bab ii telah direvisi teknik2

BAB II

TEKNIK INTEGRAL

Terdapat beberapa macam teknik atau cara pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan (integral tak tentu) suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah:

1) Teknik substitusi,

2) Integral fungsi trigonometri, 3) Subtitusi fungsi trigonometri, 4) Integral parsial 5) Integral fungsi rasional, dan

6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri

2.1 Teknik Substitusi

Teknik substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu; a.

_

n

x _{dx =} 1

1 



n xn

+ c, asalkan n



-1 atau b.



f₍x₎



n f_'(x₎dx



=





1 ) ( 1



 n

x

f n

+ c, asalkan n



-1

Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.

1.

_

1 x _dx

Misal u = 1 x

x

u  

 2 1

) 1 ( ) ( 2

x d u

d  



dx udu  2

Substitusi bentuk terakhir ke

_

1 x _{dx, diperoleh}



u(2u)du _{= -2}

_

u2du

Dengan rumus dasar di dapat



1 x _{dx = -2}

_

u2du = -2 u _c

    

3

3

= - (1 x)3 c

3 2

2.

_

₍₁₂x₎3dx ₌



x



2dx

3

2 1



 Substitusi E =

_

_

2

3 2 1 x

 _E2 =

_

_12x

_

3  d(_E2_{) = d}

_

_{1 2x}

_

3



 2E dE = 3



1 2_x



2(2)

 dx

 dx = _{3(1 2x)}2

EdE





_

₍₁₂x₎3dx ₌



E dE

x E

2

) 2 1 ( 3  = dE

E E



4 3 2

3

=

_

E23dE

3 1

= E c

   

 

   

 

3 5 3 1 3

= 5/3

5 1

E + c

=

_

_x

_

_c   

 _ 3

5 2 3

2 1 5 1

2.

_

₍₃x₁₂₎11dx Misal A = 3x + 12 d(A) = d(3x+12) dA = 3 dx dx =

3

dA

Sehingga

_

₍₃x₁₂₎11dx =

_

3

11dA

A

=

_

A11dA

3 1

= A )c

12 ( 3 1 12

= A12 c

36 1

= x c

36 ) 12 3

( 12

3. Cos22x



dx

Misal A = 2x d(A) = d(2x) dA = 2 dx dx =

2

dA

x

2 cos2



dx =

2 cos2 _AdA



=

_

_cos2 A _dA 2 1

=

_

_cos2AdA

2 1

=

_

 AdA

2 2 cos 1 2 1

=

_

dA

_

cos2AdA

4 1 4

1

= A Ac

8 2 sin 4

= x  x c

8 4 sin 4 2

= x  xc

8 4 sin

2

4.

_

4x2 4x

(4x+2) dx Jawab

Misal A = 4x2 4x



A2 _{= 4x}2_{ 4x} 2A dA = (8x+4) dx 2A dA = 2(4x+2) dx A dA = (4x+2) dx Sehingga

_

4x2 4x _{(4x+2) dx =}



A_{.A dA} =

_

A2dA = A3c

3 1

= 3 ₄ 2 ₄

3 1

x x  _{+ c} 5.

_

4 3t

tdt

Jawab

Misal P = 3t4

P2 _{= 3t + 4  t =} 3

4

2_

P

d(P2 _{) = d(3t+4)}

2P dp = 3 dt  dt = Pdp

3 2



₃tdt_t4 =





p

dp p P

) 3 2 )( 3

4 (

2

=

_

(2P  8)dp

9

1 ₂

6.

_

 2 2

16 x dx x

Jawab

Misal U = _{16 x}2

U2 _{= 16 - x}2 _{ x}2_{= 16 - U}2 d(U2_{) = d(16 - x}2 ₎

2U du = (-2x)dx dx = du

x U



_

 2 2

16 x dx x

=



     _ 

u x u u ) 16 ( 2

du

= du x

u







2

16

= -

_

 u du

x (16 )

1 2

= 2 3 1

3 16

C x u C x

u

   

= C

x x x

x x

  

  

3 16 ) 16 ( 16

16

2 2

2

= C x

x x

x

 

 



3 ) 16 ( ) 16 (

16 2 1/2 2 3/2 7.

_

t₍t₂₎3/2dt

Jawab

Misal M = (t+2)2 3

M2 _{= (t+2)}3 2M dM = 3(t+2)2 _dt



t₍t₂₎3/2dt =

_

2)2 (

3 2 . .

t MdM t

M

=

_

 M dM

t

t 2

2

) 2 ( 3

2

= 2 ₃ 3

1 ) 2 ( 3

2 _M

t t

 + C

= 2 9 2( 2)

) 2 ( 9

2



 t

t t

+ C = t t 2 C

5

) 2 ( 9 2

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1) dx

x x



sin 2)

_

1 2

3

t dt

3)

_

 dx

x x

2 sin

2 cos 1

2

4)

_

 

  

dt t

t

t t t

1 3

1 3

sin ) 1 6 (

2 2

5)

_

 9

2

x xdx

8.

_

x₍₃x₂₎3/2dx 9.

_

 dx

x x

16

2

10.

_

x dx

3 sin

11.

_

 x

xdx 2

cos 16

sin

12.

_

cos(2x 4)dx 13.

_

xsin(x2 1)dx 14.

_

x2cos(x3 1)dx

15.

_

_x(x2 _3)12/7_dx

16.

_

  

dx x

x x

1 3 2

2

17.

_

_  

dx e e

e e

x x

x x

2 2

2 2

18. dt

e e

t t



 6 3

4 19.

_

 dx

x x

4

4 2

20.

_

4

4 x

xdx

21.

