bab 2 telah direvisi teknik21

BAB II

TEKNIK INTEGRAL

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah: 1) teknik substitusi, 2) integral fungsi trigonometri, 3) subtitusi fungsi trigonometri, 4). integral fungsi rasional, dan 5) integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.

2.1 Metode Substitusi

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu; a.

_

_xn

dx = 1

1 



n xn

+ C, asalkan n



-1 atau

b.



f₍x₎



n f_'(x₎dx



=





1 ) ( 1

 

n x

f n

+ C, asalkan n



-1

Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.

Perhatikan beberapa contoh berikut: 1.

_

1 x _dx

Misal u = 1 x x

u    2 1

) 1 ( )

(_u2 _{d x}

d  



dx udu  2

Substitusi bentuk terakhir ke

_

1 x _{dx, diperoleh}



u(2u)du _{= -2}

_

u2du

Dengan rumus dasar di dapat



1 x _{dx = -2}

_

u2du = -2 u _C

    

3

3

= - (1 x)3 C

3 2

2.

_

₍₃x₁₂₎11dx Misal A = 3x + 12 d(A) = d(3x+12) dA = 3 dx dx =

3

dA

Sehingga

_

₍₃x₁₂₎11dx

=

_

3

11dA A

=

_

A11dA

3 1

= A )C

12 ( 3 1 12

= A12 C

36 1

= x C

36 ) 12 3

( 12

3. Cos22x



dx

Misal A = 2x d(A) = d(2x) dA = 2 dx dx =

2

dA

x Cos22



dx =

2 cos2 _AdA



=

_

_cos2AdA

2 1

=

_

 AdA

2 2 cos 1 2 1

=

_

dA

_

cos2AdA

4 1 4

1

= A AC

8 2 sin 4

= x x C

8 4 sin 4 2

= x  x C

8 4 sin

2

4.

_

4x2 4x _{(4x+2) dx} Jawab

Misal A = 4x2 _4x A2 _{= 4x}2_{ 4x} 2A dA = (8x+4) dx

2A dA = 2(4x+2) dx A dA = (4x+2) dx Sehingga

_

4x2 4x _{(4x+2) dx =}



A_{.A dA} =

_

A2dA = A3C

3 1

= 3 ₄ 2 ₄

3 1

x x  _{+ C}

5.

_

4 3t

tdt

Jawab

Misal P = 3t4

P2 _{= 3t + 4  t =} 3

4

2_ P

d(P2_{) = d(3t+4)}

2P dp = 3 dt  dt = Pdp

3 2

, sehingga



₃tdt_t4

=

_



p

dp p

P ₎

3 2 )( 3

4 ( 2

=



(2P  8)dp

9

1 2

6.

_

 2 2

16 x dx x

Jawab

Misal U = _{16 x}2

U2 _{= 16 - x}2 _{ x}2_{= 16 - U}2 d(U2_{) = d(16 - x}2 ₎

2U du = (-2x)dx dx = du

x U 

_

 2 2

16 x dx x

=



     _ 

u x u u ) 16 ( 2

du

= du x

u







2

16

= -

_

 u du x (16 )

1 ₂

= 2 3 1

3 16

C x u C x

u

   

= C

x x x

x x

  

  

3 16 ) 16 ( 16

16

2 2

2

= C x

x x

x

 

 



3 ) 16 ( ) 16 (

16 2 1/2 2 3/2

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini: 1.

_

t₍t₂₎3/2dt

2. dx

x x



sin 3.

_

1 2

3

t dt

4.

_

 dx

x x

2 sin

2 cos 1

2

5.

_

(6t  1)sin 3t  t 1dt 2

6.

_

 9

2 x x

dx

7.

_

x₍₃x₂₎3/2dx 8.

_

 dx x

x

16

2 9.

_

x dx

3 sin

10.

_

 x

xdx

2

cos 16

sin

11.

_

cos(2x 4)dx 12.

_

xsin(x2 1)dx 13.

_

x2cos(x3 1)dx 14.

_

_{x x}2 _ 12/7_dx

) 3 (

15.

_

  

dx x

x x

1 3 2

2

16.

_

_

  

dx e e

e e

x x

x x

2 2

2 2

17. dt

e e

t t



 6 3

4 18.

_

 dx

x x

4

4 2

19.

_

4

4

x xdx

20.

_

sinx 1 2cosxdx

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah: 1.

_

sinx _{dx = -cos x + C}

2.

_

cosx _{dx = sin x + C} 3.

_

tan_{x dx = ln} secx C

= -ln cosx C

4.

_

cot _{x dx = - ln} cscx C

= ln sinx C

5.

_

secx _{dx = ln} secxtanx C

6.

_

csc_{x dx = ln} cscx cotx C

Dengan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

a.

_

sinm xdx,

dan

_

_cosmxdx

dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1. Selanjutnya substitusi dengan mengunakan kesamaan identitas sin2_xcos2_x1_{. Akhirnya dengan} substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh: 1.

_

_sin3xdx Jawab

= sin2xsinx



dx

=

_

(1 cos2_x)_d( cos_x)

=

_

1_d( cos_x)

_

cos2_d(cos_x)

= -cos x + cos3xC

3 1

2.

_

_cos5xdx Jawab

_

_cos5 xdx

=

_

_cos(51)1 _x

dx = cos4xcosxdx



=

_

(1 sin2_x)2_d(sin_x)

= (1_2sin2_xsin4_x)_d(sin_x)



=

_

1_d(sin_x) 2

_

sin2_xd(sin_x)

_

sin4_xd(sin_x)

= sin x - 3x sin5xC

5 1 sin 3 2

3.

_

sin5(2x)dx

Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = 2

du

Sehingga

_



_

2 sin )

2 (

sin5 _{x dx} 5_udu

=

_

_sin5udu

2 1

=

_

sin usinudu

2

1 4

=

_

(1 cos ) ( cos ) 2

=

_

(1 2cos cos ) ( cos ) 2

1 2_u 4_{u d u}

=  u 3u _sin5uC

10 1 sin 3 1 cos 2 1

=  x x sin 2xC

10 1 2 sin 3 1 2 cos 2

1 3 5

Bentuk

_

_cosmxdx

,

_

_sinmdx

, jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos

2 2 cos 1

2_x  x Contoh:

1.



_sin2xdx

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

_

_sin2xdx

=

_

 xdx

2 2 cos 1

=

_

dx

_

cos2xdx

2 1 2

1

= x  xC

4 2 cos 2 2.

_

_cos4xdx Jawab

_

4 xdx

cos ₌

_

2 2

) (cos x _dx =

_



  



  x 2_dx

2 2 cos 1

=

_

 x  cos 2x)dx

4 1 2

2 cos 4 1

( 2

=

_

dx

_

xdx

_

cos 2xdx

4 1 2

2 cos 4

=

4 2 sin 4

x x

 +

_

 x dx

2 ) 4 cos 1 (

= x x x xC

8 4 sin 2 4

2 sin 4

= x  x  x C

8 4 sin 4

2 sin 4 3

3.

_

sin42xdx

Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = 2

du

, sehingga

_

sin42xdx

=

_

2 sin4udu

=

_

   



  u 2_du

2 2 cos 1 2 1

=

_

(1 2cos2ucos 2u)du

4 1 2

1 2

=

_

du

_

udu

_

cos 2udu

8 1 2

cos 4 1 8

1 2

=

_

_

_

   

   

 udu u du

du

2 4 cos 1 8 1 2

cos 4 1 8

1

=

_

du

_

udu

_

du

_

cos4udu

16 1 16

1 2

cos 4 1 8

1

= u u u sin4uC

64 1 16

1 2 sin 8 1 8 1

Karena u = 2x, maka



sin42xdx

= x  x  x  sin4(2x)C

64 1 ) 2 ( 16

1 ) 2 ( 2 sin 8 1 ) 2 ( 8 1

b.

_

_sinm x_cosnxdx

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas

1 cos

sin2_x 2_{x dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m} ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan

n genap digunakan kesamaan setengah sudut sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos

2 2 cos 1

2_x  x sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

1.

_

_sin3x_cos2xdx Jawab

Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

_

_sin3x_cos2xdx

=

_

_sin(31)1_cos2xdx

_

_sin2x_sinx_cos2dx

=

_

(1 cos2x)cos2xsinxdx = (cos2_x cos4_x)_d(_ cos_x)



=

_

cos2_xd( cos_x)

_

cos4_xd(cos_x)

=  3x _cos5xC

5 1 cos 3 1

= cos x x )C

3 1 cos 5 1

( 2

3

2. _sin2x_cos3xdx



Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap _sin2x_cos3xdx



=

_

sin2xcos2xcosxdx =

_

sin2_x(1 sin2_x)_d(sin_x)

=

_

sin2_xd(sin_x)

_

sin4_xd(sin_x)

= 3x sin5xC

5 1 sin 3 1

3.

_

_sin3x_cos3xdx

Jawab

_

_sin3x_cos3xdx

Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap

_

_sin3x_cos3xdx

=

_

sin3xcos2xcosxdx =

_

sin3 _x(1 sin2 _x)_d(sin_x)

=

_

sin3_xd(sin_x)

_

sin5_xd(sin_x)

= 4x _sin6 xC

6 1 sin 4 1

Atau

_

_sin3x_cos3xdx

=

_

_sin2x_sinx_cos3xdx

=

_

(1 cos2_x)cos3_xd( cos_x)

=

_

(cos3_x cos5_x)_d( cos_x)

=  4 x _cos6 xC

6 1 cos 4 1

4.

_

_cos2x_sin2xdx

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

_

_cos2x_sin2xdx

=

_



  

      

  

dx x x

2 2 cos 1 2

2 cos 1

=

_

(1 cos 2x)dx

4

1 2

=

_

   



 

 x dx

2 4 cos 1 1 4 1

=

_

   

 

 x dx

2 4 cos 2 1 4 1

= x xC   

 



8 4 cos 2 4 1

= x x C

64 4 cos 8 4.

_

_sin4x_cos4xdx

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan

kesamaan setengah sudut sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos

2 2 cos 1

2_x  x_.



_sin4x_cos4xdx

=

_

_(sin2x₎2_(cos2x₎2dx =

_

              dx x x 2 2

2 2 cos 1 2 2 cos 1

=

_

(1 2cos2xcos 2x)(12cos2xcos 2x)dx

16

1 2 2

=

_

(1 2cos 2xcos 2x)dx

16

1 2 4

=

_

dx

_

xdx

_

cos 2xdx

16 1 2 cos 8 1 16

1 2 4

=

_

_

_

        

 x x dx

dx 2 2 4 cos 1 16 1 2 4 cos 1 8 1 16 1

=

_

dx

_

 x

_

₍₁_2cos4x_cos2₄x₎2dx

64 1 2 4 cos 1 8 1 16 1 =

_

_

_

_

_

          

 x dx xdx x dx

dx 2 8 cos 1 64 1 4 cos 32 1 64 1 2 4 cos 1 8 1 16 1

=

_

dx

_

 x

_

dx

_

xdx

_

dx

_

cos8xdx

128 1 128 1 4 cos 32 1 64 1 2 4 cos 1 8 1 16 1 =



dx



dx



xdx



dx



xdx



dx



cos8xdx

128 1 128 1 4 cos 32 1 64 1 4 cos 16 1 16 1 16 1

=

_

dx

_

xdx

_

cos8xdx

128 1 4

cos 32

1 128

3

= x  x sin8xC

1024 1 4

sin 128

1 128

3

c.

