meninggalkan suatu titik per satu satuan waktu S adalah sama dengan jumlah partikel per satuan panjang dikali dengan kecepatan partikel sehingga dapat
dituliskan mL
k S
h =
2.20 dengan m adalah massa partikel, h adalah tetapan Planck tereduksi, dan k adalah
bilangan gelombang. Jika ditinjau fluks partikel satu dimensi dengan fungsi gelombang partikel
t x,
ψ , maka peluang P menemukan partikel berada pada
daerah antara x dan x + dx adalah 2.21
∫
=
2 1
x x
dx P
ψ ψ
Fluks partikel pada daerah dan
dapat juga diperoleh dengan menghitung perubahan peluang P terhadap waktu t, yaitu
1
x
2
x
∫
∗ ∂
∂ =
∂ ∂
= −
2 1
2 1
x x
dx t
t P
x S
x S
ψ ψ
2.22
Jika persamaan 2.21 dimasukkan ke persamaan 2.22, maka diperoleh
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∂ ∂
= −
2 1
2 1
x x
dx t
t t
P x
S x
S ψ
ψ ψ
ψ 2.23
dengan menggunakan persamaan Schrödinger bergantung waktu, yaitu ψ
ψ
E V
m =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ ∇
−
2 2
2 h
t i
V m
∂ ∂
= +
∇ −
ψ ψ
ψ h
h
2 2
2 2.24
dengan menganggap partikel bergerak bebas ke arah x sehingga energi potensial , maka persamaan 2.24 menjadi
= V
t i
m ∂
∂ =
∇ −
ψ ψ
h h
2 2
2 atau
t i
x m
∂ ∂
= ∂
∂ −
ψ ψ
h h
2 2
2
2
t x
m i
∂ ∂
= ∂
∂ ψ
ψ
2 2
2 h
2.25 dan
. 2
2 2
t x
m i
∂ ∗
∂ =
∂ ∗
∂ −
ψ ψ
h 2.26
Subsitusi persamaan 2.25 dan 2.26 ke dalam persamaan 2.23 menghasilkan
∫
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
− ∂
∂ =
−
2 1
2 2
2 2
2 1
2
x x
dx x
x m
i x
S x
S ψ
ψ ψ
ψ h
atau .
2
2 1
2 1
x x
x x
m i
x S
x S
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
∂ ∂
− ∂
∂ =
− ψ
ψ ψ
ψ h
2.27
Jadi fluks partikel dapat dituliskan sebagai ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∂ ∂
∗ −
= x
x m
i x
S 2
ψ ψ
ψ ψ
h 2.28
2.3.2. Hamburan Dalam Tiga Dimensi
Sebagaimana dalam satu dimensi fluks partikel telah didefenisikan sebagai jumlah partikel yang meninggalkan satu titik per satu satuan waktu maka dalam
tiga dimensi didefenisikan rapat fluks sebagai vektor sedemikian hingga adalah total fluks partikel menuju elemen luas dA per satu satuan waktu.
Arah menggambarkan arah pergerakan partikel pada titik yang besarnya mewakili jumlah partikel kali satu satuan luas per satu satuan waktu. Pernyataan
untuk dalam sistem tiga dimensi diwakili oleh fungsi gelombang
seperti pada satu dimensi.
→
S
→ →
A d
S .
→
S
→
S ,
t r
→
Ψ Dengan meninjau suatu volume V yang dibatasi oleh permukaan tertutup
dengan luas A, jumlah partikel yang keluar dari V melalui luasan permukaan A untuk tiap satuan waktu sama dengan pertambahan rata-rata partikel yang terdapat
didalam V, atau secara matematis dituliskan
∫ ∫
Ψ Ψ
∂ ∂
= −
→ →
→ A
V
d t
A d
r S
τ
.
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ Ψ
∂ Ψ
+ Ψ
∂ Ψ
∂ =
V
d t
t τ
2.29 Dengan menggunakan persamaan Schrödinger bergantung waktu, persamaan
2.29 menjadi
∫ ∫
Ψ ∇
Ψ −
Ψ ∇
Ψ −
=
→ →
→ A
d m
i A
d r
S τ
2 .
2 2
h 2.30
Jika digunakan relasi
∫ ∫
→
∇ Ψ
− Ψ
∇ =
∇ Ψ
− Ψ
∇ A
d d
.
2 2
φ φ
τ φ
φ yang diketahui sebagai teorema Green Boas, 2006, maka persamaan 2.30 dapat
dituliskan menjadi
→ →
→ →
→
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Ψ ∇
Ψ −
Ψ ∇
Ψ −
= A
d m
i A
d r
S .
2 .
h 2.31
Jadi rapat fluks partikel dapat dituliskan sebagai ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ Ψ
∇ Ψ
− Ψ
∇ Ψ
− =
→ →
→ →
2 m
i r
S h
2.32
Kaitan antara dengan tampang lintang diferensial
→
S Ω
d d
σ adalah Jones, 1996
r r
f m
k S
∧ →
Θ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
2
h 2.33
dengan adalah amplitudo hamburan yang merupakan fungsi rapat fluks
partikel terhambur
Θ f
2
Θ =
Ω f
d d
σ 2.34
2.3.3. Pendekatan Born
Ditinjau berkas partikel yang mendekati objek hamburan sepanjang arah yang sejajar vektor
. Berkas partikel datang dinyatakan oleh fungsi gelombang bidang tidak bergantung waktu, maka
→
k
u ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
→ →
−
r k
i V
u .
exp
2 1
2.35 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
