Contoh 3.1
Diberikan matriks [
] dan [ ]. Persamaan tidak
mempunyai penyelesaian, sebab bila mempunyai penyelesaian berarti ada [
] sehingga
[ ] [
] [ ]
Didapat ,
, dan . Nampak bahwa
tidak akan ada sehingga
dan .
Jadi,
tidak mempunyai penyelesaian.
Di lain pihak, sistem
selalu mempunyai penyelesaian
karena untuk
diperoleh . Karena itu, masalah
penyelesaian sistem
persamaan
dapat diperlemah dengan
mendefinisikan konsep
sub-penyelesaian terbesar
dengan sebelumnya
mendefinisikan konsep sub-penyelesaian.
A. Sub-Penyelesaian Terbesar
Berikut diberikan definisi mengenai sub-penyelesaian dan sub- penyelesaian terbesar sistem persamaan
.
Definisi 3.A
Diberikan dan
. Sub-penyelesaian sistem persamaan
adalah vektor
yang memenuhi .
Definisi 3.B
Sub-penyelesaian terbesar adalah vektor terbesar yang memenuhi
, dinotasikan dengan
. Dengan kata lain,
untuk setiap sub-penyelesaian dari sistem
persamaan . Sub-penyelesaian terbesar tidak harus merupakan suatu
penyelesaian dari
. Sub-penyelesaian terbesar diberikan oleh teorema
berikut.
Teorema 3.A.1 Rudhito, 2003
Diberikan dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak
semuanya sama dengan dan
, maka
untuk setiap dan .
Bukti:
{
dan
Jadi, sub-penyelesaian dari sistem persamaan
adalah setiap vektor
di mana komponen-komponennya memenuhi
Jika vektor didefinisikan dengan
maka diperoleh:
dan
Hal ini berarti bahwa merupakan sub-penyelesaian dari sistem persamaan
. Karena , maka
. Akibatnya,
. Jadi, vektor merupakan sub-penyelesaian terbesar dari
sistem persamaan
.
Teorema 3.A.1 menjelaskan penyelesaian dari
sedangkan
penyelesaian dari
dijelaskan dalam teorema berikut:
Teorema 3.A.2
Butkovič, 2000 Diberikan
dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
dan .
memiliki penyelesaian bila
dan hanya bila adalah penyelesaiannya.
Bukti: Misalkan
merupakan penyelesaian dari sistem . Karena
merupakan sub-penyelesaian terbesar maka . Berdasarkan Teorema
2.B.3 diperoleh
.
Jadi,
B. Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai sub-penyelesaian terbesar dari sistem persamaan
. Pada bagian ini akan dibahas mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan
.
Berdasarkan Teorema 3.A.2 dapat disimpulkan bahwa eksistensi penyelesaian sistem persamaan ini ditentukan oleh sub-penyelesaian terbesarnya.
Diberikan matriks dengan elemen-elemen pada setiap
kolomnya tidak semuanya sama dengan dan
. Sub-penyelesaian terbesar merupakan calon penyelesaian sistem persamaan
yakni vektor
dengan
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Selanjutnya didefinisikan matriks „discrepancy‟ dinotasikan dengan
dimana
[ ]
Catatan bahwa setiap dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum
dari setiap kolom .
Untuk memprediksi banyaknya penyelesaian persamaan , maka
selanjutnya didefinisikan matriks yang merupakan reduksi matriks
sebagai berikut
[ ] di mana
{
Di bawah ini akan diberikan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan
.
Contoh 3.2
Tentukan penyelesaian jika
[ ], [
], dan [ ]
Berdasarkan matriks
dan vektor diperoleh matriks
[ ] [
]
[ ]
Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks . Karena
pada tiap kolom matriks pasti terdapat elemen bernilai 1, maka sistem
persamaan
pada contoh ini hanya memiliki satu penyelesaian. Elemen-
elemen dari vektor penyelesaian dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum dari tiap kolom
, yakni:
Dengan demikian, merupakan calon penyelesaian sekaligus
menjadi satu-satunya penyelesaian dari sistem persamaan . Hal ini
ditunjukkan sebagai berikut
[ ] [
] [ ] [
]
Contoh 3.3
Tentukan penyelesaian jika
[ ], [
], dan [ ]
Berdasarkan matriks
dan vektor diperoleh matriks
[ ] [
]
[ ]
Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks . Hal ini
berarti bahwa sistem persamaan
pada contoh ini juga hanya memiliki
satu penyelesaian yakni . Hal ini ditunjukkan sebagai berikut
[ ] [
] [ ] [
]
Contoh 3.2 dan 3.3 di atas merupakan contoh sistem persamaan yang memiliki penyelesaian tunggal baik untuk kasus maupun .
Berikut ini akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan yang tidak
memiliki penyelesaian baik untuk kasus , maupun kasus .