_

tannxdx,

dan n xdx



cot

Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + _tan2x_sec2 x _dan 1+cot2x_csc2 x_{. Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +}

x

x 2

2 _sec

tan  dan 1+cot2x_csc2 x_. Perhatikan contoh berikut:

1.

_

_tan3 xdx

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +_tan2 x_sec2 x

Sehingga diperoleh

_

_tan3 xdx

=

_

_tan2 x

tanx dx =

_

(sec2 _x 1)

tan x dx =

_

_sec2 x

tan x dx -

_

tan x dx =

_

tan x sec2x_{dx – ln sec + Cx} =

_

tanx _{d(tan x) – ln} secx _{+ C}

= tan x lnsecx C

2 1 2

2.

_

_cot4 xdx

Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot2x_csc2 x_{, sehingga} didapat

_

_cot4 xdx

= _(cot2x₎2dx



=

_

_(csc2x ₁₎2dx

= (csc4x 2csc2x 1)dx



 

=

_

(csc2x)csc2x 2csc2x1)dx =

_

(1cot2_x)csc2_x 2csc2_x1_dx`

=

_

(1cot2x)d( cotx) 2

_

d( cotx)

_

dx =  x  cot x2cotxxC

3 1 ) cot

( 3

=  cot xcotxxC

3 1 3

d.

_

_tanmx_secnxdx

, dan

_

_cotm x_cscnxdx

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan2x_sec2x _atau

1 + cot2x_{= csc}2_x. Contoh

1.

_

_tan5 x_sec4 xdx

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan2x_sec2x_{, sehingga diperoleh}

_

_tan5 x_sec4 xdx

=

_

_tan5 x_sec2 x_sec2 xdx =

_

_tan5x₍₁_tan2x_)sec2xdx =

_

(tan5 _xtan7 _x)

d(tgnx) = 6 x tan8xC

8 1 tan 6 1

Jawab

_

_cot4 x_csc4xdx

=

_

cot4x(csc2x)(csc2x)dx = cot4_x(cot2_ 1)_d(_ cot_x)



= (cot6_x cot4_x)_d(_ cot_x)



=  7x cot5xC

5 1 cot 7 1

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan2x_sec2x _{atau 1 + cot}2_{x= csc}2_x.

Contoh:

1.

_

3x 3xdx

sec

tan ₌

_

tan2 xtanxsec2 xsecxdx =

_

tan2 _xsec2_d(sec_x)

= (sec2_x 1)sec2_xd(sec_x)





= (sec4_x sec2_x)_d(sec_x)

 

= 5x _sec3xC

3 1 sec 5 1

2.

_

_tan3_xsec1/2_xdx

=

_

_tan2 x

tan x sec3/2x _{sec x dx} =

_

_(sec2 x

-1)sec3/2x_{d(sec x)} =

_

_(sec1/2x

sec3/2_x)

d(secx) = _sec3/2x _2sec 1/2x

3

2 _ 

+ C

e.

_

sinmxcosnxdx_,

_

sinmxsinnxdx,

_

cosmxcosnxdx

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx = [sin( ) sin( ) ] 2

1

x n m x

n

m  

sin mx sin nx = [cos( ) cos( ) ] 2

1

x n m x

n

m  



cos mx cos nx = [cos( ) cos( ) ] 2

1

x n m x

n

m  

Contoh

1.

_

sin_{3x cos 4x dx =}

_

[sin(34) sin(3 4) ] 2

1

x

x dx

=

_

sin7x

2 1

+ sin (-x) dx = cos7x

14 1

 _- cos

2 1

x + C

2.

_

sin3xsin2x_{dx =}

_

 [cos(32)  cos(3 2) ] 2

1

x

x _dx

= 

_

2 1

(cos 5x – cos x) dx = sin

10 1

 _{5x +} sin

2 1

x + C 3.

_

cos _{y cos 4y dy =}

_

[cos(14)y

2 1

+cos(1-4)y] dy =

_

[cos5 cos(3 )]

2 1

y

x dy

= y sin3yC

6 1 5 sin 10

1

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini. 1.

_

sin3(4x)dx

3.

_

sin2(2x)cos4(2x)dx

4.

_

x xdx

          

5 cos 5 sin3 3

5. 2 x 3 xdx

1

cos 3 sin



6.

_

(sin32t) cos2tdt 7.

_

_tan6 xdx

8. cot4(3x)dx



9.

_

_cotx_csc4 xdx 10.

_

tan2xsec22xdx 11.

_

_(tanx_cotx₎2dx 12.

_

sin3xsinxdx 13.

_

csc4 4ydy 14.

_

_tan4_qsec2_qdq

15.

_

cos2xsin3xdx

16.

_



    

dx x

3 cot4

17. 2z 3zdz 1

cos sin



18.

_

5_x 3/2_xdx

sec tan

19.

_

cosxcos3xdx 20.

_

x xdx

          

2 5 sin 2 sin

Metode substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. _a2 _{ x}2 , a



Real

b. _x2_a2 = _a2_x2 , a



Real

c. _x2_{ a}2 , a



Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

2 2 2 _{b x}

a  = 2

2

x b a

      

x b a2 2

 = 2

2

x b a

      

2 2 2_{x b}

a  =

2 2

      

a b

x atau ax2 bxc yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk integral yang integrannya memuat _a2_{ x}2 atau sejenisnya, selesaiannya

menggunakan substitusi x = a sin t, -2 

2  

t _sehingga,

2 2 _x

a  = a2 (asint)2

= _a2(1_ sin2_t)

= a cos t dx = a cos t dt.

