6.
9
2
x x
dx
7.
dx
x x
2 3
2 3
8.
dx
x x
16
2
9.
dx x
3 sin
10.
x
xdx
2
cos 16
sin
11.
dx
x 4
2 cos
12.
dx
x x
1 sin
2
13.
dx
x x
1 cos
3 2
14.
dx
x x
7 12
2
3
15.
dx
x x
x 1
3 2
2
16.
dx e
e e
e
x x
x x
2 2
2 2
17.
dt e
e
t t
6 3
4
18.
dx
x x
4
4 2
19.
4
4
x xdx
20.
dx
x x
cos 2
1 sin
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
29
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan
hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah: 1.
x sin
dx = -cos x + C 2.
x cos
dx = sin x + C 3.
tan
x dx = ln
C x
sec
= -ln
C x
cos
4.
cot
x dx = - ln
C x
csc
= ln
C x
sin
5.
x sec
dx = ln
C x
x
tan
sec
6.
csc
x dx = ln
C x
x
cot
csc
Dengan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
a.
, sin xdx
m
dan
xdx
m
cos
dengan m bilangan ganjil atau genap positip Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi m-1 + 1. Selanjutnya
substitusi dengan mengunakan kesamaan identitas
1 cos
sin
2 2
x x
. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga
dengan mudah dapat diselesaikan. Contoh:
1.
xdx
3
sin
Jawab
xdx
3
sin
=
dx x
1 1
3
sin
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
30
=
x x sin
sin
2
dx =
cos cos
1
2
x d
x
=
cos cos
cos 1
2
x d
x d
= -cos x +
C x
3
cos 3
1
2.
dx x
5
cos
Jawab
dx x
5
cos
=
x
1 1
5
cos
dx =
xdx x cos
cos
4
=
sin
sin 1
2 2
x d
x
=
sin sin
sin 2
1
4 2
x d
x x
=
sin sin
sin sin
2 sin
1
4 2
x xd
x xd
x d
= sin x -
C x
x
5 3
sin 5
1 sin
3 2
3.
dx x
2 sin
5
Jawab: Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =
2 du
Sehingga
2
sin 2
sin
5 5
du u
dx x
=
udu
5
sin 2
1
=
udu u sin
sin 2
1
4
=
cos cos
1 2
1
2 2
u d
u
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
31
=
cos
cos cos
2 1
2 1
4 2
u d
u u
=
C u
u u
5 3
sin 10
1 sin
3 1
cos 2
1
=
C x
x x
2 sin
10 1
2 sin
3 1
2 cos
2 1
5 3
Bentuk
xdx
m
cos
,
dx
m
sin
, jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sin
x
2
=
2 2
cos 1
x
dan cos
2 2
cos 1
2
x x
Contoh: 1.
xdx
2
sin
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
xdx
2
sin
=
dx
x 2
2 cos
1
=
xdx
dx 2
cos 2
1 2
1
=
C x
x
4
2 cos
2
2.
xdx
4
cos
Jawab
xdx
4
cos
=
2 2
cos x
dx =
dx x
2
2 2
cos 1
=
dx x
x
2 cos
4 1
2 2
cos 4
1
2
=
xdx dx
x dx
2 cos
4 1
2 2
cos 4
1
2
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
32
= 4
2 sin
4 x
x
+
dx
x 2
4 cos
1
=
C x
x x
x
8
4 sin
2 4
2 sin
4
=
C x
x x
8
4 sin
4 2
sin 4
3
3.
xdx 2
sin
4
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx =
2 du
, sehingga
xdx 2
sin
4
=
2 sin
4
du u
=
du u
2
2 2
cos 1
2 1
=
du u
u 2
cos 2
cos 2
1 4
1 2
1
2
=
udu udu
du 2
cos 8
1 2
cos 4
1 8
1
2
=
du u
udu du
2 4
cos 1
8 1
2 cos
4 1
8 1
=
udu
du udu
du 4
cos 16
1 16
1 2
cos 4
1 8
1
=
C u
u u
u
4
sin 64
1 16
1 2
sin 8
1 8
1
Karena u = 2x, maka
xdx 2
sin
4
=
C x
x x
x
2
4 sin
64 1
2 16
1 2
2 sin
8 1
2 8
1
b.