Contoh 3.4
Tentukan penyelesaian jika
[ ], [
], dan [ ]
Berdasarkan matriks
dan vektor diperoleh matriks
[ ]
[ ]
Berdasarkan matriks diperoleh
. Namun demikian, dari matriks
di atas terlihat bahwa terdapat baris yang tidak memiliki nilai maksimum yakni baris pertama atau dengan kata lain semua elemen dalam baris
pertama bernilai 0. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan tidak memiliki penyelesaian. Hal ini diperkuat melalui perhitungan berikut:
[ ] [
] [ ] [
] [ ]
Dengan demikian, hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan
merupakan penyelesaian sistem persamaan
.
Contoh 3.5
Tentukan penyelesaian jika
[ ], [
], dan [ ]
Berdasarkan matriks
dan vektor diperoleh matriks
[ ]
[ ]
Berdasarkan matriks diperoleh
. Namun demikian, dari matriks
di atas terlihat bahwa semua elemen dalam baris pertama bernilai 0. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan
dalam contoh ini tidak memiliki penyelesaian. Hal ini juga diperkuat melalui perhitungan berikut:
[ ] [
] [ ] [
] [ ]
Dengan demikian, hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan
merupakan penyelesaian sistem persamaan
.
Contoh 3.6
Tentukan penyelesaian jika
[ ]
, [
], dan [ ]
Berdasarkan matriks
dan vektor diperoleh matriks
[ ]
[ ]
Berdasarkan matriks diperoleh
. Serupa dengan dua contoh sebelumnya, sistem persamaan
dalam contoh ini juga tidak memiliki
penyelesaian karena semua elemen pada baris kedua matriks -nya bernilai 0.
Hal ini ditunjukkan juga melalui perhitungan berikut:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Jadi, sistem persamaan linear tersebut hanya memiliki sub-penyelesaian terbesar namun tidak mempunyai penyelesaian.
Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan yang memiliki takhingga banyak penyelesaian baik untuk kasus
, maupun kasus
.
Contoh 3.7
Tentukan penyelesaian jika
[ ], [
], dan [ ]
Berdasarkan matriks
dan vektor diperoleh matriks
[ ]
[ ]
Berdasarkan matriks diperoleh
. Selanjutnya akan dicek apakah
memang merupakan penyelesaian dari
.
[ ] [
] [ ] [
]
Ternyata memang merupakan penyelesaian dari
. Akan tetapi, pada
baris kedua dan ketiga matriks terdapat lebih dari satu nilai maksimum atau
dengan kata lain terdapat lebih dari satu elemen bernilai 1 pada kedua baris tersebut. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan
memiliki takhingga banyak penyelesaian. Selain itu, berdasarkan Teorema 3.A.1 diperoleh
bahwa elemen-elemen dari merupakan batas atas. Karena itu, elemen-elemen
vektor penyelesaian dalam contoh ini harus mememenuhi
, dan
. Pada baris pertama dan keempat matriks nampak bahwa nilai
maksimum terdapat pada kolom ke-3 karena itu . Pada baris kedua nilai
maksimum terdapat pada kolom ke-2 dan ke-3 maka terdapat dua kemungkinan yakni
atau . Bila nilai
diubah maka akan mempengaruhi persamaan baris pertama dan keempat. Karena itu, selama
maka persamaan pertama dan keempat akan selalu terpenuhi. Demikian halnya dengan
memilih maka persamaan baris akan selalu terpenuhi. Jadi, semua vektor
yang berbentuk dengan
dan juga memenuhi sistem persamaan.
Jadi, sistem persamaan
dalam contoh ini memiliki takhingga banyak
penyelesaian.
Contoh 3.8
Tentukan penyelesaian jika
[ ], [
], dan [ ]
Berdasarkan matriks
dan vektor diperoleh matriks
[ ]
[ ]
Berdasarkan matriks diperoleh
. Selanjutnya akan dicek apakah
memang merupakan penyelesaian dari
.
[ ] [
] [ ] [
]
Nampak bahwa memang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
. Akan tetapi, dapat diperiksa bahwa semua yang memenuhi bentuk dengan
juga memenuhi sistem persamaan di atas.
Jadi, sistem persamaan
dalam contoh ini memiliki takhingga banyak
penyelesaian.
Contoh 3.9
Tentukan penyelesaian jika
[ ]
, [
], dan [ ]
Berdasarkan matriks
dan vektor diperoleh matriks
[ ]
[ ]
Berdasarkan matriks diperoleh
. Selanjutnya ditunjukkan bahwa
juga merupakan penyelesaian dari sistem persamaan yakni:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Namun demikian, dapat diperiksa bahwa semua yang berbentuk
dengan dan juga memenuhi sistem persamaan di atas.
Jadi, sistem persamaan pada contoh ini juga memiliki takhingga
banyak penyelesaian. Matriks
dan berperan dalam menentukan perilaku sistem
persamaan . Berikut ini diberikan teorema mengenai ada atau tidak
adanya eksistensi penyelesaian
.
Teorema 3.B.1
Diberikan sistem persamaan
di mana
dengan elemen- elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
dan .
1. Jika terdapat baris nol pada matriks
maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.
2. Jika terdapat paling tidak satu elemen 1 pada tiap baris
, maka
adalah penyelesaian dari sistem persamaan .
Bukti: 1.
Misalkan baris nol pada matriks adalah baris ke
dan andaikan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
, maka
Akibatnya, .
Dengan demikian, tidak memenuhi persamaan ke-
. Hal ini bertentangan dengan
adalah penyelesaian dari sistem persamaan . Jadi,
bukan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
atau sistem persamaan tidak mempunyai
penyelesaian. 2.
Akan dibuktikan kontrapositifnya. Andaikan bukan merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan
. BerdasarkanTeorema 3.A.1
diperoleh
Akibatnya,
Jika bukan merupakan penyelesaian dari
, maka terdapat
sedemikian sehingga
Hal ini ekuivalen dengan
Karena untuk beberapa , maka tidak ada elemen
dalam baris dari
yang bernilai 1.
Teorema 3.B.1 di atas digunakan untuk menentukan eksistensi penyelesaian sistem persamaan
. Namun demikian, eksistensi ini belum
menjelaskan kapan penyelesaiannya tunggal dan kapan penyelesaiannya taktunggal. Karena itu, untuk menentukan ketunggalan sistem persamaan
diberikan definisi berikut.
Definisi 3.B Elemen bernilai 1 pada suatu baris
dinamakan elemen peubah tetap jika
1.
Elemen tersebut merupakan satu-satunya elemen bernilai 1 pada baris tersebut lone-one, atau
2.
Elemen tersebut berada pada kolom yang sama dengan lone-one. Elemen-elemen bernilai 1 lainnya dinamakan elemen-elemen slack.
Tabel berikut ini akan menunjukkan elemen peubah tetap dari setiap contoh yang telah diberikan sebelumnya. Elemen yang dilingkari merupakan
elemen peubah tetap
Tabel 2: Elemen Peubah Tetap
Tidak Mempunyai Penyelesaian
Satu Penyelesaian Takhingga Banyak
Penyelesaian
Contoh 3.4
[ ]
Contoh 3.2
[ ]
Contoh 3.7
[ ]
Contoh 3.5
[ ]
Contoh 3.3
[ ]
Contoh 3.8
[ ]
Contoh 3.6
[ ]
Contoh 3.9
[ ]
Pada contoh 3.2, semua elemen bernilai 1 merupakan peubah tetap. Persamaan baris pertama menetapkan elemen
, persamaan baris kedua menetapkan elemen
, dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen
. Ketika sampai pada persamaan keempat, semua elemen sudah
ditentukan. Setiap elemen yang sudah dipilih tidak dapat diubah karena bila diubah akan menimbulkan pertidaksamaan pada salah satu dari ketiga baris
sebelumnya.
Pada contoh 3.3, semua elemen bernilai 1 juga merupakan peubah tetap. Persamaan baris pertama menetapkan elemen
, persamaan baris kedua menetapkan elemen
, dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen .
Pada contoh 3.7, terdapat elemen slack pada . Persamaan baris
pertama menetapkan elemen . Pada persamaan baris kedua, terdapat dua
kemungkinan untuk memenuhi persamaan yakni atau
. Akan tetapi, nilai
sudah ditetapkan sebelumnya yakni sama dengan 3. Jadi, asalkan maka persamaan baris diatasnya tidak akan berubah. Dengan cara yang sama,
pada persamaan baris ketiga, asalkan maka persamaan baris diatasnya
tidak akan berubah. Sedangkan, pada persamaan baris keempat, elemen penyelesaiannya sudah ditetapkan oleh persamaan baris pertama. Dengan
demikian, dengan menetapkan dan asalkan
serta , maka
persamaan baris akan selalu benar. Berikut ini diberikan teorema untuk menunjukkan bila mana persamaan
memiliki penyelesaian tunggal dan bilamana penyelesaiannya taktunggal.
Teorema 3.B.2
Diberikan persamaan matriks
dimana
dengan elemen- elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
dan serta
penyelesaian persamaan ada.
1. Jika tiap baris
memiliki lone one, maka penyelesaian sistem
persamaan tunggal. 2.
Jika terdapat elemen-elemen slack pada
, maka sistem memiliki takhingga banyak penyelesaian.
Bukti: 1.
