Bukti: memiliki invers terhadap operasi yakni dirinya sendiri di mana
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk setiap elemen dalam tidak
memiliki invers yakni dengan mengambil sebarang . Misalkan bahwa
mempunyai invers terhadap yaitu , didapat . Tambahkan
pada kedua ruas persamaan, didapat
Dengan sifat idempoten, persamaan menjadi . Hal ini bertentangan
dengan .
Hal inilah yang kemudian membedakan aljabar max-plus dengan aljabar konvensional.
B. Matriks dan Vektor atas Aljabar Max-Plus
Pada bagian ini akan dibahas mengenai matriks dan vektor atas aljabar max plus serta relasi urutan di dalamnya. Himpunan matriks berukuran
dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan untuk
. Elemen pada baris ke
dan kolom ke dinotasikan dengan atau
untuk dan Dalam hal ini matriks direpresentasikan
sebagai berikut
[ ]
Serupa dalam matriks real, pada matriks atas aljabar max-plus juga dapat didefinisikan operasi penjumlahan matriks, perkalian skalar, dan perkalian
matriks. Selain itu, pada matriks atas aljabar max-plus juga dapat didefinisikan transpos matriks.
Definisi 2.B.1
Diberikan matriks ,
dan . Elemen ke-ij dari penjumlahan
matriks , perkalian skalar , serta transpos matriks
didefinisikan sebagai
1. , untuk dan
2. , untuk
dan 3.
, untuk dan
Contoh 2.B.1
Diberikan matriks [
] dan
[ ]
, maka a.
[ ] [
] b.
[ ] [
] c.
[ ]
Definisi 2.B.2
Misalkan dan
maka elemen ke-ij dari perkalian matriks didefinisikan sebagai
, ,
Contoh 2.B.2
Diberikan matriks [
] dan
[ ]
, maka [
] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Teorema 2.B.1 Rudhito, 2003
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar dan serta
sebarang matriks , , dan asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. Sifat-sifat lain dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi operasi dan sifat-
sifat operasi dalam Di bawah ini akan diberikan bukti untuk sifat 4.
Bukti: Misalkan
, dan
[ ]
. Elemen ke-
kolom ke- matriks adalah
[ ]
[ ]
Definisi 2.B.3 Rudhito, 2003
Didefinisikan matriks dengan
untuk semua dan .
Selanjutnya akan dibahas mengenai semimodul atas serta relasi
urutan di dalamnya. Definisi semimodul berikut ini mengikuti definisi dalam Rudhito 2003.
Definisi 2.B.4 Misalkan S,
adalah semiring komutatif dengan elemen netral 0 dan elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif M,
bersama operasi perkalian skalar ●: , dituliskan sebagai ● yang memenuhi aksioma berikut:
dan berlaku:
i ● ● ●
ii ● ● ●
iii ● ● ●
iv ●
v ●
Elemen dalam semimodul dinamakan vektor. Contoh 2.B.3
adalah semimodul atas , dalam hal ini
cukup ditulis dimana
{ [ ]
} Untuk setiap
dan untuk setiap didefinisikan operasi
dengan
dan operasi perkalian skalar ● dengan
●
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1 dan 2 maka dapat disimpulkan bahwa merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral
. Selanjutnya, berdasarkan Teorema 2.B.1 5, 6 dan 7 maka dapat disimpulkan
bahwa merupakan semimodul atas
.
Definisi 2.B.5
Suatu relasi
pada suatu himpunan P dinamakan urutan parsial pada P bila
untuk semua
memenuhi:
1. Sifat reflektif, yaitu:
2. Sifat antisimetris, yaitu: jika dan , maka
3. Sifat transitif, yaitu: jika dan , maka
Elemen dan dikatakan komparabel comparable jika atau .
Sementara itu, dapat juga ditulis . Jika dan maka ditulis
.
Definisi 2.B.6 Bila setiap dua elemen P komparabel, maka urutan parsial
disebut urutan total.
Definisi 2.B.5 dan Definisi 2.B.6 di atas didasarkan pada definisi Wohlgemuth dalam Rudhito, 2003. Berikut ini diberikan suatu teorema yang
berkaitan dengan urutan parsial pada suatu semigrup komutatif idempoten.
Teorema 2.B.2 Rudhito, 2003
Jika semigrup komutatif idempoten maka relasi yang didefinisikan
pada
dengan merupakan urutan parsial pada .
Bukti: Ambil sebarang
1.
Karena idempoten maka .
2.
Jika dan maka dan . Karena
komutatif maka .
3.
Jika dan maka dan . Karena
semigrup maka berlaku sifat asosiatif. Akibatnya,
Sehingga .
Akibat 2.B.1 Rudhito, 2003
Relasi yang didefinisikan pada
dengan
merupakan urutan parsial pada . Lebih lanjut, relasi
pada merupakan urutan total.
Bukti: Karena
merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut Teorema 2.B.2 relasi
pada merupakan urutan parsial. Selanjutnya,
untuk setiap berlaku:
atau
Jadi, relasi merupakan urutan total.
Relasi pada
ekuivalen dengan relasi pada
, sebab
Akibat 2.B.2 Rudhito, 2003
Relasi yang didefinisikan pada
dengan
untuk setiap dan merupakan urutan parsial pada
. Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1, 2, dan 3 nampak bahwa merupakan
semigrup komutatif idempoten sehingga menurut Teorema 2.B.2 relasi pada
merupakan urutan parsial.
Akibat 2.B.3 Rudhito, 2003
Relasi yang didefinisikan pada
dengan
untuk setiap merupakan urutan parsial pada
. Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1, 2, dan 3 nampak bahwa merupakan
semigrup komutatif idempoten sehingga menurut Teorema 2.B.2 relasi pada
merupakan urutan parsial. Relasi
yang didefinisikan pada di atas bukan merupakan urutan
total sebab terdapat matriks [
] dan
[ ]
sedemikian sehingga
[ ] [
] [ ]
tetapi dan .
Demikian juga, relasi yang didefinisikan pada
di atas bukan merupakan urutan total sebab terdapat vektor
r dan sedemikian sehingga
tetapi
dan
Teorema 2.B.3 Subiono, 2013
Diberikan .
Jika dengan
, maka
.
Bukti: Ambil sebarang
dengan
, maka
21
BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