_

sinx 1 2cosxdx

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

1.

_

sinxdx cosxc 2.

_

cosxdxsinxc 3.

_

tanxdxlnsecx c =  lncosx c

4.

_

cotx dx lncscx c = lnsinx c

5.

_

secxdxlnsecxtanx c 6.

_

cscxdxlncscx cotx c

Berdasarkan bentuk-bentuk integral di atas, selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

a. Bentuk

_

sinmxdx,



_cosmxdx

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas

1 cos

sin2_x 2_{x atau sin}2_{x = 1 - cos}2_{x atau cos}2_{x = 1 - sin}2_{x dan .}

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh:

m bilangan ganjil 1.

_

_sin3xdx Jawab

_

_sin3xdx

=

_

_sin(31)1 xdx = sin2xsinx



dx

=

_

(1 cos2_x)_d( cos_x)

=

_

1_d( cos_x)

_

cos2_d(cos_x)

=  x cos3 xC

3 1 cos 2.

_

_cos5xdx

Jawab

_

_cos5 xdx

=

_

_cos(51)1 _x

dx = cos4xcosxdx



=

_

(1 sin2_x)2_d(sin_x)

= (1_2sin2_xsin4_x)_d(sin_x)



=

_

1_d(sin_x) 2

_

sin2_xd(sin_x)

_

sin4 _xd(sin_x)

= x 3x sin5 xc

5 1 sin 3 2

sin

3.

_

sin5(2x)dx Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = 2

du

Sehingga

_



_

2 sin )

2 (

=

_

_sin5udu

2 1

=

_

sin usinudu

2

1 4

=

_

(1 cos ) ( cos ) 2

1 2_u 2_{d u}

=

_

(1 2cos cos ) ( cos ) 2

1 2_u 4_{u d u}

=  u 3u _sin5uC

10 1 sin 3 1 cos 2 1

=  x x sin 2xC

10 1 2 sin 3 1 2 cos 2

1 3 5

Bentuk

_

_cosmxdx

,

_

_sinmdx

, jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos

2 2 cos 1

2_x  x Contoh:

1.

_

_sin2xdx

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

_

_sin2xdx

=

_

 xdx

2 2 cos 1

=

_



  

 

 x dx

2 2 cos 2 1

=

_

dx

_

cos2xdx

2 1 2

1

= x  x C

4 2 sin 2 2.

_

_cos4xdx Jawab

_

_cos4 xdx

=

_

_(cos2 _x)2

dx =

_



  



  x 2_dx

2 2 cos 1

=

_

   

 

 x x dx

4 2 cos _ 2

2 cos 4 1

=

_

dx

_

xdx

_

cos 2xdx

4 1 2

2 cos 4

=

4 2 sin 4

x x

 +

_



  

  

dx x

2 4 cos 1 4 1

= x xx xC

32 4 sin 8 4

2 sin 4

= x x  xC

32 4 sin 4

2 sin 8 3 3.

_

sin42xdx

Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = 2

du

, sehingga

_

sin42xdx

=

_

2 sin4udu

=

_

   



  u 2_du

2 2 cos 1 2 1

=

_

(1 2cos2ucos 2u)du

4 1 2

1 2

=

_

du

_

udu

_

cos 2udu

8 1 2

cos 4 1 8

1 2

=

_

_

_

   

   

 udu u du

du

2 4 cos 1 8 1 2

cos 4 1 8

1

=

_

du

_

udu

_

du

_

cos4udu

16 1 16

1 2

cos 4 1 8

1

= u u u sin4uC

64 1 16

1 2 sin 8 1 8 1

Karena u = 2x, maka



sin42xdx

= x  x  x  sin4(2x)C

64 1 ) 2 ( 16

1 ) 2 ( 2 sin 8 1 ) 2 ( 8 1 Soal-soal

Tentukan

1.

_

sin3(4x)dx

2.

_



     x _dx

2 sin4

3.

_



    

dx x

3 cos4

4.

_



    

dx x

5 2 cos3

b. Bentuk

_

_sinmx_cosnxdx

Bentuk ini mempunyai ciri-ciri m atau n ganjil dan m dan n genap sekaligus.

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas

1 cos

sin2_x 2_{x dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m} ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1.

Jika m dan n genap digunakan kesamaan setengah sudut 2

2 cos 1

sin2_{x }  x

dan

2 2 cos 1

cos2 _x  x

sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

1.

_

_sin3x_cos2xdx Jawab

Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

_

_sin3x_cos2xdx

=

_

_sin(31)1_cos2xdx

_

_sin2x_sinx_cos2xdx

=

_

(1 cos2x)cos2xsinxdx = (cos2_x cos4_x)_d(_ cos_x)



=

_

cos2_xd( cos_x)

_

cos4_xd(cos_x)

= 

_

cos2_xd(cos_x)

_

cos4_xd(cos_x)

(teorema 1) =  3x cos5xC

5 1 cos 3 1

(hasil teorema 1) = x x )C

3 1 cos 5 1 ( cos3 2 2. 2x 3xdx

cos sin



Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap _sin2x_cos3xdx



=

_

sin2xcos2xcosxdx =

_

sin2_x(1 sin2_x)_d(sin_x)

=

_

sin2_xd(sin_x)

_

sin4_xd(sin_x)

= 3x sin5xC

5 1 sin 3 1

3.

