BAB II TEKNIK INTEGRAL
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan
selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan
syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah: 1 teknik substitusi, 2 integral fungsi trigonometri, 3 subtitusi fungsi trigonometri, 4. integral fungsi rasional,
dan 5 integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.
2.1 Metode Substitusi
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a.
n
x
dx =
1
1
n x
n
+ C, asalkan n
-1 atau
b.
dx x
f x
f
n
=
1
1
n x
f
n
+ C, asalkan n
-1 Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya menyesuaikan
dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan
bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode
substitusi. Perhatikan beberapa contoh berikut:
1.
x
1
dx
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
24
Misal u =
x
1
x u
1
2
1
2
x d
u d
dx udu
2
Substitusi bentuk terakhir ke
x
1
dx, diperoleh
du
u u
2
= -2
du u
2
Dengan rumus dasar di dapat
x
1
dx = -2
du u
2
= -2
C u
3
3
= -
C x
3
1 3
2
2.
dx
x
11
12 3
Misal A = 3x + 12 dA = d3x+12
dA = 3 dx dx =
3 dA
Sehingga
dx
x
11
12 3
=
3
11
dA A
=
dA A
11
3 1
=
C A
12
3 1
12
=
C A
12
36 1
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
25
=
C x
36 12
3
12
3.
x Cos 2
2
dx Misal A = 2x
dA = d2x dA = 2 dx
dx =
2 dA
x Cos 2
2
dx =
2 cos
2
dA A
=
AdA
2
cos 2
1
=
dA
A 2
2 cos
1 2
1
=
AdA
dA 2
cos 4
1 4
1
=
C A
A
8
2 sin
4
=
C x
x
8
4 sin
4 2
=
C x
x
8
4 sin
2
4.
x
x 4
4
2
4x+2 dx Jawab
Misal A =
x x
4 4
2
A
2
= 4x
2
4x 2A dA = 8x+4 dx
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
26
2A dA = 24x+2 dx A dA = 4x+2 dx
Sehingga
x
x 4
4
2
4x+2 dx =
A
.A dA =
dA A
2
=
C A
3
3 1
=
3 2
4 4
3 1
x x
+ C
5.
4
3t tdt
Jawab Misal P =
4 3
t
P
2
= 3t + 4
t =
3 4
2
P
dP
2
= d3t+4 2P dp = 3 dt
dt =
Pdp 3
2
, sehingga
4
3t tdt
=
p
dp p
P 3
2 3
4
2
=
dp
P 8
2 9
1
2
6.
2 2
16 x
dx x
Jawab Misal U =
2
16 x
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
27
U
2
= 16 - x
2
x
2
= 16 - U
2
dU
2
= d16 - x
2
2U du = -2xdx dx
=
du x
U
2 2
16 x
dx x
=
u x
u u
16
2
du
=
du x
u
2
16
= -
du
u x
16 1
2
=
2 3
1
3 16
C x
u C
x u
=
C x
x x
x x
3 16
16 16
16
2 2
2
=
C x
x x
x
3 16
16 16
2 3
2 2
1 2
Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.
dt
t t
2 3
2
2.
dx x
x
sin
3.
1
2 3
t dt
4.
dx
x x
2 sin
2 cos
1
2
5.
dt
t t
t t
t 1
3 1
3 sin
1 6
2 2
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
28
6.
9
2
x x
dx
7.
dx
x x
2 3
2 3
8.
dx
x x
16
2
9.
dx x
3 sin
10.
x
xdx
2
cos 16
sin
11.
dx
x 4
2 cos
12.
dx
x x
1 sin
2
13.
dx
x x
1 cos
3 2
14.
dx
x x
7 12
2
3
15.
dx
x x
x 1
3 2
2
16.
dx e
e e
e
x x
x x
2 2
2 2
17.
dt e
e
t t
6 3
4
18.
dx
x x
4
4 2
19.
4
4
x xdx
20.
dx
x x
cos 2
1 sin
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Kategori