Integral Fungsi Rasional. TEKNIK INTEGRAL

19.  x x sin 2 dx 20.   x x 1 2 dx

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk Fx = x g x f , dimana fx , gx adalah fungsi pangkat banyak polinom dan gx  0. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan fx = a o + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk x g x f yang pembilang dan penyebutnya polinom. Contoh 1. fx = 2 3 1 2    x x x FUNGSI RASIONAL SEJATI 2. fx = 4 4 4 2 2    x x x frTs 3. fx = x x x x x 5 1 2 3 3 5     FRTS Pada contoh di atas, 1 disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan 2 dan 3 disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga: fx = x x x x x 5 1 2 3 3 5     = x 3 2  + x x x 5 1 14 3   Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 53 Fx = x g x f , gx  0. Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah: 1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati. 2. Faktorkan penyebut gx dari fungsi rasional Fx = x g x f sampai tidak dapat difaktorkan lagi. 3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, gx dapat berupa kombinasi antara: - fungsi linear berbeda, gx = x-ax-b….x-t dstnya. - fungsi linear berulang, gx = x-a n = x-ax-ax-a … x-a - fungsi liner dan kuadrat, gx = x-aax 2 +bx + c - fungsi kuadrat berbeda, gx = ax 2 c bx   px 2 + qx + c - fungsi kuadrat berulang, gx = ax 2 c bx   n dan seterusnya. 4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya, Misal :  x g x f ... 2 2 2 1 1 1     b ax A b ax A Penyebut kombinasi liner berbeda ... 3 3 2 2 1        b ax A b ax A b ax A x g x f kombinasi lenear berulang ... 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1          c x b x a B x A c x b x a B x A x g x f kombinasi kuadrat berbeda 5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A 1 , A 2 , … A n dan B 1 , B 2 , …B n . Contoh 1. Tentukan   dx x 1 2 2 Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:   1 2 2 x dx =    dx x x 1 1 2 Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 54 =     dx x B x A 1 1 = dx x x x B x A       1 1 1 1 =       dx x x B A x B A 1 1 Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:   1 2 2 x dx =      dx x x 1 1 1 1 =   dx x 1 1 -   dx x 1 1 = ln C x x     1 ln 1 = ln C x x    1 1 2.    , 1 1 dx x x integran fungsi rasional tidak sejati, maka:        dx x dx x x 1 2 1 1 1 =     dx x dx 1 2 = x + ln x-1 2 + C Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan beririkut: 1. dx x x x x     6 1 2 3 Jawab dx x x x x     6 1 2 3 =     dx x x x x 3 2 1 = dx x C x B x A      3 2 = dx x x x x x C x x B x x A          6 2 3 3 2 2 3 Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 55 =          dx x x x A x C B A x C B A 6 6 2 3 2 3 2 Diperoleh A + B + C = 0 A + 3B – 2C = 1 -6A = 1 Atau A = - 6 1 , B = 10 3 , C = 15 2  Sehingga dx x x x x     6 1 2 3 =         3 15 2 2 10 3 6 1 x dx x dx x dx = C x x x       3 ln 15 2 2 ln 10 3 ln 6 1 2.   9 2 x dx 3.    6 7 2 x x dx 4.      dx x x x x 8 2 4 3 2 2 5.    4 3 2 x x xdx 6.      dx x x x x x 2 1 3 2 3 2 Contoh Penyebut integan dalam faktor linear berulang 1.     dx x x x 4 4 1 2 , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:     dx x x x 4 4 1 2 =     dx x x x 2 2 1 =    dx x x 2 2 1 = dx x B x A     2 2 2 = dx x B x A     2 2 2 Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 56 =     2 2 2 x A B Ax dx Sehingga diperoleh A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga     dx x x x 4 4 1 2 =     2 2 2 x B x A dx =      dx x x dx 2 1 3 2 = ln C x x     2 3 2 2.     dx x x x 4 4 1 2 2 Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:     dx x x x 4 4 1 2 2 =       dx x x x 4 4 4 5 1 2 =       dx x x x dx 4 4 4 5 2 Selanjuntnya         dx x x dx x x x 2 2 2 4 5 4 4 4 5 =     dx x B x A 2 2 2 =     dx x B x A 2 2 2 =     dx x B A Ax 2 2 2 Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:          2 2 2 6 2 5 2 4 5 x x dx x x dx = 5 ln C x x     2 6 2 Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 57 3.      