_

_sin3x_cos3xdx Jawab



_sin3x_cos3xdx

Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap



_sin3 x_cos3xdx

=

_

sin3xcos2xcosxdx =

_

sin3 _x(1 sin2 _x)_d(sin_x)

=

_

sin3_xd(sin_x)

_

sin5_xd(sin_x)

= 4 x _sin6xC

6 1 sin 4 1 Atau

_

_sin3x_cos3xdx

=

_

_sin2x_sinx_cos3xdx

=

_

(1 cos2_x)cos3_xd( cos_x)

=

_

(cos3  cos5 ) ( cos )

x d

x x

=  4 x cos6 xC

6 1 cos 4 1 4.

_

_cos2 x_sin2x dx

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

_

_cos2x_sin2xdx

=

_



  

      

  

dx x x

2 2 cos 1 2

2 cos 1

=

_

(1 cos 2x)dx

4

1 2

=

_

   



 

 x dx

2 4 cos 1 1 4 1

=

_

   

 

 x dx

2 4 cos 2 1 4 1

= x xC

  

 



8 4 cos 2 4 1

= x x C

32 4 cos 8 4.

_

_sin4x_cos4 x dx Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos

2 2 cos 1

2_x  x .



_sin4x_cos4xdx

=

_

_(sin2x₎2_(cos2x₎2dx =

_



  

      



  x 2 x 2_dx

2 2 cos 1 2

2 cos 1

=

_

(1 2cos2xcos 2x)(12cos2xcos 2x)dx

16

1 2 2

=

_

(1 2cos 2xcos 2x)dx

16

1 2 4

=

_

dx

_

xdx

_

cos 2xdx

16 1 2

cos 8 1 16

1 2 4

=

_

_

_



  

   



 x x dx

dx

2

2 4 cos 1 16

1 2

4 cos 1 8 1 16

1

=

_

dx

_

 x

_

₍₁_2cos4x_cos2₄x₎2dx

64 1 2

4 cos 1 8 1 16

1

=

_

_

_

_

_



  

   

 



 x dx xdx x dx

dx

2 8 cos 1 64

1 4

cos 32

1 64

1 2

4 cos 1 8 1 16

1

=

_

dx

_

 x

_

dx

_

xdx

_

dx

_

cos8xdx

128 1 128

1 4

cos 32

1 64

1 2

4 cos 1 8 1 16

1 =



dx



dx



xdx



dx



xdx



dx



cos8xdx

128 1 128

1 4

cos 32

1 64

1 4

cos 16

1 16

1 16

1

=

_

dx

_

xdx

_

cos8xdx

128 1 4

cos 32

1 128

3

= x  x sin8xC

1024 1 4

sin 128

1 128

3

c.



tann x dx,

dan n x dx



cot

Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + _tan2x_sec2 x

dan 1+cot2x_csc2 x_{. Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +} x

x 2

2 _sec

tan  dan 1+cot2x_csc2 x_.

Perhatikan contoh berikut: 1.

_

_tan3 xdx

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +_tan2x_sec2 x

Sehingga diperoleh



_tan3 xdx

= tan2 xtanxdx



= (sec2 x 1)tanxdx





=

_

sec2 xtanxdx

_

tanxdx =

_

tanxsec2 x dx lnsecx c =

_

tanx dtanx lnx c = tan x lnsecx C

2 1 ₂ 2.

_

_cot4 xdx

Karena pangkat n genap, maka gunakan kesaman identintas _1cot2x_csc2x_,

sehingga didapat

_

_cot4 xdx

= _(cot2x₎2dx



=

_

_(csc2 x ₁₎2dx

= (csc4x 2csc2x 1)dx



 

=

_

(csc2x)csc2x 2csc2x1)dx =



(1cot2 _x)csc2_x 2csc2_x1_dx`

=

_

(1cot2x)d( cotx) 2

_

d( cotx)

_

dx =  x  cot x2cotxxC

3 1 ) cot

( 3

=  cot xcotxxC

3 1 3 d.

_

_tanm x_secnxdx

, dan

_

_cotmx_cscnxdx

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan2x_sec2x _atau

x

x 2

2 _csc

cot

1 

Contoh

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan2x_sec2x_{, sehingga diperoleh}

_

5 x 4 xdx

sec

tan ₌

_

5 x 2 x 2 xdx

sec sec tan

=

_

_tan5x₍₁_tan2x_)sec2xdx = (tan5 _x tan7 _x) _d(tan_x)





= 6 x _tan8xC

8 1 tan 6 1 2.

_

_cot4x_csc4xdx Jawab

_

_cot4 x_csc4xdx

=

_

cot4x(csc2x)(csc2x)dx = cot4_x(cot2_ 1)_d(_ cot_x)



= (cot6_x cot4_x)_d(_ cot_x)



=  7x cot5xC

5 1 cot 7 1

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan2x_sec2x _{atau 1 + cot}2_{x= csc}2_x.

Contoh:

1.

_

_tan3x_sec3 xdx

=

_

tan2 xtanxsec2 xsecxdx =

_

tan2 _xsec2_d(sec_x)

= (sec2_x 1)sec2_xd(sec_x)





= (sec4_x sec2_x)_d(sec_x)

 

= 5x sec3xC

3 1 sec 5 1

2.

_

3_x 1/2_xdx

sec

tan _{= tan}2 _xtanxsec32_{secx dx}



= (sec2 _x 1)sec32 _xd(sec_x)



=

_

(sec1/2 _x sec32 _x)_d(sec_x) = _sec3/2x _2sec 1/2x

3

2 _ 

e.

_

sinmxcosnxdx_,

_

sinmxsinnxdx,

_

cosmxcosnxdx

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx = [sin( ) sin( ) ] 2

1

x n m x

n

m  

sin mx sin nx = [cos( ) cos( ) ] 2

1

x n m x

n

m  



cos mx cos nx = [cos( ) cos( ) ] 2

1

x n m x

n

m  

Contoh

1.

