Uvjetovanost sustava linearnih jednadˇ zbi

3.2 Uvjetovanost sustava linearnih jednadˇ zbi

Promatramo sustav jednadˇzbi Ax = b uz pretpostavku da je A kvadratna regularna matrica. Tada sustav ima jedinstveno rjeˇsenje x = A −1

b. Moˇzemo postaviti ovakvo pitanje:

(i) Koliko ´ce se promijeniti rjeˇsenje x sustava, ako se promijeni vektor slobodnih koeficijenata b, a matrica A ostane nepromijenjena?

Neka je x rjeˇsenje sustava Ax = b, a ˜ x = x + ∆x rjeˇsenje “perturbiranog sustava” A˜ x = b + ∆b, tj.

(3.4) Iz (3.1) i (3.4) dobivamo

A(x + ∆x) = b + ∆b.

(3.5) Koriˇstenjem kompatibilne matriˇcne i vektorske norme, iz (3.1) i (3.5) dobivamo

(3.8) ˇcime smo ocijenili relativnu pogreˇsku vektora ˜ x pomo´cu relativne pogreˇske vektora

b. Vrijedi takod¯er (vidi primjerice Golub (1996)): (ii) Ako se matrica sustava A promijeni za ∆A, a vektor b ostane nepromijenjen,

onda relativnu pogreˇsku aproksimacije rjeˇsenja ˜ x moˇzemo ocijeniti s

. (3.9) (iii) Ako se matrica sustava A promijeni za ∆A, a vektor b za ∆b, onda relativnu

pogreˇsku aproksimacije rjeˇsenja ˜ x moˇzemo ocijeniti s

42 3.2 Uvjetovanost sustava linearnih jednadˇ zbi

U sva tri sluˇcaja u ocjeni relativne pogreˇske aproksimacije rjeˇsenja pojavio

(condition number) i oznaˇcavati s

Broj uvjetovanosti cond (A) uvijek je ve´ci ili jednak 1. Naime,

Ako je cond (A) blizu 1, kaˇzemo da je matrica dobro uvjetovana, a ako je cond (A) mnogo ve´ci od 1, kaˇzemo da je matrica A loˇse uvjetovana (ill-conditioned).

Iz (3.8), (3.9) i (3.10) vidi se da ´ce i male pogreˇske u matrici ili vektoru slobod- nih koeficijenata sustava s loˇse uvjetovanom matricom sustava rezultirati znaˇcajnom pogreˇskom u rjeˇsenju sustava.

Primjer 3.2 Rjeˇsenje sustava linearnih jednadˇzbi, gdje su matrica sustava A i vektor b zadani s

je x = (−1, 1) T . Promijenimo vektor b za ∆b = (0.00009, 0.000005) T . Egzaktno rjeˇsenje sustava Ax = b + ∆b je ˜ x = (−0.241774, 0.612791) T , pri ˇcemu

je ∆x = ˜ x − x = (0.758256, −0.387209) T . Izraˇcunajmo relativne pogreˇske vektora ∞ . 0.00009

Dakle, relativna pogreˇska rjeˇsenja je viˇse od 3 000 puta ve´ca od relativne pogreˇske vektora b.

Naˇcinimo sada malu promjenu u elementu a 11 matrice A, tako da je

Egzaktno rjeˇsenje sustava (A + ∆A)˜ x = b je ˜ x = (0.129518, 0.423193) T . Sada je 1.129518

1.133 ≈ 0.00075, pa je relativna pogreˇska aproksimacije rjeˇsenja opet viˇse od 3 000 puta ve´ca od

relativne pogreˇske u matrici A. Razloge za ove pojave treba traˇziti u veliˇcini broja uvjetovanosti matrice A.

Kako je 0.234 0.458

A=

, A −1 =

3.3 Rjeˇsavanje trokutastih sustava

−1 ∞ = 14 046.51, pa je broj uvjetovanosti matrice

A cond (A) = 15 914.70.

2 moˇze se izraˇcunati (vidi primjerice Golub (1996)) po formuli

cond (A) =

gdje je σ 1 najve´ca, a σ n najmanja singularna vrijednost matrice A (vidi takod¯er t.3.9, str. 60). Singularne vrijednosti kvadratne matrice A mogu se lako izraˇcunati programom Mathematica naredbom: SingularValues[A][[2]].

Primjedba 3.2 Moglo bi se pomisliti da je veliˇcina determinante matrice u di- rektnoj vezi s uvjetovanosti matrice. Da te dvije veliˇcine nisu u direktnoj vezi vidi se ve´c iz sljede´ceg primjera. Tako je primjerice dijagonalna matrica D = diag(10 −10 , 10 −10 ) perfektno uvjetovana kao jediniˇcna matrica (cond (D) = 1), a njezina determinanta je skoro nula (det D = 10 −20 ). S druge strane, dijagonalna

matrica S = diag (10 5 , 10 −5 ) je loˇse uvjetovana (cond (S) = 10 10 ), iako je det S = 1.