xdx x
n m
cos sin
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
33
1 cos
sin
2 2
x x
dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m = m-1+1 , jika n ganjil diubah menjadi n-1+1. Jika m dan
n genap digunakan kesamaan setengah sudut sin
x
2
=
2 2
cos 1
x
dan cos
2 2
cos 1
2
x x
sehingga diperoleh hasil pengintegralannya. Contoh
1.
xdx x
2 3
cos sin
Jawab Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
xdx x
2 3
cos sin
=
dx x
2 1
1 3
cos sin
dx x
x
2 2
cos sin
sin
=
xdx
x x
sin cos
cos 1
2 2
=
cos cos
cos
4 2
x d
x x
=
cos
cos cos
cos
4 2
x xd
x xd
=
C x
x
5 3
cos 5
1 cos
3 1
= cos
C x
x
3
1 cos
5 1
2 3
2.
xdx x
3 2
cos sin
Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap
xdx x
3 2
cos sin
=
xdx x
x cos
cos sin
2 2
=
sin
sin 1
sin
2 2
x d
x x
=
sin
sin sin
sin
4 2
x xd
x xd
=
C x
x
5 3
sin 5
1 sin
3 1
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
34
3.
xdx x
3 3
cos sin
Jawab
xdx x
3 3
cos sin
Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap
xdx x
3 3
cos sin
=
xdx x
x cos
cos sin
2 3
=
sin
sin 1
sin
2 3
x d
x x
=
sin
sin sin
sin
5 3
x xd
x xd
=
C x
x
6 4
sin 6
1 sin
4 1
Atau
xdx x
3 3
cos sin
=
dx x
x x
3 2
cos sin
sin
=
cos cos
cos 1
3 2
x xd
x
=
cos cos
cos
5 3
x d
x x
=
C x
x
6 4
cos 6
1 cos
4 1
4.
xdx x
2 2
sin cos
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
xdx x
2 2
sin cos
=
dx x
x 2
2 cos
1 2
2 cos
1
=
dx
x 2
cos 1
4 1
2
=
dx x
2 4
cos 1
1 4
1
=
dx
x 2
4 cos
2 1
4 1
=
C x
x
8
4 cos
2 4
1
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
35
=
C x
x
64
4 cos
8
4.
xdx x
4 4
cos sin
Jawab Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan
kesamaan setengah sudut sin
x
2
=
2 2
cos 1
x
dan cos
2 2
cos 1
2
x x
.
xdx x
4 4
cos sin
=
dx x
x
2 2
2 2
cos sin
=
dx x
x
2 2
2 2
cos 1
2 2
cos 1
=
dx x
x x
x 2
cos 2
cos 2
1 2
cos 2
cos 2
1 16
1
2 2
=
dx x
x 2
cos 2
cos 2
1 16
1
4 2
=
xdx dx
x dx
2 cos
16 1
2 cos
8 1
16 1
4 2
=
dx
x x
dx
2
2 4
cos 1
16 1
2 4
cos 1
8 1
16 1
=
dx
x x
x dx
2 2
4 cos
4 cos
2 1
64 1
2 4
cos 1
8 1
16 1
=
dx
x xdx
dx x
dx 2
8 cos
1 64
1 4
cos 32
1 64
1 2
4 cos
1 8
1 16
1
=
dx x
dx xdx
dx x
dx 8
cos 128
1 128
1 4
cos 32
1 64
1 2
4 cos
1 8
1 16
1
=
dx x
dx xdx
dx xdx
dx dx
8 cos
128 1
128 1
4 cos
32 1
64 1
4 cos
16 1
16 1
16 1
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
36
=
xdx xdx
dx 8
cos 128
1 4
cos 32
1 128
3
=
C x
x x
8
sin 1024
1 4
sin 128
1 128
3
c.