_

sin _{3x cos 4x dx =}

_

[sin(34) sin(3 4) ] 2

1

x

x dx

=

_

sin7x

2 1

+ sin (-x) dx = cos7x

14 1

 _- cos

2 1

x + C

2.

_

sin3xsin2x_{dx =}

_

 [cos(32)  cos(3 2) ] 2

1

x

x dx

= 

_



cos5x cosx



dx

2 1

= sin 10

1

 _{5x +} sin

2 1

x + c 3.

_

cos _{y cos 4y dy =}

_

[cos(14)y

2 1

+cos(1-4)y] dy =

_

[cos5 cos(3 )]

2 1

y

x _dy

= y sin3yC

6 1 5 sin 10

1

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini. 6.

_

sin2(2x)cos4(2x)dx

7.

_

x xdx

          

5 cos 5 sin3 3 8. _sin21_3xcos3_3xdx

9.

_

(sin32t) cos2tdt 10.

_

_tan6 xdx

11. cot4(3x)dx



12.

_

_cotx_csc4 xdx 13.

_

tan2xsec22xdx 14.

_

_(tanx_cotx₎2dx 15.

_

sin3xsinxdx 16.

_

csc4 4ydy 17.

_

_tan4_qsec2_qdq

18.

_

cos2xsin3xdx

19.

_



    x _dx

3 cot4

20. 2z 3zdz

1

cos sin



21.

_

_tan5_xsec3/2_xdx

22.

_

cosxcos3xdx 23.

_

x xdx

          

2 5 sin 2 sin

2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri Metode substitusi fungsi trigonometri

digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk: a. _a2 _{ x}2 , a



Real

b. _x2_a2 = _a2_x2 , a



Real

c. _x2 _a2

 , a



Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

2 2 2 _{b x}

a  = 2

2 x b a

      

x b

a2_ 2 = 2 2

x b a

      

2 2 2_{x b}

a  =

2 2

      

a b

x atau ax2bxc yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk integral yang integrannya memuat _a2_{ x}2 atau bentuk lain yang dapat

diubah menjadi sejenisnya. Selesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau sin t =

a x

dengan -2



2

  t _.

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x = a sin t maka _a2 _x2

 = a2 (asint)2

= _a2(1 sin2_t)



= a cos t dx = a cos t dt.

Selanjutnya bentuk a2_ x2 _ccostdan dx_acostdt substitusikan ke dalam integral semula.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini: 1.

_

_{4 x}2

 dx

Jawab

Misal x = 2 sin t  sin t = 2

x

dx = 2 cos t dt

_{4 x}2

 = 4 4sin2t 2cost

 

Sehingga

_

₄ x2 dx



2cost.2costdt = 4

_

costcostdt

t

x

a

2 2 _x

a 

t

x

2

2

= 4

_

_cos2tdt

= 4

_

 t dt

2 ) 2 cos 1 (

= 2

_

dt _{+ 2}

_

cos2t _dt = 2t2sintcostc

= _   

 

 _

            

2 4 2 2 2 arcsin

2 x x x2 _+c

Atau 4

_

_cos2tdt = 4 (

2 cos sint t

+ tC

2 1

) = 2 sint cost + 2t + C = 2 

    

2

x

2 4 _x2

 _{+ 2 arc sin }     

2

x

+ C

= x x xC      



2 arcsin 2 2

4 2

2.



 2

4x x dx

Jawab



 2

4x x dx

=



  _{( 2)}2

4 x dx

Misal (x-2) = 2 sin t, sin t = 2

2



x

dx = 2 cos t dt

4_ (x_ 2)2 _2cost_{, sehingga}



_{4 (x 2)}2

dx

=

_

t tdt

cos 2

cos 2 =

_

dt = t + C

= arc sin       

2 2

x

+ C 3.





6 2

16 x x dx

Jawab





6 2

16 x x dx

=



  ( 3)2 25 x

dx

2



x

2

4x x 2

Misal (x-3) = 5 sin t, dx = 5 cos t dt

_{25 (x 3)}2 _{= 5 cos t, sehingga}



_{166x x}2

dx

=

_

t tdt

cos 5

cos 5 =

_

dt = t + C = arc sin

5 3



x

+ C

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca 1.













 _{ }

 2 2 2

3

2 1 1

1 x x

dx x

dx

2.

_

 dx

x x2

25

3.

_

_{2 2}

9 x x

dx

 4.

_

_x2 _{3 x}2 dx

Jawab

Substitusi x = 3sinA` dx = 3cosAdA

_{3 x}2 _{ 3 ( 3sinA)}2

= 3cosA, sehingga

_

_x2 _{3 x}2 dx =

AdA A

A 3cos . 3cos sin

3 2



= 9

_

_sin2 A_cos2 AdA

= 9

_

   

      

  

dA A A

2 2 cos 1 2

2 cos 1

= (1 cos 2A)dA

4

9 ₂





5

2

6 16 x x 3



x

t

x

t

3

2

=

_

  A)dA

2 4 cos 1 ( 1 4 9

=

_

dA

_

dA

_

cos4AdA

8 9 8

9 1

4 9

= A A sinAC

32 9 8 9 4 9

= x  AC

    

4 sin 4 . 8

9 3 arcsin 8 9

= x  A A A A C

    

) sin )(cos

cos sin 4 ( 32

9 3 arcsin 8

9 2 2

= 

  

 



 A A A A

x _{(sin cos )(cos}2 _sin2

3 arcsin 8

9

+ C

= x x x x x _C

  

 

      

 

 _

    

 

3 3

) 3 ( 3 3 3 3

arcsin 8

9 2 2 2

5.







