x e
h x
h h
x h
x
x x
h x
h
x h
h x
h h
h h
1 ln
] 1
[ lim
ln 1
ln lim
] 1
ln[ lim
ln lim
1 1
1
Contoh:
1. Jika hx = gx dan g3 = 5 dan g’3 = 2, carilah h’3.
2. Carilah turunan fungsi: a.
5 6
10 4
12
3 4
5 8
x x
x x
x y
b. y =
6 2
3 2
x
x x
Penyelesaian:
1.
x xg
x g
. 1
x h
x xg
x h
perkalian aturan
11 3
g 3
3 g
3 h
2. a.
5 6
10 4
12
3 4
5 8
dx d
x dx
d x
dx d
x dx
d x
dx d
x dx
d y
=
6 30
16 60
8
2 3
4 7
x x
x x
b.
2 3
2 2
3 2
3 2
pembagian aturan
3 2
6 3
. 2
6 1
2 6
, 2
, 6
2
x x
x x
x x
v uv
v u
y x
v x
x u
v u
y x
x x
y
2 3
2 3
4
6 6
12 6
2
x x
x x
x y
3.2 Aturan Rantai.
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
86
Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan fungsi.
Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g
adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh hx = fgx,
maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh
h ’x = f ’gx. g ’x Dalam notasi Leibniz, jika
y = fu dan u = gx keduanya fungsi yang mempunyai turunan, maka
dx du
du dy
dx dy
.
Bukti:
lim .
lim lim
. lim
. lim
lim lim
x g
x g
f t
x g
t x
g p
x g
f p
x g
f t
x g
t x
g x
g t
x g
x g
f t
x g
f t
x g
t x
g x
g t
x g
x g
f t
x g
f t
x g
f t
x g
f t
t h
t x
h x
h
t p
t t
t t
t
Dengan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus sebelumnya kita akan dapatkan rumus-rumus di bawah ini.
Nomo r
Fungsi Turunan fungsi
1 y = e
x
y’ = e
x
2 y = a
x
, a 1
y’ = a
x
ln a 3
y =
a
log x, a 0, a
1 y’ =
a ln
x 1
Bukti:
1.
x x
e y
y y
y y
x e
y
. 1
1 ln
rantai aturan
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
87
2. Untuk latihan
3. Untuk latihan
3.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik
Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan fungsi eksplisit. kali ini kita akanm membahas turunan fungsi implisit
dan fungsi parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit.
Contoh :
a. Jika
x
2
+ y
2
= 25, carilah
dx dy
b. Jika
x = 2t +1 y = t
2
+ t tentukan
dx dy
.
Penyelesaian:
a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan x
2
+ y
2
= 25 terhadap x,
maka akan kita peroleh:
25
2 2
dx d
y x
dx d
2 2
y dx
d x
dx d
Mengingat y adalah fungsi dari x dan dengan menggunakan aturan
rantai, diperoleh
dx dy
y dx
dy y
dy d
y dx
d 2
2 2
Oleh karena itu 2x + 2y
dx dy
= 0, sehingga
y x
dx dy
b. Jika variabel
x dan y kita turunkan terhadap parameter t, maka akan kita peroleh
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
88
2
dt dx
sedangkan
1 2
t
dt dy
. Karena yang akan kita cari adalah
dx dy
maka
dt dx
dt dy
dx dt
dt dy
dx dy
.
=
2 1
2 t
.
3.3 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