Contoh:

1.

_

_{4 x}2 dx

Jawab

Misal x = 2 sin t  sin t = 2

x dx = 2 cos t dt

_{4 x}2 = _{4 4sin}2_{t 2cost}

Sehingga

_

_{4 x}2

 dx =



2cost.2costdt

= 4

_

costcostdt = 4

_

_cos2tdt = 4 (

2 cos sint t

- tC

2 1

) = 2 sint cost – 2t + C = 2( )

2

x

2 4_{ x}2

- 2 arc sin      

2

x + C

= x x xC

     



2 arcsin 2 2

4 2

2.



 2

4x x dx

Jawab



 2

4x x dx

=



  _{( 2)}2

4 x

dx

Misal (x-2) = 2 sin t, dx = 2 cos t dt 4_ (x_ 2)2 _2cost_{, sehingga}



  ( 2)2

4 x

dx

=

_

t tdt

cos 2

cos 2

=

_

dt = t + C

= arc sin x C

2 ) 2 (

3.





6 2

16 x x dx

Jawab





6 2

16 x x dx

=



  ( 3)2

25 x

dx

Misal (x-3) = 5 sin t, dx = 5 cos t dt _{25 (x 3)}2 _{= 5 cos t, sehingga}





6 2

16 x x dx

=

_

t tdt

cos 5

cos 5

=

_

dt = t + C = arc sin

5 3

 x

+ C

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca 1.



 2₎32

1 ( x

dx

2.

_

 dx

x x2

25

3.

_

_x2 _{9 x}2 dx

 4.

_

_x2 _{3 x}2

 dx

Substitusi x = 3sinA`

dx = 3cosAdA _{3 x}2 _{ 3 ( 3sinA)}2

= 3cosA, sehingga

_

_x2 _{3 x}2 dx =

_

3sin2 A 3cosA. 3cosAdA

= 9

_

_sin2A_cos2AdA

= 9

_

   

      

  

dA A A

2 2 cos 1 2

2 cos 1

= (1 cos 2A)dA

4

9 2





=

_

  A)dA

2 4 cos 1 ( 1 4 9

= A

_

cos4AdA

8 9 8 9

= x  AC

    

4 sin 4 . 8

9 3 arcsin 8 9

= x  A A A A C

    

) sin )(cos

cos sin 4 ( 32

9 3 arcsin 8

9 2 2

= 

  

 



 A A A A

x _{(sin cos )(cos}2 _sin2

3 arcsin 8

9

+ C

= x x x x x _C

  

 

      

 

 _

    

 

3 3

) 3 ( 3 3 3 3

arcsin 8

9 2 2 2

5.

_

2 3 2₎

4 ( x x

dx

Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk _a2_x2 atau bentuk yang

sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a tgn t, -2 

2  

t _sehingga,

2 2 _x

a  = a sec t dan dx = a sec2t .

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini. 1.



 2

9 x dx

Jawab

Misal x = 3 tan t , dx = 3 sec2t _dt

₉_x2  3 sec t, sehingga



 2

9 x dx

=

_

t dt

sec 3 sec 3 3

=

_

sectdt

= ln secttant C

= ln 9₃x2 ₃x _{+ C}

= ln ₉x2 x C

2.



 



5 4

) 1 2 (

2 _x x

dx x

Jawab

_

 



5 4

) 1 2 (

2 _x x

dx x

= dx

x x x

x x

) 5 4 1 5

4 2 (

2 2



 _{ }

 

=





  



2) 1 ( 2) 1

( 2

2

2 _x

dx x

( 2)2 1  

x = sec t, sehingga





  



2) 1 ( 2) 1

( 2

2

2 _x

dx x

xdx

=

_

 

_

t tdt t

tdt t

sec sec sec

sec ). 2 (tan

2 2 2

= 2

_

tantsectdt 4

_

sectdt _-

_

sect_dt = 2 sec t – 5 ln secttant C

= 2 x2 4x5 5ln x24x5(x2)C

Kerjakan soal berikut sebagai latihan 1.



_{(9 x}2₎2

dx

 dx

2.

_

_3x2dx 3.

_

x x2 1

 _dx

4.

_

13 4

2

  x x

dx

5.

_

5 2 3

2   x x

xdx

6. dt

t t



4

2

Bentuk integral yang integrannya memuat _x2_{ a}2 atau sejenisnya, selesaiannya

menggunakan substitusi x = a sec t, -2 

2  

t _sehingga,

2 2 _a

x  = a tan t dan dx = a sec t tan t dt.

Contoh:

1.

_

dx x x2 9



Jawab

Misal x = 3 sec t, dx = 3 sec t tan t dt 2 9



x = 3 tan t, sehingga

_

dx x x2 9

 ₌



t tdt

t t

tan sec 3 sec 3

tan 3

= 3

_

_tan2tdt = 3

_

(sec2t 1)dt = 3 tan t – 3 t + C

= 3 x   arc xC

3 sec 3 3

9

2

2.



  2 8

2 x x

dx

Jawab



  2 8

2 _x x

dx

=



  1) 9

(_x 2

dx

Misal (x-1) = 3 sec t, dx = 3 sec t tgn t dt (_x1)2 _ 9 _{= 3 tgn t, sehingga}



  1) 9

(_x 2

dx

=

_

t tdt

tan 3

tan sec 3

=

_

sectdt

= ln secttant C

= ln x  x  x C 3

8 2 3

1 2

1.