 2 3 2 4x x

dx

Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk _a2 _x2

 atau bentuk lain yang dapat

diubah sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a tan t atau

a x t 

tan dan dx = a sec2t_{, dengan}

-2



2

  t

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x = a tan t maka _a2_x2 = _a2_(atant)2

= _a2(1 tan2_t)



= a sec t

Selanjutnya bentuk a2_ x2 _ccostdan dx = a sec2_t .substitusikan ke dalam integral semula.

t

x

2 2 _a

x 

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini. 1.

_

 2

9 x dx

Jawab

Misal x = 3 tan t

dx = 3 sec2t _{dt 9}_x2  3 sec t, sehingga



 2

9 x dx

=

_

t dt

sec 3 sec 3 3 =

_

sectdt

= ln secttant C

= ln 9₃x2 ₃x _{+ C}

= ln ₉x2 x C

2.



 



5 4

) 1 2 (

2 _x

x

dx x

Jawab



 



5 4

) 1 2 (

2 _x

x

dx x

= dx

x x x

x x

) 5 4 1 5

4 2 (

2 2



  

 

=





  



2) 1 ( 2) 1

( 2

2

2 _x

dx x

xdx

Misal (x+2) = tan t x = (tan t) - 2 dx = sec2 _{t dan}

(_x2)2 _1 _{= sec t, sehingga}







_{ }



2) 1 ( 2) 1

( 2

2

2 _x

dx x

xdx

=

_

 

_

t tdt t

tdt t

sec sec sec

sec ). 2 (tan

2 2 2

= 2

_

tantsectdt  4

_

sectdt _-

_

sect_dt

2

9x

x

3 t

2



x

5 4

2_{ x}

x

1

= 2 sec t – 5 ln secttant C

= 2 x2 4x5 5ln x24x5(x2)C

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan 1.



_

_

 2 2

9 x dx

2.

_

₃x2dx

3.

_

 dx

x x2 1

4.

_

  4 13

2 _x

x dx

5.

_

 2 5 3

2 _x

x xdx

6. dt

t t



4

2

Bentuk integral yang integrannya memuat _x2 _a2

 atau sejenisnya,

selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec t tan t dt,

-2



2

  t _.

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x = a tan t maka _x2_{ a}2 = _(asect)2 _{ a}2

= 2(sec2 1)



t a

= atant

Selanjutnya bentuk _x2 _{ a}2 = atan dan dx = at secttant dtsubstitusikan ke

dalam integral semula.

t

2 2 _a

x 

x

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

_

dx

x x2 _ 9 Jawab

Misal x = 3 sec t dx = 3 sec t tan t dt 2 9



x = 3 tan t, sehingga



dx

x x2 9

 ₌



t tdt

t t

tan sec 3 sec 3

tan 3

= 3

_

_tan2tdt = 3

_

(sec2t 1)dt = 3 tan t – 3 t + C

= 3 x   arc xC

3 sec 3 3

9

2

2.



  2 8

2 _x

x dx

Jawab



  2 8

2 _x

x dx

=





 1) 9

(_x 2 dx

Misal (x-1) = 3 sec t, gg dx = 3 sec t tgn t dt ( 1)2 9

 

x = 3 tgn t, sehingga





 1) 9

(_x 2 dx

=

_

t tdt

tan 3

tan sec 3

=

_

sectdt

= ln secttant C

3

x

9

2



x

t

8 2

2 _{ x}

x

1



x

t 3

= ln x  x  x C

3 8 2 3

1 2

Soal-soal

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan. 1.

_

x2  1dx _dx

2.

_

 25

2 2

x dx x

3. dt

t t



3 2 ₄

4.

_

 16 2

16 x x

dx

5.

_

 6

2

x x

dx

6.



 1

2 2 _t

t dt

2.4 Integral Parsial (Integral Bagian)

Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dan u = f(x), v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh



d(uv)



udv



vdu



_

udv

_

d(uv)

_

vdu



_

udvuv

_

vdu

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan

_

udv _tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini

1.

_

xcosxdx Jawab

Bentuk

_

xcosxdx _{diubah menjadi}

_

_udv, Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v =

_

cosx_{dx = sin x} Akibatnya

_

xcosxdx ₌

_

_{x d(sin x).} Dengan rumus integral parsial

_

udvuv

_

vdu_{, diperoleh}

_

x d(sin x) = x sin x -

_

sinx _d(x) = x sin x -

_

sinx _dx = x sin x + cos x + C

Akhirnya diperoleh



xcosxdx _{= x sin x + cos x + C}

2.

_

x 1x _dx Pilih u = x , du = dx

dv = 1x, v =

_

1x _{dx =} 3₁

3 2

x

 Sehingga

_

x 1x _{dx =}

_

1 )

3 2

( 3 _x

xd

Berdasarkan rumus integral parsial

_

udvuv

_

vdu_{, diperoleh}

_

x 1x _{dx =}

_

1 )

3 2

( 3 _x

xd

= 3 _{1 1}

3 2



x

-

_

1 ( ) 3

23 _{xd x}

= 3 _{1 1}

3 2



x

-

_

3 ₁xdx

3 2

= 3 _{1 1}

3 2



x

- 1x)C

5 2 ( 3 2 ₅

= 3 _{1 1}

3 2



x

- ( 1x)C

15 4 5 3.

