Jika digunakan relasi
∫ ∫
→
∇ Ψ
− Ψ
∇ =
∇ Ψ
− Ψ
∇ A
d d
.
2 2
φ φ
τ φ
φ yang diketahui sebagai teorema Green Boas, 2006, maka persamaan 2.30 dapat
dituliskan menjadi
→ →
→ →
→
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Ψ ∇
Ψ −
Ψ ∇
Ψ −
= A
d m
i A
d r
S .
2 .
h 2.31
Jadi rapat fluks partikel dapat dituliskan sebagai ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ Ψ
∇ Ψ
− Ψ
∇ Ψ
− =
→ →
→ →
2 m
i r
S h
2.32
Kaitan antara dengan tampang lintang diferensial
→
S Ω
d d
σ adalah Jones, 1996
r r
f m
k S
∧ →
Θ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
2
h 2.33
dengan adalah amplitudo hamburan yang merupakan fungsi rapat fluks
partikel terhambur
Θ f
2
Θ =
Ω f
d d
σ 2.34
2.3.3. Pendekatan Born
Ditinjau berkas partikel yang mendekati objek hamburan sepanjang arah yang sejajar vektor
. Berkas partikel datang dinyatakan oleh fungsi gelombang bidang tidak bergantung waktu, maka
→
k
u ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
→ →
−
r k
i V
u .
exp
2 1
2.35 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
yang ternormalisasi, sehingga terdapat rata-rata satu partikel dalam volume V dan syarat batas nilai
dalam komponen kartesian adalah
→
k
1 1
2 L
n k
x
π =
2 2
2 L
n k
y
π =
3 3
2 L
n k
z
π =
2.36 dengan
, , dan
adalah bilangan bulat dan
1
n
2
n
3
n V
L L
L =
3 2
1
. Partikel yang telah dihamburkan dalam arah
dinyatakan oleh fungsi gelombang yang ternormalisasi, yaitu
→
k
1
u
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
→ →
−
r k
i V
u .
exp
2 1
1
2.37
dengan syarat batas sama dengan persamaan 2.36 dalam komponen kartesian. Energi potensial penghambur dianggap sebagai gangguan sehingga
dan merupakan fungsi eigen yang tidak terganggu. Oleh karena itu proses hamburan
sebagai transisi dari keadaan ke
dan berkaitan dengan tampang lintang hamburan.
→
k u
1
u
u
1
u
Untuk menghitung tampang lintang menggunakan pendekatan Born terlebih dahulu didefenisikan laju transisi W dari
ke dengan menggunakan
teori gangguan bergantung waktu Rae, 1985 u
1
u
2
2 2
ω π
g U
dt dP
W
kk
h =
= 2.38
dengan adalah matriks transisi, dan
kk
U ω
g adalah rapat keadaan. Matriks
transisi diberikan oleh
kk
U
∫
∗
= τ
d u
r U
u U
kk 1
2.39 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan adalah energi potensial penghambur yang dianggap sebagai gangguan.
r U
Jika persamaan 2.39 disubsitusikan ke persamaan 2.38, maka diperoleh 2
2 1
2
ω τ
π g
d u
r U
u W
∫
∗
= h
2.40 atau
2
2 1
2
ω τ
π dg
d u
r U
u dW
∫
∗
= h
2.41 Nilai
ω dg
terkait dengan
Ω d
, yaitu Ω
= d
mkV dg
h
3
8 π
2.42 Jika mensubsitusikan persamaan 2.35, 2.37 dan 2.42 ke dalam persamaan
2.41, maka diperoleh
Ω =
∫
→ →
−
d d
e r
U V
mk dW
r K
i
2 .
3 2
4
τ π
h
2.43
dengan . Tampang lintang hambuaran
→ →
→
− =
k k
K ,
φ σ Θ
dapat diperoleh dengan membagi persamaan 2.43 dengan
mV k
h
dan
Ω d
, yaitu
2 .
4 2
2
4 ,
∫
−
= Θ
τ π
φ σ
d e
r U
m
r iK
h 2.44
Tampang lintang hamburan menggunakan pendekatan Born untuk energi potensial bersimetri bola ditentukan oleh
2 2
0 0 0 2
cos .
4 2
2
sin 4
,
∫∫∫
∞ Θ
−
Θ Θ
= Θ
π π
φ π
φ σ
d d
r e
r U
m
r iK
h PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2 2
4 2
sin 4
∫
∞
= Θ
dr Kr
r r
U K
m h
σ 2.45
Jadi secara kuantum, tampang lintang hamburan juga dapat ditentukan jika bentuk energi potensial
diketahui. r
U
2.4. Hamburan Oleh Medan Gaya Sentral
Medan gaya sentral adalah medan gaya yang selalu menuju satu titik pusat. Contoh gaya medan sentral adalah gaya medan gravitasi, dan gaya
medan Coulomb. Partikel datang yang konstan terhadap orbit, maka hamburannya
ditentukan oleh energi kinetik partikel datang E dan momentum angular l. Momentum angular l relatif terhadap inti target pada jarak yang sangat jauh
adalah s
mv l
= atau
. 2mE
s l
= 2.46
Diasumsikan bahwa parameter pental memiliki nilai yang berbeda sehingga banyaknya partikel terhambur ke sudut ruang yang terletak diantara
Θ dan
sama dengan jumlah partikel yang datang dengan parameter pental terletak diantara s dan s + ds adalah
Θ +
Θ d
Θ Θ
Θ =
d I
ds Is
sin 2
2
πσ π
2.47 dengan I adalah banyaknya partikel yang masuk ke suatu luasan dalam satu satuan
waktu. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika s dianggap sebagai fungsi energi dan sudut hamburan, maka dapat dituliskan sebagai
E s
s ,
Θ =
Dari persamaan 2.47 diperoleh tampang lintang hamburan, yaitu .
sin Θ
Θ =
Θ d
ds s
σ 2.48
Secara skematis hubungan antara sudut ϕ sudut antara arah datang
asimptotis dan arah periapsis dan sudut hamburan Θ untuk kasus energi
potensial penghambur repulsif diperlihatkan pada Gambar 2.2.
ϕ Θ
r
m
Gambar 2.2 Hubungan antara ϕ dan Θ.
s
Dari Gambar 2.2 terlihat bahwa .
2 ϕ
π − =
Θ 2.49
Sudut φ dapat ditentukan dari persamaan orbit Goldstein, 1959
∫
+ −
− =
r r
r l
r mU
l mE
r dr
2 2
2 2
1 2
2
θ θ
2.50
Pada saat ,
∞ =
r π
θ = arah datang partikel, dan
ϕ π
θ −
= ketika
.
m
r r
= Pada kondisi tersebut diperoleh
