Sub-Penyelesaian Terbesar Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan

Contoh 3.1 Diberikan matriks [ ] dan [ ]. Persamaan tidak mempunyai penyelesaian, sebab bila mempunyai penyelesaian berarti ada [ ] sehingga [ ] [ ] [ ] Didapat , , dan . Nampak bahwa tidak akan ada sehingga dan . Jadi, tidak mempunyai penyelesaian. Di lain pihak, sistem selalu mempunyai penyelesaian karena untuk diperoleh . Karena itu, masalah penyelesaian sistem persamaan dapat diperlemah dengan mendefinisikan konsep sub-penyelesaian terbesar dengan sebelumnya mendefinisikan konsep sub-penyelesaian.

A. Sub-Penyelesaian Terbesar

Berikut diberikan definisi mengenai sub-penyelesaian dan sub- penyelesaian terbesar sistem persamaan . Definisi 3.A Diberikan dan . Sub-penyelesaian sistem persamaan adalah vektor yang memenuhi . Definisi 3.B Sub-penyelesaian terbesar adalah vektor terbesar yang memenuhi , dinotasikan dengan . Dengan kata lain, untuk setiap sub-penyelesaian dari sistem persamaan . Sub-penyelesaian terbesar tidak harus merupakan suatu penyelesaian dari . Sub-penyelesaian terbesar diberikan oleh teorema berikut. Teorema 3.A.1 Rudhito, 2003 Diberikan dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan , maka untuk setiap dan . Bukti: { dan Jadi, sub-penyelesaian dari sistem persamaan adalah setiap vektor di mana komponen-komponennya memenuhi Jika vektor didefinisikan dengan maka diperoleh: dan Hal ini berarti bahwa merupakan sub-penyelesaian dari sistem persamaan . Karena , maka . Akibatnya, . Jadi, vektor merupakan sub-penyelesaian terbesar dari sistem persamaan . Teorema 3.A.1 menjelaskan penyelesaian dari sedangkan penyelesaian dari dijelaskan dalam teorema berikut: Teorema 3.A.2 Butkovič, 2000 Diberikan dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . memiliki penyelesaian bila dan hanya bila adalah penyelesaiannya. Bukti: Misalkan merupakan penyelesaian dari sistem . Karena merupakan sub-penyelesaian terbesar maka . Berdasarkan Teorema 2.B.3 diperoleh . Jadi,

B. Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai sub-penyelesaian terbesar dari sistem persamaan . Pada bagian ini akan dibahas mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan . Berdasarkan Teorema 3.A.2 dapat disimpulkan bahwa eksistensi penyelesaian sistem persamaan ini ditentukan oleh sub-penyelesaian terbesarnya. Diberikan matriks dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Sub-penyelesaian terbesar merupakan calon penyelesaian sistem persamaan yakni vektor dengan [ ] [ ] [ ] [ ] Selanjutnya didefinisikan matriks „discrepancy‟ dinotasikan dengan dimana [ ] Catatan bahwa setiap dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum dari setiap kolom . Untuk memprediksi banyaknya penyelesaian persamaan , maka selanjutnya didefinisikan matriks yang merupakan reduksi matriks sebagai berikut [ ] di mana { Di bawah ini akan diberikan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan . Contoh 3.2 Tentukan penyelesaian jika [ ], [ ], dan [ ] Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks [ ] [ ] [ ] Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks . Karena pada tiap kolom matriks pasti terdapat elemen bernilai 1, maka sistem persamaan pada contoh ini hanya memiliki satu penyelesaian. Elemen- elemen dari vektor penyelesaian dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum dari tiap kolom , yakni: Dengan demikian, merupakan calon penyelesaian sekaligus menjadi satu-satunya penyelesaian dari sistem persamaan . Hal ini ditunjukkan sebagai berikut [ ] [ ] [ ] [ ] Contoh 3.3 Tentukan penyelesaian jika [ ], [ ], dan [ ] Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks [ ] [ ] [ ] Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks . Hal ini berarti bahwa sistem persamaan pada contoh ini juga hanya memiliki satu penyelesaian yakni . Hal ini ditunjukkan sebagai berikut [ ] [ ] [ ] [ ] Contoh 3.2 dan 3.3 di atas merupakan contoh sistem persamaan yang memiliki penyelesaian tunggal baik untuk kasus maupun . Berikut ini akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian baik untuk kasus , maupun kasus . Contoh 3.4 Tentukan penyelesaian jika [ ], [ ], dan [ ] Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks [ ] [ ] Berdasarkan matriks diperoleh . Namun demikian, dari matriks di atas terlihat bahwa terdapat baris yang tidak memiliki nilai maksimum yakni baris pertama atau dengan kata lain semua elemen dalam baris pertama bernilai 0. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan tidak memiliki penyelesaian. Hal ini diperkuat melalui perhitungan berikut: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Dengan demikian, hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan merupakan penyelesaian sistem persamaan . Contoh 3.5 Tentukan penyelesaian jika [ ], [ ], dan [ ] Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks [ ] [ ] Berdasarkan matriks diperoleh . Namun demikian, dari matriks di atas terlihat bahwa semua elemen dalam baris pertama bernilai 0. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan dalam contoh ini tidak memiliki penyelesaian. Hal ini juga diperkuat melalui perhitungan berikut: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Dengan demikian, hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan merupakan penyelesaian sistem persamaan . Contoh 3.6 Tentukan penyelesaian jika [ ] , [ ], dan [ ] Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks [ ] [ ] Berdasarkan matriks diperoleh . Serupa dengan dua contoh sebelumnya, sistem persamaan dalam contoh ini juga tidak memiliki penyelesaian karena semua elemen pada baris kedua matriks -nya bernilai 0. Hal ini ditunjukkan juga melalui perhitungan berikut: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Jadi, sistem persamaan linear tersebut hanya memiliki sub-penyelesaian terbesar namun tidak mempunyai penyelesaian. Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan yang memiliki takhingga banyak penyelesaian baik untuk kasus , maupun kasus . Contoh 3.7 Tentukan penyelesaian jika [ ], [ ], dan [ ] Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks [ ] [ ] Berdasarkan matriks diperoleh . Selanjutnya akan dicek apakah memang merupakan penyelesaian dari . [ ] [ ] [ ] [ ] Ternyata memang merupakan penyelesaian dari . Akan tetapi, pada baris kedua dan ketiga matriks terdapat lebih dari satu nilai maksimum atau dengan kata lain terdapat lebih dari satu elemen bernilai 1 pada kedua baris tersebut. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan memiliki takhingga banyak penyelesaian. Selain itu, berdasarkan Teorema 3.A.1 diperoleh bahwa elemen-elemen dari merupakan batas atas. Karena itu, elemen-elemen vektor penyelesaian dalam contoh ini harus mememenuhi , dan . Pada baris pertama dan keempat matriks nampak bahwa nilai maksimum terdapat pada kolom ke-3 karena itu . Pada baris kedua nilai maksimum terdapat pada kolom ke-2 dan ke-3 maka terdapat dua kemungkinan yakni atau . Bila nilai diubah maka akan mempengaruhi persamaan baris pertama dan keempat. Karena itu, selama maka persamaan pertama dan keempat akan selalu terpenuhi. Demikian halnya dengan memilih maka persamaan baris akan selalu terpenuhi. Jadi, semua vektor yang berbentuk dengan dan juga memenuhi sistem persamaan. Jadi, sistem persamaan dalam contoh ini memiliki takhingga banyak penyelesaian. Contoh 3.8 Tentukan penyelesaian jika [ ], [ ], dan [ ] Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks [ ] [ ] Berdasarkan matriks diperoleh . Selanjutnya akan dicek apakah memang merupakan penyelesaian dari . [ ] [ ] [ ] [ ] Nampak bahwa memang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan . Akan tetapi, dapat diperiksa bahwa semua yang memenuhi bentuk dengan juga memenuhi sistem persamaan di atas. Jadi, sistem persamaan dalam contoh ini memiliki takhingga banyak penyelesaian. Contoh 3.9 Tentukan penyelesaian jika [ ] , [ ], dan [ ] Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks [ ] [ ] Berdasarkan matriks diperoleh . Selanjutnya ditunjukkan bahwa juga merupakan penyelesaian dari sistem persamaan yakni: [ ] [ ] [ ] [ ] Namun demikian, dapat diperiksa bahwa semua yang berbentuk dengan dan juga memenuhi sistem persamaan di atas. Jadi, sistem persamaan pada contoh ini juga memiliki takhingga banyak penyelesaian. Matriks dan berperan dalam menentukan perilaku sistem persamaan . Berikut ini diberikan teorema mengenai ada atau tidak adanya eksistensi penyelesaian . Teorema 3.B.1 Diberikan sistem persamaan di mana dengan elemen- elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . 1. Jika terdapat baris nol pada matriks maka sistem tidak mempunyai penyelesaian. 2. Jika terdapat paling tidak satu elemen 1 pada tiap baris , maka adalah penyelesaian dari sistem persamaan . Bukti: 1. Misalkan baris nol pada matriks adalah baris ke dan andaikan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan , maka Akibatnya, . Dengan demikian, tidak memenuhi persamaan ke- . Hal ini bertentangan dengan adalah penyelesaian dari sistem persamaan . Jadi, bukan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan atau sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian. 2. Akan dibuktikan kontrapositifnya. Andaikan bukan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan . BerdasarkanTeorema 3.A.1 diperoleh Akibatnya, Jika bukan merupakan penyelesaian dari , maka terdapat sedemikian sehingga Hal ini ekuivalen dengan Karena untuk beberapa , maka tidak ada elemen dalam baris dari yang bernilai 1. Teorema 3.B.1 di atas digunakan untuk menentukan eksistensi penyelesaian sistem persamaan . Namun demikian, eksistensi ini belum menjelaskan kapan penyelesaiannya tunggal dan kapan penyelesaiannya taktunggal. Karena itu, untuk menentukan ketunggalan sistem persamaan diberikan definisi berikut. Definisi 3.B Elemen bernilai 1 pada suatu baris dinamakan elemen peubah tetap jika 1. Elemen tersebut merupakan satu-satunya elemen bernilai 1 pada baris tersebut lone-one, atau 2. Elemen tersebut berada pada kolom yang sama dengan lone-one. Elemen-elemen bernilai 1 lainnya dinamakan elemen-elemen slack. Tabel berikut ini akan menunjukkan elemen peubah tetap dari setiap contoh yang telah diberikan sebelumnya. Elemen yang dilingkari merupakan elemen peubah tetap Tabel 2: Elemen Peubah Tetap Tidak Mempunyai Penyelesaian Satu Penyelesaian Takhingga Banyak Penyelesaian Contoh 3.4 [ ] Contoh 3.2 [ ] Contoh 3.7 [ ] Contoh 3.5 [ ] Contoh 3.3 [ ] Contoh 3.8 [ ] Contoh 3.6 [ ] Contoh 3.9 [ ] Pada contoh 3.2, semua elemen bernilai 1 merupakan peubah tetap. Persamaan baris pertama menetapkan elemen , persamaan baris kedua menetapkan elemen , dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen . Ketika sampai pada persamaan keempat, semua elemen sudah ditentukan. Setiap elemen yang sudah dipilih tidak dapat diubah karena bila diubah akan menimbulkan pertidaksamaan pada salah satu dari ketiga baris sebelumnya. Pada contoh 3.3, semua elemen bernilai 1 juga merupakan peubah tetap. Persamaan baris pertama menetapkan elemen , persamaan baris kedua menetapkan elemen , dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen . Pada contoh 3.7, terdapat elemen slack pada . Persamaan baris pertama menetapkan elemen . Pada persamaan baris kedua, terdapat dua kemungkinan untuk memenuhi persamaan yakni atau . Akan tetapi, nilai sudah ditetapkan sebelumnya yakni sama dengan 3. Jadi, asalkan maka persamaan baris diatasnya tidak akan berubah. Dengan cara yang sama, pada persamaan baris ketiga, asalkan maka persamaan baris diatasnya tidak akan berubah. Sedangkan, pada persamaan baris keempat, elemen penyelesaiannya sudah ditetapkan oleh persamaan baris pertama. Dengan demikian, dengan menetapkan dan asalkan serta , maka persamaan baris akan selalu benar. Berikut ini diberikan teorema untuk menunjukkan bila mana persamaan memiliki penyelesaian tunggal dan bilamana penyelesaiannya taktunggal. Teorema 3.B.2 Diberikan persamaan matriks dimana dengan elemen- elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan serta penyelesaian persamaan ada. 1. Jika tiap baris memiliki lone one, maka penyelesaian sistem persamaan tunggal. 2. Jika terdapat elemen-elemen slack pada , maka sistem memiliki takhingga banyak penyelesaian. Bukti: 1. Jika terdapat lone one pada tiap baris , maka terdapat satu elemen peubah tetap pada tiap baris . Hal ini berarti bahwa tidak akan ada elemen-elemen slack. Dengan demikian, semua elemen tetap dan penyelesaian sistem persamaan tunggal. 