin hazard Eksponensial
melibatkan t melibatkan x
tetapi tidak x tetapi tidak t
Pada model regresi umum, fungsi hazard tergantung pada t dan kovariat dependen
�
1
�, �
2
�, … , �
�
�. Dan pada model cox proportional hazard sederhana, dimana kovariat
�
1
, �
2
, … , �
�
tergantung pada t maka fungsi hazard nya adalah sebagai berikut:
ℎ�, �
1
, �
2
, … , �
�
, �
1
, �
2
, … , �
�
= ℎ
����{�
1
�
1
+ �
2
�
2
+ ⋯ + �
�
�
�
} 2.11
fungsi ℎ
� dikatakan sebagai fungsi dasar dari hazard, yaitu ketika fungsi hazard dari objek yang nilai semua kovariatnya adalah nol biasanya sebagai
hipotesis Korosteleva, 2003. Karakteristik penting dari formula ini ialah mengenai asumsi propotional
hazard yuitu baseline hazard ialah fungsi dari t tetapi tidak melibatkan variabel X. Berbeda dengan bentuk eksponensial yang melibatkan variabel X tetapi tidak
melibatkan t. X dikatakan time-independent tidak tergantung waktu. Asumsi pada model cox proportional hazard ialah hazard rasio yang membandingkan 2
kategori dari variabel independen adalah konstan pada setiap waktu atau tidak bergantung pada waktu. Apabila asumsi ini tidak dipenuhi maka model yang
digunakan extended cox model. Karakteristik lainnya dari model cox ialah
baseline hazard, h t, ialah fungsi yang tidak ditentukan. Inilah yang membuat
cox proportional hazard merupakan model semiparametrik. Model cox proportional hazard merupakan pemodelan yang sangat
terkenal pada analisis kesintasan. Menurut Kleinbaum dan Klein 2005 hal yang menyebabkan model ini terkenal dan digunakan secara luas antara lain:
1. Model cox merupakan model semiparametrik 2. Dapat mengestimasi hazard ratio tanpa perlu h
t atau baseline hazard function.
3. Dapat mengestimasi h t, ht, X, dan fungsi kesintasan walaupun h
t tidak spesifik.
4. Merupakan model robust sehingga hasil dari model cox hampir sama dengan hasil model parametrik.
5. Model yang aman dipilih ketika berada dalam keraguan untuk menentukan model parametriknya, sehingga tidak ada ketakutan tentang pilihan model
parametrik yang salah 6. Lebih baik daripada model logistik ketika tersedianya informasi tentang
waktu survival dan adanya pensensoran.
2.5 Faktor Lama Studi Mahasiswa