, tan xdx
n
dan
dx x
n
cot
Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 +
x x
2 2
sec tan
dan 1+cot
x x
2 2
csc
. Jika n ganjil ubah menjadi n-1+1 dan gunakan kesamaan 1 +
x x
2 2
sec tan
dan 1+cot
x x
2 2
csc
. Perhatikan contoh berikut:
1.
xdx
3
tan
Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +
x x
2 2
sec tan
Sehingga diperoleh
xdx
3
tan
=
x
2
tan
tanx dx =
1
sec
2
x
tan x dx =
x
2
sec
tan x dx -
tan x dx =
tan x sec
x
2
dx – ln x
sec + C =
x tan
dtan x – ln
x sec
+ C =
C x
x
sec
ln tan
2 1
2
2.
xdx
4
cot
Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot
x x
2 2
csc
, sehingga didapat
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
37
xdx
4
cot
=
dx x
2 2
cot
=
dx
x
2 2
1 csc
=
dx x
x 1
csc 2
csc
2 4
=
dx x
x x
1 csc
2 csc
csc
2 2
2
=
`
1 csc
2 csc
cot 1
2 2
2
dx x
x x
=
dx
x d
x d
x cot
2 cot
cot 1
2
=
C x
x x
x
cot 2
cot 3
1 cot
3
=
C x
x x
cot cot
3 1
3
d.
xdx x
n m
sec tan
, dan
xdx x
n m
csc cot
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan
x x
2 2
sec
atau 1 + cot
x
2
= csc
x
2
. Contoh
1.
dx x
x
4 5
sec tan
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan
x x
2 2
sec
, sehingga diperoleh
dx x
x
4 5
sec tan
=
dx x
x x
2 2
5
sec sec
tan
=
dx x
x x
2 2
5
sec tan
1 tan
=
tan
tan
7 5
x x
dtgnx =
C x
x
8 6
tan 8
1 tan
6 1
2.
dx x
x
4 4
csc cot
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
38
Jawab
dx x
x
4 4
csc cot
=
dx x
x x
csc csc
cot
2 2
4
=
cot 1
cot cot
2 4
x d
x
=
cot cot
cot
4 6
x d
x x
=
C x
x
5 7
cot 5
1 cot
7 1
Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan
x x
2 2
sec
atau 1 + cot
x
2
= csc
x
2
. Contoh:
1.
xdx x
3 3
sec tan
=
xdx x
x x
sec sec
tan tan
2 2
=
sec sec
tan
2 2
x d
x
=
sec sec
1 sec
2 2
x d
x x
=
sec sec
sec
2 4
x d
x x
=
C x
x
3 5
sec 3
1 sec
5 1
2.
xdx x
2 1
3
sec tan
=
x
2
tan
tan x sec
x
2 3
sec x dx =
x
2
sec
-1sec
x
2 3
dsec x =
x
2 1
sec
sec
2 3
x
dsecx =
x x
2 1
2 3
sec 2
sec 3
2
+ C
e.
nxdx mx cos
sin
,
, sin
sin nxdx
mx
nxdx mx cos
cos
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
39
sin mx cos nx =
] sin
[sin 2
1 x
n m
x n
m
sin mx sin nx =
] cos
[cos 2
1 x
n m
x n
m
cos mx cos nx =
] cos
[cos 2
1 x
n m
x n
m
Contoh 1.
sin
3x cos 4x dx =
]
4 3
sin 4
3 [sin
2 1
x x
dx
=
x 7
sin 2
1
+ sin -x dx
=
x 7
cos 14
1
-
cos 2
1
x + C
2.
x x
2 sin
3 sin
dx =
] 2
3 cos
2 3
[cos 2
1 x
x
dx
=
2
1
cos 5x – cos x dx
=
sin 10
1
5x +
sin 2
1
x + C
3.
cos
y cos 4y dy =
y
4 1
[cos 2
1
+cos1-4y] dy
=
] 3
cos 5
[cos 2
1 y
x
dy
=
C y
y
3
sin 6
1 5
sin 10
1
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini. 1.
dx x
4 sin
3
2.
dx x
3 cos
4
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
40
3.
dx x
x 2
cos 2
sin
4 2
4.
dx x
x
5 cos
5 sin
3 3
5.
xdx x
3 2
1
cos 3
sin
6.
dt t
t 2
cos 2
sin
3
7.
xdx
6
tan
8.
dx x
3 cot
4
9.
dx x
x
4
csc cot
10.
xdx x
2 sec
2 tan
2
11.
dx
x x
2
cot tan
12.
xdx x sin
3 sin
13.
ydy 4
csc
4
14.
qdq q
2 4
sec tan
15.
xdx x
3 sin
2 cos
16.
dx x
3 cot
4
17.
zdz z
3 2
1
cos sin
18.
xdx x
2 3
5
sec tan
19.
xdx x
3 cos
cos
20.
dx x
x
2 5
sin 2
sin
2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri
