1.
1
2
x
dx 2.
25
2 2
x
dx x
3.
dt t
t
3 2
4
4.
2
16 16
x x
dx
5.
6
2
x x
dx
6.
1
2 2
t t
dt
2.4 Integral Parsial
Integral parsial biasanya digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = fx dan v = gx.
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = duv
duv = u dv + v du Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
vdu udv
uv d
vdu uv
d udv
vdu uv
udv
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan
dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan
udv
tersebut.
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
49
Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini
1.
xdx x cos
Jawab Bentuk
xdx x cos
diubah menjadi
udv, Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v =
x cos
dx = sin x Akibatnya
xdx x cos
=
x dsin x. Dengan rumus integral parsial
vdu uv
udv
, diperoleh
x dsin x = x sin x -
x sin
dx = x sin x -
x sin
dx = x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh
xdx x cos
= x sin x + cos x + C 2.
x
x 1
dx Pilih u = x , du = dx
dv =
x
1
, v =
x
1
dx =
3
1 3
2 x
Sehingga
x
x 1
dx =
1
3 2
3
x xd
Berdasarkan rumus integral parsial
vdu uv
udv
, diperoleh
x
x 1
dx =
1
3 2
3
x xd
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
50
=
3
1 1
3 2
x
-
1
3 2
3
x d
x
=
3
1 1
3 2
x
-
dx
x
3
1 3
2
=
3
1 1
3 2
x
-
C x
1
5 2
3 2
5
=
3
1 1
3 2
x
-
C x
1
15 4
5
3.
x sin
e
x
dx Pilih u = sin x maka du = dsinx = cos dx
dv =
dx e
x
, v =
dx e
x
=
x
e
, sehingga:
x sin
e
x
dx =
sin x d
x
e
=
sin
sin x
d e
x e
x x
=
xdx
e x
e
x x
cos sin
Diperoleh bentuk
xdx e
x
cos
yang juga diselesaikan dengan metode parsial Pilih u = cos x , dv = dcos x = sin x dx
dv =
dx e
x
, v =
dx e
x
=
x
e
, sehingga:
x cos
e
x
dx =
cos x d
x
e
=
cos
cos x
d e
x e
x x
=
dx x
e x
e
x x
sin cos
=
,
sin cos
dx x
e x
e
x x
Akhirnya diperoleh
x sin
e
x
dx =
xdx
e x
e
x x
cos sin
=
x
e
x
sin
,
sin cos
dx x
e x
e
x x
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
51
x sin
e
x
dx =
2 1
x
e
x
sin 2
1 C
x e
x
cos
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan. 1.
dx x
x
2
sec
2.
dx x
3
sin
3.
x
tan x dx 4.
arc
tan x dx 5.
x
ln x dx 6.
3
7 2x
x
dx 7.
arc
cos 2x dx 8.
2
x
e
x 2
dx 9.
x
xdx 2
1
dx 10.
x x
3 sin
3 cos
dx 11.
dx
x e
x
1
12.
xdx x
2 5
sec tan
13.
2 cos
2 x
x
dx 14.
dx xe
x
2
15.
e
x 1
2
x 3
1
dx 16.
x
3
sec
dx 17.
3
x
2
4 x
dx 18.
x 3
ln
dx
Kalkulus Integral by Dwi Purnomo-
52
19.
x x sin
2
dx 20.
x
x 1
2
dx
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Kategori