_

_x2 _ 1 dx

2.

_

25

2 2

 x

dx x

3.

_

dt

t t

3 2 _{ 4}

4.

_

_{16 16x x}2 dx

 

5.



 6

2 x x

dx

6.



 1

2 2

t t

dt

2.4 Integral Parsial

Integral parsial biasanya digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh



d(uv)



udv



vdu



_

udv

_

d(uv)

_

vdu



_

udvuv

_

vdu

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan

_

udv _tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini 1.

_

xcosxdx

Jawab

Bentuk

_

xcosxdx _{diubah menjadi}

_

_udv, Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v =

_

cosx_{dx = sin x} Akibatnya

_

xcosxdx ₌

_

_{x d(sin x).} Dengan rumus integral parsial

_

udvuv

_

vdu_{, diperoleh}

_

x d(sin x) = x sin x -

_

sinx _d(x) = x sin x -

_

sinx _dx = x sin x + cos x + C

Akhirnya diperoleh

_

xcosxdx _{= x sin x + cos x + C} 2.

_

x 1x _dx

Pilih u = x , du = dx

dv = 1x, v =

_

1x _{dx =} 3₁

3 2

x 

Sehingga

_

x 1x _{dx =}

_

1 ) 3

2

( 3 _x xd

Berdasarkan rumus integral parsial

_

udvuv

_

vdu_{, diperoleh}

_

x 1x _{dx =}

_

1 )

3 2

( 3 _x xd

= 3 _{1 1}

3 2

 x

-

_

1 ( ) 3

23 _{xd x}

= 3 _{1 1}

3 2

 x

-

_

3 ₁xdx

3 2

= 3 _{1 1}

3 2

 x

- 1x)C

5 2 ( 3 2 5

= 3 _{1 1}

3 2

 x

- ( 1x)C

15 4 5

3.

_

sinx _ex _dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx dv = exdx_{, v =}



exdx

= _ex_{, sehingga:}

_

sinx _ex _{dx =}

_

_{sin x d(} x₎

e

= exsinx

_

exd(sinx)

= ex_sinx

_

ex_cosxdx Diperoleh bentuk

_

ex_cosxdx

yang juga diselesaikan dengan metode parsial Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv = exdx_{, v =}

_

_ex_dx

= _ex_{, sehingga:}

_

cosx _ex_{dx =}

_

_{cos x d(e}x₎

= excosx

_

exd(cosx)

= ex_cosx

_

ex₍ _sinx₎dx = excosx

_

exsinx)dx,

Akhirnya diperoleh



sinx _e x_{dx = e}x_sinx

_

_ex_cosxdx



sinx _e x_{dx =} 2 1

 x ex_sin

2 1

C x ex_{cos }

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan. 1.

_

x_sec2xdx

2.

_

_sin3 xdx 3.

_

x_{tan x dx} 4.

_

arc_{tan x dx} 5.

_

x _{ln x dx} 6.

_

_x3 _2x_7dx

7.

_

arc_{cos 2x dx} 8.

_

2

x _e2x_dx

9.

_

 x xdx

2

1 dx

10.

_

cos3xsin3x_dx 11.

_

ex ₁xdx 12.

_

_tan5x_sec2xdx 13.

_

(x 2)cos(x 2)_dx

14. xex dx



2

15.

_

(2x 1)e 13x_dx

16.

_

_sec3 x dx 17.

_

_x3 ₂

4 x dx 18.

_

ln3x _dx

19.

_

x2sinx dx 20.

_

x2 1 x

dx

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = _gf₍(_xx₎) , dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x)



0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = ao + a1x + a2 x2 + a3x3+ … + an xn , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi

rasional adalah fungsi berbentuk _gf₍(_xx₎) yang pembilang dan penyebutnya polinom. Contoh

1. f(x) =

2 3 1

2

 



x x

x

(FUNGSI RASIONAL SEJATI) 2. f(x) =

4 4

4

2 2

 



x x

x

(frTs) 3. f(x) =

x x

x x x

5 1 2

3 3 5

   

(FRTS)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

f(x) =

x x

x x x

5 1 2

3 3 5

   

= x2_3 ₊

x x

x

5 ) 1 14 (

3 _ 

F(x) = _gf₍(_xx₎) , g(x)



0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah: 1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = _gf₍(_xx₎) sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara: - fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)n

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a) - fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax2 _{+bx + c)} - fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax2 _{bx c})(



 px2 _{+ qx + c)} - fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax2 _{bx c})



 n _{dan seterusnya.}

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal : 

) (

) (

x g

x f

... ) (

)

( _{2 2}

2 1

1

1 _

 

 ax b

A b

ax A

(Penyebut kombinasi liner berbeda)

...

) ( ) ( ) ( ) (

) (

3 3 2

2

1 _

     

b ax

A b

ax A b

ax A x

g x f

(kombinasi lenear berulang)

...

) (

) (

2 2 2 2

2 2 1

1 2 1

1

1 _

 

 

 

 

c x b x a

B x A c

x b x a

B x A x

g x f

(kombinasi kuadrat berbeda) 5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan

hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2, … An dan B1, B2, …Bn .

Contoh

1. Tentukan

_

 dx

x 1

2

2

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

_

2 dx =

_

2 dx

=

_

 _

 x dx

B x A ) 1 ( ) 1 (

= dx x x x B x A



(₍_1)₁₎₍ _(₁₎ 1) =

_

     _dx x x B A x B A ) 1 )( 1 ( ) ( ) (

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:



_x22_{ 1}dx =



_

 

 x dx

x ( 1) 1 1 1 =

_

 dx x 1 1 -

_

 dx x 1 1 = ln x 1 lnx1C

= ln C x x _   1 1

2.