Jika terdapat lone one pada tiap baris
, maka terdapat satu elemen peubah tetap pada tiap baris
. Hal ini berarti bahwa tidak akan ada
elemen-elemen slack. Dengan demikian, semua elemen
tetap dan penyelesaian sistem persamaan tunggal.
2. Misalkan
adalah salah satu elemen slack pada dan
merupakan penyelesaian dari
. Karena
tidak tetap, maka tidak terdapat elemen peubah tetap pada kolom ke
dari . Jadi, persamaan dapat
dipenuhi tanpa menggunakan elemen . Dengan demikian, meskipun
nilai menunjukkan nilai maksimum yang mungkin untuk elemen ini,
setiap nilai yang lebih kecil atau sama dengan tidak akan
mempengaruhi eksistensi persamaan baris yang telah ditetapkan.
Sistem persamaan
dalam Contoh 3.2 dan 3.3 memiliki
penyelesaian tunggal karena pada tiap baris matriks -nya memiliki lone one.
Sedangkan sistem persamaan
dalam Contoh 3.7, 3.8 dan 3.9 memiliki
takhingga banyak penyelesaian karena terdapat elemen slack pada matriks -
nya.
Akibat 3.B
Diberikan persamaan matriks
di mana
dengan elemen- elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
dan serta
. Jika penyelesaian persamaan ada maka sistem memiliki takhingga banyak penyelesaian.
Bukti: Penyelesaian sistem persamaan
ada maka tidak terdapat baris nol pada matriks
Andaikan penyelesaian sistem tunggal maka terdapat lone one pada tiap baris
. Sementara itu, berarti banyaknya persamaan lebih sedikit
daripada banyaknya variabel. Karena itu, pastilah terdapat slack pada matriks . Hal ini bertentangan dengan penyelesaian sistem tunggal. Jadi, haruslah
sistem memliki takhingga banyaknya penyelesaian.
Pembahasan pada bagian A dan B dalam bab ini ditekankan pada sistem persamaan
dengan
dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
dan . Berikut ini diberikan
penyelesaian sistem persamaan untuk kasus-kasus lain. Andaikan terdapat
sedemikian sehingga untuk
setiap dan
maka berlaku hal-hal berikut
1. Jika elemen-elemen pada setiap baris matriks tidak semuanya sama
dengan maka
untuk sebarang . Hal ini berangkat dari
fakta bahwa elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi
. 2.
Jika terdapat baris pada matriks dengan semua elemennya sama dengan maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan sebagai
berikut. Andaikan baris tersebut adalah baris ke- . Persamaan ke-
berbentuk
Mengingat untuk setiap berlaku
maka . Dengan kata lain, persamaan baris ke-
tidak terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian.
Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas.
Contoh 3.10
Diberikan sistem persamaan linear [
] [ ] [ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{ atau
{ atau
{ atau
{ sehingga diperoleh
.
Jadi, semua vektor
yang berbentuk
merupakan penyelesaian sistem di atas.
Contoh 3.11
Diberikan sistem persamaan linear [
] [ ] [ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{ atau
{ atau
{
Karena maka persamaan baris kedua tidak terpenuhi. Jadi, sistem
persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian. Selanjutnya, andaikan terdapat
sedemikian sehingga untuk setiap dan terdapat sedemikian
sehingga maka berlaku hal-hal berikut
1. Jika elemen-elemen pada baris ke- matriks tidak semuanya sama
dengan maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan
sebagai berikut. Karena elemen-elemen pada baris ke- tidak semuanya
sama dengan maka terdapat sedemikian sehingga
. Agar persamaan ke-
terpenuhi maka haruslah . Namun demikian,
karena terdapat sedemikian sehingga
maka persamaan ke-
tidak terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian.
2. Jika elemen-elemen pada baris ke- matriks semuanya sama dengan
maka untuk sebarang
. Hal ini berangkat dari fakta bahwa elemen netral
merupakan elemen penyerap terhadap operasi . Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas.
Contoh 3.12
Diberikan sistem persamaan linear [
] [ ] [ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{ atau
{ atau
{
Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah . Namun demikian,
jika maka persamaan baris pertama tidak terpenuhi sebab .
Jadi, sistem di atas tidak memiliki penyelesaian.
Contoh 3.13
Diberikan sistem persamaan linear [
] [ ] [ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{ atau
{ atau
atau
Jadi, semua vektor
yang berbentuk
merupakan penyelesaian sistem di atas.
Kasus selanjutnya adalah andaikan elemen-elemen pada setiap kolom matriks
tidak semuanya sama dengan dan terdapat sedemikian sehingga
. Jika maka
. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut. Persamaan ke-
berbentuk . Karena
maka haruslah
.
Contoh 3.13
Diberikan sistem persamaan linear [
] [ ] [ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{ atau
{
Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah . Akibatnya,
. Jadi,
merupakan penyelesaian sistem di atas.
C. Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Program MATLAB