_

sinx _ex _dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx dv = exdx_{, v =}

_

_ex_dx

= _ex_{, sehingga:}

_

sinx _ex _{dx =}

_

_{sin x d(e}x₎

= exsinx

_

exd(sinx)

= ex_sinx

_

ex_cosxdx Diperoleh bentuk

_

ex_cosxdx

yang juga diselesaikan dengan metode parsial Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv = exdx_{, v =}



exdx

= _ex_{, sehingga:}

_

cosx _ex_{dx =}

_

_{cos x d(} x₎

e

= excosx

_

exd(cosx)

= ex_cosx

_

ex₍ _sinx₎dx = excosx

_

exsinx)dx,

Akhirnya diperoleh



sinx _ex_{dx = e}x_sinx

_

_ex_cosxdx

= ex_sinx



 sin ) , cosx e x dx

ex x



sinx _ex_{dx =} 2 1



x ex_sin

2 1

C x ex_{cos }

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan. 1.

_

x_sec2xdx

2.

_

secx tanx dx 3.

_

_sin3 x dx 4.

_

x tanx dx 5.

_

arctanx dx 6.

_

xlnx dx 7.

_

_x3 _2x₇

dx 8.

_

arccos2xdx 9.

_

_x2

10.

_

 x xdx

2

1 dx

11.

_

cos3xsin3x_dx 12.

_

ex ₁xdx 13.

_

_tan5x_sec2xdx 14.

_

(x 2)cos(x 2)_dx

15. xex dx



2 16.

_

(2x 1)e 13x_dx

17.

_

_sec3 x dx 18.

_

_x3 _{4 x}2

 dx

19.

_

ln3x _dx 20.

_

x2sinx

dx 21.

_

x2 1 x

dx 22.

_

x2_sec2 xdx

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = _gf₍(_xx₎) , dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x)



0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = ao + a1x + a2 x2 + a3x3+ … + anxn , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi

rasional adalah fungsi berbentuk _gf₍(_xx₎) yang pembilang dan penyebutnya polinom. Contoh

1. f(x) =

2 3 1

2

 



x x

x

……….fungsi rasional sejati 2. f(x) =

4 4

4

2 2

 



x x

x

……….fungsi rasional tidak sejati) 3. f(x) =

x x

x x x

5 1 2

3 3 5

   

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

f(x) =

x x

x x x

5 1 2

3 3 5

   

= x2_3 ₊

x x

x 5

) 1 14 (

3 _



F(x) = _gf₍(_xx₎) , g(x)



0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah: 1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = _gf₍(_xx₎) sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara: - fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)n

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a) - fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax2 _{+bx + c)}

- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax2_bxc)(_{px2 + qx + c)} - fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax2_bxc) n _{dan seterusnya.}

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal : 

) (

) (

x g

x

f _...

) (

)

( _{2 2}

2 1

1

1 _

 

 ax b

A b

ax A

(Penyebut kombinasi liner berbeda)

... ) ( ) ( ) ( ) (

) (

3 3 2

2

1 _

     

b ax

A b

ax A b

ax A x

g x f

... )

( ) (

2 2 2 2

2 2 1

1 2 1

1

1 _

 

 

 

 

c x b x a

B x A c

x b x a

B x A x

g x f

(kombinasi kuadrat berbeda)

... )

( ) (

1 2 2 2

2 2 1

1

1 _

 

 

 

c x b x a

B x A b

x a

A x

g x f

(kombinasi linear dan kuadrat)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2 , …An dan B1, B2 , …Bn .

6. Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.

7. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Contoh : (Faktor linear berbeda)

1. Tentukan

_

 dx

x 1

2

2

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

_

 1 2

2

x dx =



(x 1)(x1)dx 2

=

_

 _

 x dx

B x

A

) 1 ( ) 1 (

= dx x

x

x B x

A



(₍_1₁)₎₍ _(₁₎ 1) =

_

 

  

dx x

x

B A x B A

) 1 )( 1 (

) (

) (

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:



_x22_{ 1}dx =



_  

 x dx

x ( 1)

1 1

1

=

_

 dx

x 1

1

-

_

 dx

x 1

1 = ln x 1 lnx1C

= ln C x

x   

1 1

2.

_

 

, 1 1

dx x

x

_

_

   



dx x dx

x x

1 2 1 1

1

=

_

_



 dx

x dx

1 2 = x2lnx 1c

= xln(x1)2 c

3. dx

x x x

x



₍ 3_ 21_{ 6 )} Jawab

dx

x x x

x



₍ 3_ 21_{ 6 )} =



_{ } 

dx x

x x

x

) 3 )( 2 (

1

= dx x

C x

B x

A



 _

 

) 3 ( ) 2 (

= dx x

x x

x x C x

x B x

x A



(  2)( 3)3_( )(2_{ 6}3) ( )(  2) =

_

 

 

  



dx x

x x

A x C B A x C B A

6

6 ) 2 3 ( ) (

2 3 2

Diperoleh A + B + C = 0 A + 3B – 2C = 1 -6A = 1

Atau A = - 6 1

, B = 10

3 , C =

15 2



Sehingga dx

x x x

x



₍ 3_ 21_{ 6 )} = 







_  ₁₅



_{( 3)}

2 ) 2 ( 10

3 6

1

x dx x

dx x

dx

=  x  x  lnx3C

15 2 2 ln 10

3 ln 6 1 Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut: 1)

_

 9

2 x

dx

2)

_

 7 6

2 _x

x dx

3)

_

 

 

dx x x

x x

8 2

4 3

2 2

4)

_

  3 4

2 _x

x xdx

5)

_

 

 

dx x x x

x x

2 1 3

2 3

2

6)

_

  x dx x

x

6 5

2 3

7)

_

  x dx x

x

2 2

2 3

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1.