_

  , 1 1 dx x x

integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

_

_

     dx x dx x x 1 2 1 1 1 =

_

_

  dx x dx 1 2 = x + ln (x-1)2 _{+ C} Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan beririkut:

1. dx

x x x

x



₍ 3_ 21_{ 6 )} Jawab dx x x x x



₍ 3_ 21_{ 6 )} =



_{ }  dx x x x x ) 3 )( 2 ( 1

= dx x C x B x A



 _   ) 3 ( ) 2 (

= dx x x x x x C x x B x x A

=

_

        dx x x x A x C B A x C B A 6 6 ) 2 3 ( ) ( 2 3 2

Diperoleh A + B + C = 0 A + 3B – 2C = 1 -6A = 1

Atau A = - 6 1

, B = 10

3 , C =

15 2



Sehingga dx

x x x

x



₍ 3_ 21_{ 6 )} = 







_  ₁₅



_{( 3)}

2 ) 2 ( 10 3 6 1 x dx x dx x dx

=  x  x  lnx3C

15 2 2 ln 10 3 ln 6 1

2.

_

 9

2

x dx

3.

_



7 6

2 _x

x dx

4.

_

    dx x x x x 8 2 4 3 2 2

5.

_



 3 4

2 _x

x xdx

6.

_

    dx x x x x x 2 1 3 2 3 2

Contoh (Penyebut integan dalam faktor linear berulang) 1.

_

   _dx x x x 4 4 1

2 , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:



_  _ dx

x x x 4 4 1

2 =



_{ }

 dx x x x ) 2 )( 2 ( 1 =

_

  dx x x 2 ) 2 ( 1

= dx x

B x

A



 _  2) ( 2)2 (

= dx x

B x

A



₍ _{ 2)}2

) 2 (

=

_

   2 ) 2 ( ) 2 ( x A B Ax dx Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga



_  _ dx

x x x 4 4 1

2 =



_{(  2)} _{(x 2)}2 B x A dx =

_

_

 

 x dx

x dx 2 ) 1 ( 3 ) 2 (

= ln C x x     ) 2 ( 3 2 2.

_

   dx x x x 4 4 1 2 2

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:



_  _ dx

x x x 4 4 1 2 2 =

_

     dx x x x 4 4 ) 4 5 ( 1 ₂ =

_

_

    dx x x x dx 4 4 4 5 2

Selanjuntnya

_



_

_    dx x x dx x x x 2

2 _{( 2)}

4 5 4 4 4 5 =

_

 

 x dx

B x A 2 ) 2 ( ) 2 ( =

_

   dx x B x A 2 ) 2 ( ) 2 ( =

_

   _dx x B A Ax 2 ) 2 ( ) 2 (

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:







 _     2

2 _{( 2)}

6 ) 2 ( 5 ) 2 ( 4 5 x x dx x x dx = 5 ln C

x x     ) 2 ( 6 2

3.

_

    dx x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2 3

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:



_ _{ } dx

x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2

3 =



_{( 1)( 1)}2

) 5 3 (    x x dx x

= dx

x C x B x A



 _  

1) ( 1) ( 1)2 ( =

_

        dx x x x C x x B x A 2 2 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 (

= dx

x x C B A x A C x B A



  _ _ 2   2 ) 2 )( 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga



_ _{ } dx

x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2

3 = _x dx

C x B x A



 _  

1) ( 1) ( 1)2 ( = 2 1









_  

 2 ( 2) 4 ( 2)2 1 ) 1 ( x dx x dx x dx

= ½ ln C x x x       ) 2 ( 4 2 ln 2 1 1 4.

_

   2 3 3 6 4 4 4 x x x x

dx ( integran bukan fungsi rasional sejati) Jawab :

_

   2 3 3 6 4 4 4 x x x x

dx =

_

      dx x x x x x

x _{3 2}

2 2 3 4 4 272 68 16 4

=

_

(x34x216x68)dx

+ dx

x x

x



3_ 2

2

4 4 272

= x x 8x 68x

3 4 4

1 4 _ 3_ 2_

+ dx

x x

x



3 _ 2

2

4 4 272

Selanjutnya dicari dx

x x

x



3_ 2

2

4 4 272

= dx

x x

x



₍ 272_0)2₍_4₄₎ 2 =

_

   dx x C x B x A ) 4 ( 2

= dx x x x C x x B x A



  3_ 2 

2 4 ) ( ) 4 )( ( ) 4 ( =

_

     dx x x Cx Bx Bx A Ax 2 3 2 2 4 4 4

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B = 4 1

 _{, C =}

4 1089 Hasil akhir pengintegralan

x x 8x 68x

3 4 4

1 4_ 3_ 2_

- x x C

x  4 ln  4  1089 ln 4 1 1 Soal-soal

Tentukan hasil dari: 1.

_

  dx x x 2 ) 3 ( 1

3. dx

x x

x



_ 2 _ 5 8 ) 1 ( ) 2 (

4. dx

x x

x x



4 _ 3

2

5 2

10 19

5. dx

x x

x



_{( 2}_{)( 4)}2

2 1

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial r qx px C Bx b ax A x g x f       ₂ ) ( ) (

, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh 1.

_

    dx x x x x ) 1 )( 1 4 ( 1 3 6 2 2



_ _ dx x x x x ) 1 )( 1 4 ( 1 3 6 2 2 =

_

  

 x dx

C Bx x A ) 1 ( ) 1 4 ( 2

= dx x x x C Bx x A



( ₍1₄)_(₁₎₍ 2_)(₁₎4 1) 2

= dx x x C A x C B x B A



( 4 )₍₄_( ₁₎₍42 _)₁₎(  ) 2

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:



_ _ dx x x x x ) 1 )( 1 4 ( 1 3 6 2 2 =

_

  

 x dx

x

x ( 1)

1 ) 1 4 ( 2 2 =

_

_

_

   

 x dx x dx

x dx x 1 1 1 ) 1 4 ( 2 2 2

= x  lnx 1 arctgxC

2 1 1 4 ln 4 2 2

2.

_

     dx x x x x x 2 3 2 2 4 2 3

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga



_  _ dx

x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 =

_

     dx x x x x x ) 2 )( 1 ( 2 2 2 2 3 =

_

     dx x D Cx x B Ax 2 1 2 2 =

_

       dx x x x D Cx x B Ax ) 2 )( 1 ( ) 1 )( ( ) 2 )( ( 2 2 2 2 =

_

         dx x x D B x C A x D B x C A ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 3 Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:



_  _ dx

x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 =

_

 

 x dx

x

x 1 2

1 2 2 =

_

_

 

 x dx

x dx

x 1 2

1

2 2

= arctg x + lnx 1C

2 1 2

3.

_

     dx x x x x x ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 8 2 2 3

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x )

1

2

 , sehingg:



_  _  _ dx x x x x x ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 8 2 2 3 =

_

 _  

 x dx

D Cx x B x A ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( 2 =

_





            dx x x x x x D Cx x x B x x A ) 1 )( 2 )( 3 ( ) 2 )( 3 ( ) 1 )( 3 ( ) 1 )( 2 ( 2 2 2 =

_

                  dx x x x D B A x C D B A x D C B A x C B A ) 1 )( 2 )( 3 ( ) 6 3 2 ( ) 6 ( ) 3 2 ( ) ( 2 2 3 Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau A = 2, B = -1, C = 0, D = -1



 _

 

 x dx

D Cx x B x A ) 1 ( ) 2 ( ) 3

( 2 =



_

    

 x x dx

x ( 1)

1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 2 2

= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C = ln(x+3)2_{- ln(x-2) – arctan x + C} = ln 

  ) 2 ( ) 3 ( 2 x x

arctan x + C Jadi

_

     dx x x x x x ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 8 2 2 3

= ln 

  ) 2 ( ) 3 ( 2 x x

arctan x + C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. dx

x x

x x



2 3_4 8 2 2.

_

  dx x x x ) 1 ( 4 2 3

3.

_

 

 

dx x

x

x x

x

16 8

16 5

2

3 5

2 3

4.

_

 

  

dx x

x

x x x

2 3

2

2 4

2 3

5.

_



 

dx x

x x

2 2 3

) 1 (

1

6.

_

  

  

dx x

x x

x x x

) 3 2 )( 5 (

15 5

2 2

2 3

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri Fungsi F(x) = , ( ) 0, ( )

) (

) (

x f x

g x g

x f

 _{dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat} juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi. Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) =

x x

cos sin 1

2. F(x) =

x x

sin cos sin 2 1 

3. F(x) =

x x

cos 2 sin

5 

4. F(x) =

x

sin 2 3

1

 5. F(x) =

x x cos sin

1

2

 

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

_



 x x

dx

cos sin

1 2.

_

 x

dx

cos 2 3.

_



 x x

dx

cos sin

1 4.

_

x x

sin cos sin 2 1 

dx 5.

_

x

sin 2 3

1

 dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi x = 2 arc tan z sehingga dx = dz

z2

1 2

 .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tgn z maka:

z x

       

2 tan

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri 1 + tan 

    

2

2 x

= sec      

2

2 x

 1 + z 

     

2 sec2

2 x

2 2

1 1 2

cos

z x

        

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin2_x cos2_x 1

1 2 cos 2

sin2 2 _

            

 x x _{, sehingga didapat}

sin 2

2

1 1 1

2 z

x

        

= 2 ₂

1 z z



Dengan rumus jumlah cosinus didapat: cos 2x = cos2x _sin2 _x

              

2 sin 2 cos

cos_x 2 x 2 x

2 2 2 ₁

1 1 cos

z z z x

    

= ₂ 2

1 1

z z

 

Dengan rumus jumlah sinus didapat: sin 2x = 2 sin x cos x

 sin x = 2 sin      

2

x

cos      

2

x

= 2 2 _{2 2}

1 1 1 z z

z

 

= ₂

1 2

z z



Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = ₂

1 2

z z

 , cos x = 2 2

1 1

z z

 

Tentukan selesaian dari 1.

_



 x x

dx

cos sin

1 Jawab

_



 x x

dx

cos sin

1 =



    



2 2 2

2

1 1 1

2 1

1 2

z z z

z dz z

=

_

      



2 2 2

2 2

2

1 1 1

2 1

1 1

2

z z z

z z

z z

dz

=

_

 z

dz

2 2

2

=

_

z dz

1

= ln 1 z _{+ C}

= ln  x C

2 tan 1

2.

_

 x

dx

cos 2

Jawab

_

 x

dx

cos

2 =



  

 2 2 2

1 1 2

1 2

z z z dz

=



   

 

2 2 2

2 2

1 1 1

) 1 ( 2

1 2

z z z

z z dz

=

_

3 2 1

2

z dz

=



_     

 2

2

3 1 3 2

z dz

= 3 3 2

arc tan    

 

3 / 1

z

+ C

= 3 2

arc tan 3z + C

= 3 2

arc tan 3(tan x/2) + C

3.

