Hamburan Hamburan Secara Mekanika Klasik

2 2 1 mv T a = 2.1 dengan m adalah massa partikel, dan adalah kecepatan partikel. v Momentum angular partikel terhambur relatif terhadap inti target pada jarak yang sangat jauh adalah s mv v m r = × → → . Jarak minimum partikel yang meninggalkan inti adalah bergantung pada s dan nilai mutlak s pada tumbukan head-on collision adalah min r = s yang mana partikel datang seketika kemudian diam sebelum berbalik arah. Pada saat terjadi tumbukan head-on collision energi kinetik partikel datang berubah menjadi energi potensial Coulomb d zZe mv 2 2 4 1 2 1 πε = 2.2 dengan ze adalah muatan proyektil, Ze adalah muatan pada target, dan d sebagai jarak terdekat partikel datang ke inti target pada tumbukan head-on collision. Partikel yang berada pada posisi antara posisi awal dan posisi inti target mempunyai energi kinetik dan potensial sehingga kekekalan energi untuk semua nilai parameter pental adalah r zZe mv mv 2 2 2 4 1 2 1 2 1 πε + = 2.3 Sumbu berkas hamburan berupa simetri silinder dan oleh karena itu tampang lintang tidak bergantung pada sudut φ . Partikel dengan parameter pental antara s dan s + ds dihamburkan kedalam cincin pada sudut antara Θ dan . Jika target yang mempunyai sejumlah n inti per satuan volume dan berbentuk lapisan tipis, maka dapat dianggap tidak terjadi banyak bayangan antara Θ + Θ d satu inti dengan yang lain. Target yang demikian dapat berupa kertas perak atau timah dengan ketebalan x dengan jumlah inti per satuan luas adalah nx dan bagian df pada partikel datang yang langsung meninggalkan cincin annular seluas ds s π 2 adalah ds s nx df π 2 = 2.4 bagian f dengan parameter pental yang kurang dari s adalah 2 s nx f π = 2.5 Jika partikel dihamburkan dengan parameter pental s menghasilkan Θ , maka persamaan 2.5 juga memberikan f pada sudut yang lebih besar dari Θ , tetapi diperlukan hubungan antara s dan Θ dengan catatan tiap partikel datang dihamburkan hanya lebih dari sekali. Θ − π 2 1 P Δ 2 sin Θ mv Θ β r Θ mv Pf = mv Pi = Pi Pf s Gambar 2.1 Lintasan hiperbolik pada partikel yang dihamburkan. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dari gambar tersebut terlihat bahwa momentum linear pada partikel yang dihamburkan hanya mengubah arah partikel sehingga momentum linear awal dan akhir yang jauh dari hamburan adalah . Perubahan vektor momentum pada Gambar 2.1 sebesar mv 2 sin 2 Θ = Δ mv p 2.6 dalam arah Θ − π . Menurut hukum Newton kedua dt dp F = , dengan F adalah gaya Coulomb sehingga ∫ ∫ ∫ = = = Δ β πε cos 4 2 2 r dt zZe Fdt dp p 2.7 dengan β adalah sudut antara dua bagian dan vektor r. Pada posisi awal yang jauh dari hamburan untuk t = 0 maka β mempunyai nilai 2 2 Θ − − π , dan pada posisi akhir untuk t = ∞ maka β adalah 2 2 Θ − + π . Kecepatan v dapat ditulis dalam bentuk radial dan komponen sudut β β dt d r r dt dr v + = → 2.8 dengan r adalah vektor satuan dalam arah radial, dan adalah vektor satuan dalam arah sudut sehingga momentum angular untuk inti target adalah β . 2 dt d mr v r m l β = × = → → 2.9 Momentum angular partikel yang jauh meninggalkan inti target mempunyai nilai , maka kekekalan momentum angular s mv dt d mr s mv β 2 = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI s v d r dt 2 β = 2.10 Jika hasil pada persamaan 2.10 disubsitusikan ke dalam persamaan 2.7, maka diperoleh ∫ Θ − + Θ − − = Δ 2 2 2 2 2 cos 4 π π β β πε d s v zZe p 2 cos 2 2 Θ = s v zZe πε 2.11 Dari persamaan 2.6 dan persamaan 2.11 diperoleh hubungan antara s dan Θ , yaitu 2 cot 2 Θ = d s 2.12 Jika persamaan 2.12 dimasukkan ke dalam persamaan 2.4, maka diperoleh Θ Θ Θ = d d nb df 2 csc 2 cot 4 2 2 π 2.13 Tampang lintang diferensial Ω d d σ didefenisikan sebagai Arya, 1966 nx df d = σ 2.14 atau Ω = Ω nxd df d d σ 2.15 Subsitusi persamaan 2.4 ke dalam persamaan 2.15 menghasilkan Ω = Ω = Θ d ds s d d π σ σ 2 2.16 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dari persamaan 2.12 diperoleh 2 sin 4 2 Θ Θ − = d d ds 2.17 sehingga persamaan 2.16 dapat dituliskan menjadi Ω Θ Θ Θ − = Ω = Θ d d d d d 2 sin 2 cos 4 3 2 π σ σ 2.18 Mengingat Θ Θ = Ω d d sin 2 π dan persamaan 2.2, persamaan 2.18 dapat dituliskan kembali menjadi 2 sin 1 4 1 4 4 2 2 2 Θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Ω = Θ a T zZe d d πε σ σ 2.19 persamaan ini merupakan tampang lintang hamburan Rutherford dengan karakteristik 2 sin 4 Θ − .

2.3. Hamburan Secara Mekanika Kuantum

Untuk merumuskan tampang lintang hamburan dengan menggunakan konsep mekanika kuantum, terlebih dahulu ditinjau konsep fluks partikel satu dimensi, kemudian digeneralisir menjadi tiga dimensi.

2.3.1. Fluks Partikel

Fluks partikel didefenisikan sebagai jumlah rata-rata partikel yang meninggalkan satu titik per satu satuan waktu dan biasanya diberi simbol S. Jika partikel mempunyai momentum mv k p = = h , maka jumlah partikel yang meninggalkan suatu titik per satu satuan waktu S adalah sama dengan jumlah partikel per satuan panjang dikali dengan kecepatan partikel sehingga dapat dituliskan mL k S h = 2.20 dengan m adalah massa partikel, h adalah tetapan Planck tereduksi, dan k adalah bilangan gelombang. Jika ditinjau fluks partikel satu dimensi dengan fungsi gelombang partikel t x, ψ , maka peluang P menemukan partikel berada pada daerah antara x dan x + dx adalah 2.21 ∫ = 2 1 x x dx P ψ ψ Fluks partikel pada daerah dan dapat juga diperoleh dengan menghitung perubahan peluang P terhadap waktu t, yaitu 1 x 2 x ∫ ∗ ∂ ∂ = ∂ ∂ = − 2 1 2 1 x x dx t t P x S x S ψ ψ 2.22 Jika persamaan 2.21 dimasukkan ke persamaan 2.22, maka diperoleh ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = − 2 1 2 1 x x dx t t t P x S x S ψ ψ ψ ψ 2.23 dengan menggunakan persamaan Schrödinger bergantung waktu, yaitu ψ ψ E V m = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∇ − 2 2 2 h t i V m ∂ ∂ = + ∇ − ψ ψ ψ h h 2 2 2 2.24