_

 



dx x x

x

4 4

1

2 ,

Jawab

Karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

_

 

 _dx

x x

x

4 4

1

2 =



_{ }



dx x

x x

) 2 )( 2 (

1

=

_





dx x

x

2

) 2 (

1

= dx x

B x

A



 _

 2) ( 2)2 (

=

_

A x_x Bdx 

 

2

) 2 (

) 2 (

=

_



 

2

) 2 (

) 2 (

x

A B Ax

dx Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga



_  _ dx

x x

x

4 4

1

2 =



_{(  2)} _{(x 2)}2

B x

A

dx =

_



_

_

 x dx

x dx

2

) 1 (

3 )

2 (

= ln C x

x 

  

) 2 (

3 2 2.

_

 



dx x x

x

4 4

1

2 2

Jawab

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:

_

   dx x x x 4 4 1 2 2 =

_

     dx x x x 4 4 ) 4 5 ( 1 ₂ =

_

_

    dx x x x dx 4 4 4 5 2

Selanjuntnya

_



_

_    dx x x dx x x x 2

2 _{( 2)}

4 5 4 4 4 5 =

_

 _

 x dx

B x A 2 ) 2 ( ) 2 ( =

_

   _dx x B x A 2 ) 2 ( ) 2 (

=

_

Ax₍_xA₂₎2 B dx

) 2 (

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:







 _     2

2 _{( 2)}

6 ) 2 ( 5 ) 2 ( 4 5 x x dx x x dx = 5 ln C

x x     ) 2 ( 6 2

3.

_

    dx x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2 3 Jawab

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:

_

    dx x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2

3 =



_{( 1)( 1)}2

) 5 3 (    x x dx x

= dx

x C x B x A



 _  

1) ( 1) ( 1)2 ( =

_

        dx x x x C x x B x A 2 2 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 (

= dx

x x C B A x A C x B A



  _ _ 2   2 ) 2 )( 1 ( ) ( ) 2 ( ) (

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga



_ _{ } dx x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2

3 = _x dx

C x B x A



 _  

1) ( 1) ( 1)2 ( = 2 1









_  

 2 ( 2) 4 ( 2)2 1 ) 1 ( x dx x dx x dx

= ½ ln C x x x       ) 2 ( 4 2 ln 2 1 1 4.

_

   2 3 3 6 4 4 4 x x x x dx Jawab

Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati)

_

   2 3 3 6 4 4 4 x x x x

dx =

_

      dx x x x x x

x _{3 2}

2 2 3 4 4 272 68 16 4

=

_

(x34x216x68)dx

+ dx

x x

x



3_ 2

2

4 4 272

= x x 8x 68x

3 4 4

1 4_ 3_ 2_

+ dx

x x

x



3_ 2

2

4 4 272

Selanjutnya dicari dx

x x

x



3_ 2

2

4 4 272

= dx

x x

x



₍ 272_0)2₍_4₄₎ 2 =

_

   dx x C x B x A ) 4 ( 2

= dx x x x C x x B x A



  3_ 2 

2 4 ) ( ) 4 )( ( ) 4 ( =

_

     dx x x Cx Bx Bx A Ax 2 3 2 2 4 4 4

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B =

4 1

 _{, C =}

4 1089 Hasil akhir pengintegralan

   



dx x x x x 2 3 3 6 4 4 4

x x 8x 68x

3 4 4

1 4_ 3_ 2_

- x x C

x  4 ln  4 

1089 ln 4 1 1 Soal-soal

Tentukan 1.

_

 

dx x

x

2

) 3 (

1

2. dx

x x

x



_ 2 _ 5

8

) 1 ( ) 2 (

3. dx

x x

x x



4_ 3

2

5 2

10 19

4. dx

x x

x



_{( 2}_{)( 4)}2

2 1

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

r qx px

C Bx b

ax A x

g x f

 

 



 ₂

) (

) (

, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh 1.

_

 

 

dx x

x

x x

) 1 )( 1 4 (

1 3 6

2 2

Karena integran fungsi rasional sejati maka

_

 

 

dx x

x

x x

) 1 )( 1 4 (

1 3 6

2 2

=

_

  

 x dx

C Bx x

A

) 1 ( ) 1 4

( 2

= dx x

x

x C Bx x

A



( ₍1₄)_(₁₎₍ 2_)(₁₎4 1) 2

= dx x

x

C A x C B x B A



( 4 )₍₄_( ₁₎₍42 _)₁₎(  ) 2

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:



_ _ dx

x x

x x

) 1 )( 1 4 (

1 3 6

2 2

=

_

  

 x dx

x

x ( 1)

1 )

1 4 (

2

=

_

_

_

 

 

 x dx x dx

x dx x 1 1 1 ) 1 4 ( 2 2 2

= x  lnx 1 arctgxC

2 1 1 4 ln 4 2 ₂

2.

_

     dx x x x x x 2 3 2 2 4 2 3

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga



_  _ dx

x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 =

_

     dx x x x x x ) 2 )( 1 ( 2 2 2 2 3 =

_

     _dx x D Cx x B Ax 2 1 2 2 =

_

       dx x x x D Cx x B Ax ) 2 )( 1 ( ) 1 )( ( ) 2 )( ( 2 2 2 2 =

_

         dx x x D B x C A x D B x C A ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 3 Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:



_  _ dx

x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 =

_

 

 x dx

x

x 1 2

1 2 2 =

_

_

 

 x dx

x dx

x 1 2

1

2 2

= arctg x + lnx 1C

2 1 2

3.