_

_35dx_sinx

=

Jawab

_

 x

dx

sin 5

3

=



 

 2 2

1 2 5 3

1 2

z z z dz

=

_



 z z

dz

10 3

3 2

2

=



_(3z2₁₎₍dz_z3)

=



 _

 z dz

B z

A

) 3 ( ) 1 3 (

=

dz

z z

B A z B A



( ₍₃3_)₁₎₍(_3₎ )

=



 _

 z dz

z ( 3)

1 )

1 3 (

3

= 3 ln

3z1 lnz3 C

Soal-soal

Selidiki kebenarana hasil pengintegralan berikut ini!

1.

_

_{1 2}dx_sinx

=

3 2 2 tan 3 2 2 tan ln 3 3     x x

+ C

2.

_

 x dx sin

2

=

3

1 2 tan 2 arctan 3 2  x

+ C

3.

_

_5dx_3sinx

=

arctan 2 1 4 3 2 tan 5 x 

+ C

4.



_1sindx_{x cosx}

= ln

2 tan 1 2 tan x x 

+ C

5.

_C x x dx    



₃ 4 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4 5

6.

x C

x dx           



tan₂

3 3 arctan 3 3 2 cos 2

7.



x C

x dx

 

 5 arctan( 5tan2)

5 2 2 3

8.

C u u u u xudu    



ln 1_coscos

) cos 1 ( cos sin 2 2

9.

  

 



x x xdx x tan 1 ln tan 1 sec ) tan 2 ( 2 2 2 C x   3 1 tan 2 arctan 3 2

10.



tanxdx

_{= ln}

secx C

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

_



 x x

dx

cos sin

1

2.

_

 x

dx

cos 2

3.

_



 x x

dx

cos sin

1

4.

_

x x

sin cos sin 2

1 

dx

5.

_

x

sin 2 3

1

 dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi x = 2 arc tan z sehingga dx = dz

z2

1 2

 .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tgn z maka:

z x

       

2 tan

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri 1 + tan 

    

2

2 x

= sec      

2

2 x

 1 + z 

     

2 sec2

2 x

2 2

1 1 2

cos

z x

        

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin2_x cos2_x 1

1 2 cos 2

sin2 2 _

            

 x x _{, sehingga didapat}

sin 2

2

1 1 1

2 z

x

        

= 2 ₂ 1 z

z 

Dengan rumus jumlah cosinus didapat: cos 2x = cos2x _sin2 _x

              

2 sin 2 cos

cos_x 2 x 2 x

2 2 2 ₁

1 1 cos

z z z x

    

= ₂

2

1 1

z z  

Dengan rumus jumlah sinus didapat: sin 2x = 2 sin x cos x

 sin x = 2 sin      

2

x

cos      

2

x

= 2 2 _{2 2} 1

1

1 z z

z

 

= ₂ 1

2 z z 

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = ₂ 1

2 z z

 , cos x = 2

2

1 1

z z  

Tentukan selesaian dari 1.

_



 x x

dx

cos sin

1 Jawab

_



 x x

dx

cos sin

1 =



    



2 2

2 2

1 1 1

2 1

1 2

z z z

z dz z

=

_

      



2 2

2 2

2

2

1 1 1

2 1

1 1

2

z z z

z z

z z dz

=

_

 z

dz

2 2

2

=

_

z dz

1

= ln 1 z _{+ C}

= ln  x C

2 tan 1

2.

_

 x

dx

cos 2

Jawab

_

 x

dx

cos

2 =



  



2 2 2

1 1 2

1 2

z z z dz

=



   

 

2 2 2

2 2

1 1 1

) 1 ( 2

1 2

z z z

z z dz

=

_

3 2 1

2 z dz

=



_     

 2

2

3 1 3 2

z dz

= 3 3 2

arc tan 

  

 

3 / 1

z

+ C

= 3 2

arc tan 3z + C

= 3 2

arc tan 3(tan x/2) + C

3.

_

_35dx_sinx

=

Jawab

_

 x

dx

sin 5

3

=



 



2 2

1 2 5 3

1 2

z z z dz

=

_



 z z

dz 10 3

3 2

2

=



_(3z2₁₎₍dz_z3)

=



 _

 z dz

B z

A

) 3 ( ) 1 3 (

=

dz

z z

B A z B A



( ₍₃3_)₁₎₍(_3₎ )

=



 _

 z dz

z ( 3)

1 )

1 3 (

3

= 3 ln

3z1 lnz3 C

= 3 ln

x   x3 C

2 tan ln 1 2 tan 3

Soal-soal

Selidiki kebenarana hasil pengintegralan berikut ini!

1.

_

_{1 2}dx_sinx

=

3 2 2 tan

3 2 2 tan ln 3

3

 

 

x x

+ C

2.

_

 x

dx

sin

2

=

3

1 2 tan 2 arctan 3

2 

x

+ C

3.

_

_5dx_3sinx

=

arctan 2

1

4 3 2 tan 5 x 

+ C

4.



_1sindx_{x cosx}

= ln

2 tan 1

2 tan

x x



+ C

5.

_C

x x

dx

  





₃

4 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4 5

6.

x C

x dx

     

   





tan₂

3 3 arctan 3

3 2 cos 2

7.



x C

x dx

 

 5 arctan( 5tan2) 5

2 2 3

8.

C

u u u

u

xudu

 

 



ln 1_coscos )

cos 1 ( cos

sin 2

2

9.

  

 



x

x xdx x

tan 1 ln tan

1

sec ) tan 2 (

2 2 2

C x

  3

1 tan 2 arctan 3 2

10.



tanxdx

_{= ln}

secx C