2. Misalkan adalah salah satu elemen slack pada dan merupakan penyelesaian dari . Karena tidak tetap, maka tidak terdapat elemen peubah tetap pada kolom ke dari . Jadi, persamaan dapat dipenuhi tanpa menggunakan elemen . Dengan demikian, meskipun nilai menunjukkan nilai maksimum yang mungkin untuk elemen ini, setiap nilai yang lebih kecil atau sama dengan tidak akan mempengaruhi eksistensi persamaan baris yang telah ditetapkan. Sistem persamaan dalam Contoh 3.2 dan 3.3 memiliki penyelesaian tunggal karena pada tiap baris matriks -nya memiliki lone one. Sedangkan sistem persamaan dalam Contoh 3.7, 3.8 dan 3.9 memiliki takhingga banyak penyelesaian karena terdapat elemen slack pada matriks - nya. Akibat 3.B Diberikan persamaan matriks di mana dengan elemen- elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan serta . Jika penyelesaian persamaan ada maka sistem memiliki takhingga banyak penyelesaian. Bukti: Penyelesaian sistem persamaan ada maka tidak terdapat baris nol pada matriks Andaikan penyelesaian sistem tunggal maka terdapat lone one pada tiap baris . Sementara itu, berarti banyaknya persamaan lebih sedikit daripada banyaknya variabel. Karena itu, pastilah terdapat slack pada matriks . Hal ini bertentangan dengan penyelesaian sistem tunggal. Jadi, haruslah sistem memliki takhingga banyaknya penyelesaian. Pembahasan pada bagian A dan B dalam bab ini ditekankan pada sistem persamaan dengan dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Berikut ini diberikan penyelesaian sistem persamaan untuk kasus-kasus lain. Andaikan terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dan maka berlaku hal-hal berikut 1. Jika elemen-elemen pada setiap baris matriks tidak semuanya sama dengan maka untuk sebarang . Hal ini berangkat dari fakta bahwa elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi . 2. Jika terdapat baris pada matriks dengan semua elemennya sama dengan maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut. Andaikan baris tersebut adalah baris ke- . Persamaan ke- berbentuk Mengingat untuk setiap berlaku maka . Dengan kata lain, persamaan baris ke- tidak terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian. Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas. Contoh 3.10 Diberikan sistem persamaan linear [ ] [ ] [ ] Sistem persamaan ini ekuivalen dengan { atau { atau { atau { sehingga diperoleh . Jadi, semua vektor yang berbentuk merupakan penyelesaian sistem di atas. Contoh 3.11 Diberikan sistem persamaan linear [ ] [ ] [ ] Sistem persamaan ini ekuivalen dengan { atau { atau { Karena maka persamaan baris kedua tidak terpenuhi. Jadi, sistem persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian. Selanjutnya, andaikan terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dan terdapat sedemikian sehingga maka berlaku hal-hal berikut 1. Jika elemen-elemen pada baris ke- matriks tidak semuanya sama dengan maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut. Karena elemen-elemen pada baris ke- tidak semuanya sama dengan maka terdapat sedemikian sehingga . Agar persamaan ke- terpenuhi maka haruslah . Namun demikian, karena terdapat sedemikian sehingga maka persamaan ke- tidak terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian. 2. Jika elemen-elemen pada baris ke- matriks semuanya sama dengan maka untuk sebarang . Hal ini berangkat dari fakta bahwa elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi . Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas. Contoh 3.12 Diberikan sistem persamaan linear [ ] [ ] [ ] Sistem persamaan ini ekuivalen dengan { atau { atau { Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah . Namun demikian, jika maka persamaan baris pertama tidak terpenuhi sebab . Jadi, sistem di atas tidak memiliki penyelesaian. Contoh 3.13 Diberikan sistem persamaan linear [ ] [ ] [ ] Sistem persamaan ini ekuivalen dengan { atau { atau atau Jadi, semua vektor yang berbentuk merupakan penyelesaian sistem di atas. Kasus selanjutnya adalah andaikan elemen-elemen pada setiap kolom matriks tidak semuanya sama dengan dan terdapat sedemikian sehingga . Jika maka . Hal ini ditunjukkan sebagai berikut. Persamaan ke- berbentuk . Karena maka haruslah . Contoh 3.13 Diberikan sistem persamaan linear [ ] [ ] [ ] Sistem persamaan ini ekuivalen dengan { atau { Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah . Akibatnya, . Jadi, merupakan penyelesaian sistem di atas.

C. Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Program MATLAB