Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni: asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni:

7

BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang diperlukan sebagai landasan teori dalam pembahasan mengenai sistem persamaan linear aljabar max- plus dan aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Pembahasan akan dibagi menjadi dua bagian, yakni: definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus serta matriks dan vektor atas aljabar max-plus.

A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus

Berikut ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus. Pembahasan akan diawali dengan definisi semiring. Definisi 2.A.1 Suatu semiring S, adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan dua operasi biner dan yang memenuhi: 1.

S, komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni:

a. b. c. 2.

S, asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni:

a. b. 3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi , yakni: 4. Operasi distributif terhadap distributif kiri dan distributif kanan, yakni berlaku a. distributif kiri b. distributif kanan Contoh 2.A.1 Diberikan dengan himpunan semua bilangan real, := dan := 0. Kemudian, dalam didefinisikan operasi dan yakni berlaku: dan Selanjutnya akan ditunjukkan , merupakan semiring. Bukti: , semiring sebab: 1. komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni: a. b. c. 2. , asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni: a. b. 3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi , yakni: 4. Operasi distributif terhadap , yakni berlaku a. b. , kemudian cukup ditulis . Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai dua semiring khusus, yakni semiring komutatif dan semiring idempoten. Definisi 2.A.3 Suatu semiring S, merupakan semiring komutatif bila dan hanya bila berlaku sifat komutatif terhadap operasi , yakni . Definisi 2.A.4 Suatu semiring S, merupakan semiring idempoten bila dan hanya bila berlaku sifat idempoten terhadap operasi , yakni Contoh 2.A.2 Semiring merupakan semiring komutatif sekaligus semiring idempoten. Bukti: a. Semiring merupakan semiring komutatif sebab : . b. Semiring merupakan semiring idempoten sebab : Lebih lanjut, dalam Subiono 2013 didefinisikan mengenai semifield yang merupakan ragam khusus dari semiring komutatif. Definisi 2.A.5 Suatu semiring komutatif disebut semifield bila dan hanya bila setiap elemen a di mempunyai invers terhadap operasi , yaitu . Contoh 2.A.3 Semiring komutatif merupakan semifield. Bukti: semifield sebab . Struktur aljabar , inilah yang kemudian disebut sebagai aljabar max-plus. Elemen-elemen akan disebut juga sebagai skalar Rudhito, 2003. Sama halnya dalam aljabar biasa, operasi perkalian dikerjakan terlebih dahulu sebelum operasi penjumlahan, demikian juga halnya dalam aljabar max- plus, operasi mempunyai prioritas daripada operasi . Berikut ini diberikan beberapa contoh yang mengilustrasikan operasi-operasi dalam . Tabel 1: Pengoperasian dalam . Operasi dalam Arti Hasil 3 9 4 16 7 6 8 Bila dalam field bilangan real terdapat elemen invers terhadap operasi +, tidak demikian halnya dalam . merupakan semiring idempoten sehingga menyebabkan tidak memiliki invers terhadap operasi . Hal ini ditunjukkan dalam teorema berikut. Teorema 2.A.1 Farlow, 2009 Diberikan semiring . Sifat idempoten dari berakibat bahwa elemen invers terhadap tidak ada . Bukti: memiliki invers terhadap operasi yakni dirinya sendiri di mana Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk setiap elemen dalam tidak memiliki invers yakni dengan mengambil sebarang . Misalkan bahwa mempunyai invers terhadap yaitu , didapat . Tambahkan pada kedua ruas persamaan, didapat Dengan sifat idempoten, persamaan menjadi . Hal ini bertentangan dengan . Hal inilah yang kemudian membedakan aljabar max-plus dengan aljabar konvensional.

B. Matriks dan Vektor atas Aljabar Max-Plus