h f
h f
h f
h f
h h
lim lim
, sehingga
h f
h f
f
h
lim
tidak ada.
Contoh:
a. Tentukan garis singgung kurva
2
x y
di titik 2,4 b.
Tentukan apakah di x = 0 fungsi
2
x y
mempunyai turunan ?
Penyelesaian:
a. Gradien garis singgung kurva
2
x y
di titik 2,4 adalah m =
4 4
lim 2
2 lim
2 2
lim 2
2 2
h h
h h
f h
f f
h h
h
. Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah
4 4
2 4
4
x
y x
y x
x m
y y
b. Karena
lim lim
lim
2 2
h h
h h
f h
f f
h h
h
, maka
2
x y
mempunyai turunan di
x = 0.
Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak
kesulitan dan memakan waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu
dengan menggunakan sifat dan rumus turunan. Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian
turunan suatu fungsi.
1. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
x f
dx d
c x
cf dx
d
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
x g
dx d
x f
dx d
x g
x f
dx d
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
83
3. Aturan selisih.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
x g
dx d
x f
dx d
x g
x f
dx d
4. Aturan hasil kali.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
x f
dx d
x g
x g
dx d
x f
x g
x f
dx d
5. Aturan hasil bagi.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
2
x g
x g
dx d
x f
x f
dx d
x g
x g
x f
dx d
Bukti: 1. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
lim lim
lim x
f dx
d c
h x
f h
x f
c h
x f
h x
f c
h x
cf h
x cf
x cf
dx d
h h
h
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
] [
lim ]
[ lim
] [
lim ]
[ lim
x g
dx d
x f
dx d
h x
g h
x g
h x
f h
x f
h x
g h
x g
x f
h x
f h
x g
x f
h x
g h
x f
x g
x f
dx d
h h
h h
3. Aturan selisih.
Untuk latihan
4. Aturan hasil kali.
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
84
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
] [
lim ]
[ lim
lim ]
[ lim
] [
lim ]
[ ]
[ lim
lim
x f
dx d
x g
x g
dx d
x f
h x
f h
x f
x g
h x
g h
x g
h x
f h
x f
h x
f x
g h
x g
h x
g h
x f
h x
f h
x f
x g
x g
h x
g h
x f
h x
g x
f h
x g
h x
f x
g x
f dx
d
h h
h h
h h
h
5. Aturan hasil bagi.
Untuk latihan. Selanjutnya di bawah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan.
Nomo r
Fungsi Turunan fungsi
1 y = k, k konstanta y’ = 0
2 y = x
n
y’ = nx
n-1
3 y = ln x
y’ =
x 1
Bukti:
1.
lim lim
h k
k h
x f
h x
f y
k y
h h
2.
h x
h x
h x
f h
x f
y x
y
n n
h h
n
lim lim
1 1
2 2
1 1
1 2
2 1
1 2
2 2
1 1
] ...
[ lim
] ...
[ lim
... lim
n n
n n
n n
h n
n n
n n
h n
n n
n n
n n
h
nx h
h x
nx h
h h
x nx
h h
x h
h x
h nx
x
s
3.
h x
h x
h x
f h
x f
y x
y
h h
ln ln
lim lim
ln
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
85
x e
h x
h h
x h
x
x x
h x
h
x h
h x
h h
h h
1 ln
] 1
[ lim
ln 1
ln lim
] 1
ln[ lim
ln lim
1 1
1
Contoh:
1. Jika hx = gx dan g3 = 5 dan g’3 = 2, carilah h’3.
2. Carilah turunan fungsi: a.
5 6
10 4
12
3 4
5 8
x x
x x
x y
b. y =
6 2
3 2
x
x x
Penyelesaian:
1.
x xg
x g
. 1
x h
x xg
x h
perkalian aturan
11 3
g 3
3 g
3 h
2. a.
5 6
10 4
12
3 4
5 8
dx d
x dx
d x
dx d
x dx
d x
dx d
x dx
d y
=
6 30
16 60
8
2 3
4 7
x x
x x
b.
2 3
2 2
3 2
3 2
pembagian aturan
3 2
6 3
. 2
6 1
2 6
, 2
, 6
2
x x
x x
x x
v uv
v u
y x
v x
x u
v u
y x
x x
y
2 3
2 3
4
6 6
12 6
2
x x
x x
x y
3.2 Aturan Rantai.
