2
dt dx
sedangkan
1 2
t
dt dy
. Karena yang akan kita cari adalah
dx dy
maka
dt dx
dt dy
dx dt
dt dy
dx dy
.
=
2 1
2 t
.
3.3 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang
lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai.
Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawah ini.
Nomo r
Fungsi Turunan fungsi
1 y = sin x
y’ = cos x 2
y = cos x y’ = - sin x
Bukti:
1.
h x
h x
h x
f h
x f
y x
y
h h
sin sin
lim lim
sin
x x
h h
h x
h h
h x
h h
h
cos 2
1 .
1 .
cos 2
2 1
. 2
2 sin
lim 2
2 cos
lim 2
2 sin
2 2
cos 2
lim
2.
h x
h x
h x
f h
x f
y x
y
h h
cos cos
lim lim
cos
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
89
x x
h h
h x
h h
h x
h h
h
sin 2
1 .
1 .
sin 2
2 1
. 2
2 sin
lim 2
2 sin
lim 2
2 sin
2 2
sin 2
lim
Contoh:
1. Carilah turunan fungsi: a.
x y
tan
b.
x y
cot
c. x
y sec
d. x
y csc
e.
x y
arcsin
f.
x y
arctan
g. x
arc y
sec
2. Carilah turunan fungsi: a.
ln sin
4
x e
y
x
b.
1 sin
2 2
x e
y
x
Penyelesaian:
1. a.
x x
x x
x x
y x
x x
y
2 2
pembagian aturan
sec cos
sin .
sin cos
cos cos
sin tan
b.
x x
x x
x x
y x
x x
y
2 2
pembagian aturan
csc sin
.cos cos
sin sin
sin cos
cot
c.
x x
x x
x y
x x
y tan
sec cos
sin .
1 .cos
cos 1
sec
2 pembagian
aturan
d.
x x
x x
x y
x x
y cot
csc sin
.cos 1
.sin sin
1 csc
2 pembagian
aturan
e.
2 rantai
aturan
1 1
cos 1
cos 1
sin arcsin
x y
y y
y y
x x
y
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
90 y
x 1
2
1 x
f.
2 2
2 rantai
aturan
1 1
cos sec
1 tan
arctan x
y y
y y
y x
x y
g.
y y
y y
x x
arc y
tan sec
1 sec
sec
rantai aturan
1 1
cot cos
2
x
x y
y y
2. a.
x e
v v
u x
e u
u y
x e
y
x x
x
ln ,
sin ,
ln sin
, ln
sin
4 rantai
aturan 4
ln sin
ln cos
1 4
ln cos
1 4
. ln
cos 1
cos sin
, 1
3 3
4
x e
x e
x e
x e
x e
u dx
du du
du y
x e
x e
v v
dx dv
v dv
d dx
du x
e dx
dv
x x
x x
x x
x x
b.
1 2
sin 2
1 sin
1 cos
1 sin
2 .
2 1
sin 2
. 1
cos .
1 sin
2 .
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 perkalian
dan rantai
aturan 2
2
x xe
x e
x x
xe x
e x
x x
e x
e dx
x d
e x
dx de
y x
e y
x x
x x
x x
x x
x
3.4 Turunan Tingkat Tinggi