_

     dx x x x x x ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 8 2 2 3

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x )

1

2_{ , sehingga:}



_  _  _ dx x x x x x ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 8 2 2 3 =

_

    

 x dx

D Cx x B x A ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( 2 =

_





            dx x x x x x D Cx x x B x x A ) 1 )( 2 )( 3 ( ) 2 )( 3 ( ) 1 )( 3 ( ) 1 )( 2 ( 2 2 2 =

_

                  dx x x x D B A x C D B A x D C B A x C B A ) 1 )( 2 )( 3 ( ) 6 3 2 ( ) 6 ( ) 3 2 ( ) ( 2 2 3 Maka diperoleh

=

_

_



 dx

x x xdx

1 5

2

= ½ x2 _{- 5}



_ dx

x x

1

2

= 2 1

x2 _{– 5.}

2 1



_ dx

x x

1 2

2

= ½ x2 _{- lnx 1C}

2

5 2

= ½ x2 _{– ln (x}2₊₁₎5/2 _{+ C}

= ½ x2 _{– ln (x}2_1)5 _{+ C}

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1)

_

 

 

dx x

x

x x

x

16 8

16 5

2

3 5

2 3

2)

_

 

  

dx x

x

x x x

2 3

2

2 4

2 3

3)

_

  

dx x

x x

2 2 3

) 1 (

1

4)

_

  

  

dx x

x x

x x x

) 3 2 )( 5 (

15 5

2 2

2 3

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

Fungsi F(x) = , ( ) 0, ( ) )

( ) (

x f x g x g

x f

 _{dan g(x) mememuat fungsi trigonometri} dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE SUBSTITUSI.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) =

x x

cos sin 1

2. F(x) =

x x

sin cos sin 2

3. F(x) =

x x

cos 2 sin

5 

4. F(x) =

x

sin 2 3

1  5. F(x) =

x x cos sin

1

2  

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

_



 x x

dx

cos sin

1

2.

_

 x

dx

cos 2

3.

_



 x x

dx

cos sin

1

4.

_

x x

sin cos sin 2

1 

dx

5.

_

x

sin 2 3

1

 dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi x = 2 arc tan z sehingga dx = dz

z2

1 2

 .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tan z maka:

z x

       

2 tan

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri 1 + tan 

    

2

2 x

= sec      

2

2 x

 1 + z 

     

2 sec2

2 x

2 2

1 1 2

cos

z x

        

sin2_xcos2_x1

1 2 cos 2

sin2 2 _

            

 x x _{, sehingga didapat}

sin 2

2

1 1 1

2 z

x

        

= ₂

2

1 z z



Dengan rumus jumlah cosinus didapat: cos 2x = cos2x _sin2 _x

              

2 sin 2 cos

cos_x 2 x 2 x

2 2 2 ₁

1 1 cos

z z z x

    

= ₂

2

1 1

z z

 

Dengan rumus jumlah sinus didapat: sin 2x = 2 sin x cos x

 sin x = 2 sin      

2

x

cos      

2

x

= 2 2 _{2 2} 1

1

1 z z

z

 

= ₁ 2

2

z z



Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = ₁ 2

2

z z

 , cos x = 2

2

1 1

z z

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari

1.

_



 x x

dx

cos sin

1 Jawab

_



 x x

dx

cos sin

1 =



    



2 2 2

2

1 1 1

2 1

1 2

z z z

z dz z

=



      



2 2 2

2 2

2

1 1 1

2 1

1

1 2

z z z

z z

z

z dz

=

_

 z

dz

2 2

2

=

_

z dz

1

= ln1z _{+ C} =  x C

2 tan 1 ln 2.

_

 x

dx

cos 2

Jawab

_

 x

dx

cos

2 =



  

 2 2 2

1 1 2

1 2

z z z dz

=



   

 

2 2 2

2 2

1 1 1

) 1 ( 2

1 2

z z z

z z dz

=

_

3 2 1

2

z dz

=



_     

 2

2

3 1 3 2

z dz

= z _c

  

 

3 / 1 arctan 3 3 2

= 3arctanz 3c

3 2

= x c

    

3 2 tan arctan 3 3 2

3.

_

 x

dx

sin 5

3 =

Jawab

_

 x

dx

sin 5

3 =



 

 2 2

1 2 5 3

1 2

z z z dz

=

_



 z z

dz

10 3

3 2

2

=

_

_(3z2₁dz_)(z3) =

_

 

 z dz

B z

A

) 3 ( ) 1 3 (

= dz

z z

B A z B A



( ₍₃3_)₁₎₍(_3₎ ) =

_

 _

 z dz

z ( 3)

1 )

1 3 (

3

= 3ln3z1 lnz3C

= x   x 3 C 2

tan ln 1 2 tan 3 ln 3 Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

1. c

x x x

dx

        

        





3 2 2 tan

3 2 2 tan ln 3

3 sin

2

1 NPM GANJIL

2. c

x

x dx

    

 

   

 

       





₃

1 2 tan 2 arctan 2

sin

2 NPM GENAP

3. c

x

x dx

    

 

   

 

       





₄

3 2 tan 5 arctan 2 1 sin 3

5

4. c

x x x

x dx

       

      

 



2 tan 1

2 tan ln cos sin

5. c x

x dx

    

 

   

 

       





₃

4 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4

5 NPM GANJIL

6. x C

x dx

     

   





tan₂

3 3 arctan 3

3 2 cos

2 NPM GENAP

7. x c

x dx

    

 

      





arctan 5 tan ₂

5 5 2 sin 2 3

8. C

u u u

u

xudu

 

 



ln 1_coscos )

cos 1 ( cos

sin 2

2

9. x x c

x xdx x

    



 

 

 





arctan 2tan₃ 1

3 2 tan 1 ln tan

1

sec ) tan 2 (

2 2 2

10.

_

tanxdx _{= ln} secx C 11.

_

cotx_{dx = -ln}cscx C