dx x x x dx x 1 5 3 2 3 Integran fungsi rasional sejati, sehingga:      dx x x x dx x 1 5 3 2 3 =  2 1 1 5 3    x x dx x = dx x C x B x A       2 1 1 1 =          dx x x x C x x B x A 2 2 1 1 1 1 1 1 = dx x x C B A x A C x B A          2 2 2 1 2 Diperoleh A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -12, C = 4, sehingga      dx x x x dx x 1 5 3 2 3 = dx x C x B x A       2 1 1 1 = 2 1         2 2 4 2 2 1 1 x dx x dx x dx = ½ ln C x x x       2 4 2 ln 2 1 1 4.     2 3 3 6 4 4 4 x x x x dx integran bukan fungsi rasional sejati Jawab :     2 3 3 6 4 4 4 x x x x dx =        dx x x x x x x 2 3 2 2 3 4 4 272 68 16 4 =     dx x x x 68 16 4 2 3 + dx x x x    2 3 2 4 4 272 = x x x x 68 8 3 4 4 1 2 3 4    + dx x x x    2 3 2 4 4 272 Selanjutnya dicari dx x x x    2 3 2 4 4 272 = dx x x x     4 4 272 2 2 =     dx x C x B x A 4 2 Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 58 = dx x x x C x x B x A       2 3 2 4 4 4 =       dx x x Cx Bx Bx A Ax 2 3 2 2 4 4 4 Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B = 4 1  , C = 4 1089 Hasil akhir pengintegralan x x x x 68 8 3 4 4 1 2 3 4    - C x x x     4 ln 4 1089 ln 4 1 1 Soal-soal Tentukan hasil dari: 1.    dx x x 2 3 1 3. dx x x x    5 2 8 1 2 4. dx x x x x     3 4 2 5 2 10 19 5. dx x x x     2 4 2 2 1 Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial r qx px C Bx b ax A x g x f       2 , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C. Contoh 1.      dx x x x x 1 1 4 1 3 6 2 2 Karena integran fungsi rasional sejati maka Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 59      dx x x x x 1 1 4 1 3 6 2 2 =      dx x C Bx x A 1 1 4 2 = dx x x x C Bx x A        1 1 4 1 4 1 2 2 = dx x x C A x C B x B A         1 1 4 4 4 2 2 Diperoleh A+4B = 6, B+4C = -3, A+C = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:      dx x x x x 1 1 4 1 3 6 2 2 =      dx x x x 1 1 1 4 2 2 =         dx x dx x x dx x 1 1 1 1 4 2 2 2 = C arctgx x x      1 ln 2 1 1 4 ln 4 2 2 2.       dx x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga       dx x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 =       dx x x x x x 2 1 2 2 2 2 3 =       dx x D Cx x B Ax 2 1 2 2 =         dx x x x D Cx x B Ax 2 1 1 2 2 2 2 2 =           dx x x D B x C A x D B x C A 2 1 2 2 2 2 2 3 Diperoleh A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:       dx x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 =     dx x x x 2 1 1 2 2 =      dx x x dx x 2 1 1 2 2 Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 60 = arctg x + C x   1 ln 2 1 2 3.       dx x x x x x 1 2 3 1 8 2 2 3 Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda x+3 dan x-2 dengan kuadrat x 1 2  , sehingg:       dx x x x x x 1 2 3 1 8 2 2 3 =        dx x D Cx x B x A 1 2 3 2 =                dx x x x x x D Cx x x B x x A 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 2 2 =                    dx x x x D B A x C D B A x D C B A x C B A 1 2 3 6 3 2 6 3 2 2 2 3 Maka diperoleh A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau A = 2, B = -1, C = 0, D = -1        dx x D Cx x B x A 1 2 3 2 =         dx x x x 1 1 2 1 3 2 2 = 2 lnx+3 – lnx-2 – arctan x + C = lnx+3 2 - lnx-2 – arctan x + C = ln    2 3 2 x x arctan x + C Jadi       dx x x x x x 1 2 3 1 8 2 2 3 = ln    2 3 2 x x arctan x + C Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan berikut ini: 1. dx x x x x     4 8 2 3 2 2.    dx x x x 1 4 2 3 Kalkulus Integral by Dwi Purnomo- 61 3.      dx x x x x x 16 8 16 5 2 3 5 2 3 4.       dx x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 5.     dx x x x 2 2 3 1 1 6.        dx x x x x x x 3 2 5 15 5 2 2 2 3

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri