Metoda jednostavnih iteracija

4.2 Metoda jednostavnih iteracija

Jednadˇzbu f (x) = 0 moˇzemo napisati u obliku

(4.6) gdje za funkciju ϕ obiˇcno postoji viˇse izbora. Primjerice, pripadnu jednadˇzbu iz

x = ϕ(x),

Primjera 4.2, str. 68 za x > − 5

4 moˇzemo pisati u obliku x=e x − 5/4 ili x = ln(x + 5/4).

1 Ovaj primjer konstruirao je J. Muharemovi´c, student III godine ETF-a u Osijeku, 1998.

4.2 Metoda jednostavnih iteracija

0 a ξx 2 x 1 x 0 b Slika 4.5. Metoda jednostavnih iteracija

Na taj naˇcin umjesto rjeˇsavanja jednadˇzbe (4.1), geometrijski gledano, traˇzimo sjeciˇsta grafova funkcija y 1 =xiy 2 = ϕ(x). Nakon ˇsto smo odredili interval I u kome se nalazi traˇzena nultoˇcka, u njemu ´cemo izabrati poˇcetnu aproksimaciju x 0 .

Sljede´cu aproksimaciju x 1 odredit ´cemo tako da bude x 1 = ϕ(x 0 ).

Na Slici 4.5 toˇcka x 1 odred¯ena je tako da bude x 0 A=x 1 B = Ox 1 . Posljed- nje dvije duˇzine med¯usobno su jednake jer je trokut △(O, x 1 , B) jednakokraˇcan. Ponavljaju´ci postupak, dobivamo niz

x 0 ,x 1 = ϕ(x 0 ), x 2 = ϕ(x 1 ), . . . , x n = ϕ(x n−1 ), . . . (4.7) Mogu se postaviti sljede´ca pitanja:

• je li niz definiran s (4.7) konvergentan; ako nije, da li je mogu´ce novim izborom funkcije ϕ dobiti konvergentan niz?

• ako je niz (4.7) konvergentan, teˇzi li prema rjeˇsenju jednadˇzbe (4.6)? • ako je niz (4.7) konvergentan i ako teˇzi rjeˇsenju jednadˇzbe (4.6), kakva je

brzina (red) konvergencije? • budu´ci da rjeˇsenje ξ jednadˇzbe (4.6) nije poznato, kako ocijeniti pogreˇsku po-

jedine aproksimacije x n ?

Odgovor na sva ova pitanja daje sljede´ci teorem 2 .

Teorem 4.1 Neka je ϕ : I = [a, b] → R neprekidno derivabilna funkcija za koju vrijedi:

(i) ϕ(x) ∈ I za svaki x ∈ I, (ii) ∃ q ∈ (0, 1), takav da je |f ′ (x)| ≤ q za svaki x ∈ (a, b).

Tada postoji jedinstveni ξ ∈ I takav da bude ϕ(ξ) = ξ. Osim toga, za proizvoljni x 0 ∈ I, niz definiran s

x n = ϕ(x n−1 ), n = 1, 2, . . .

2 Ovaj teorem je specijalni sluˇcaj op´ cenitijeg Banachovog teorema o fiksnoj toˇcki (Teorem 3.1)

4.2 Metoda jednostavnih iteracija

konvergira prema ξ i vrijede ovakve ocjene pogreˇske aproksimacije

Metoda ima linearnu brzinu konvergencije, tj. vrijedi

(4.11) Dokaz. Kako je x n = ϕ(x n−1 )ix n+1 = ϕ(x n ), koriste´ci Lagrangeov teorem o

|ξ − x n+1 | ≤ q|ξ − x n |.

srednjoj vrijednosti, imamo

x n+1 −x n = ϕ(x n ) − ϕ(x n−1 ) = (x n −x n−1 )ϕ ′ (c), c ∈ (a, b).

Zato je

(4.12) Sukcesivnom primjenom nejednakosti (4.12) dobivamo |x n

|x n+1 −x n | ≤ q|x n −x n−1 | za svaki n = 1, 2, . . .

n+1 −x n | ≤ q|x n −x n−1 |≤···≤q |x 1 −x 0 |. (4.13) Promatrajmo sada ovakav red

x 0 + (x 1 −x 0 ) + (x 2 −x 1 ) + · · · + (x n −x n−1 )+··· (4.14) Njegova n-ta parcijalna suma je s n =x n . Zbog (4.13) jedna majoranta ovog reda

je red |x 0 | + |x 1 −x 0 | + q|x 1 −x 0 |+···+q n−1 |x 1 −x 0 |+···

(4.15) kojeg moˇzemo zapisati ovako |x 0 | + |x 1 −x 0 |(1 + q + · · · + q n−1 + · · ·).

Kako je q < 1, geometrijski red u zagradi je konvergentan, pa je i red (4.15) konvergentan. Na taj naˇcin pronaˇsli smo jednu konvergentnu majorantu reda (4.14), ˇsto znaˇci da je i taj red konvergentan. Po definiciji konvergencije reda, to znaˇci

da je i odgovaraju´ci niz n-tih parcijalnih suma (s n ) reda konvergentan. Kako je s n =x n , to znaˇci da je i niz (x n ) konvergentan, tj. postoji realan broj ξ, takav da je ξ = lim x n . Zbog uvjeta (i) ˇcitav niz (x n ) je sadrˇzan u I, a kako je I zatvoren skup, takod¯er je i ξ ∈ I.

Ako sada u (4.8) pustimo n → ∞, onda zbog neprekidnosti funkcije ϕ imamo ξ = ϕ(ξ), ˇsto znaˇci da je ξ korijen jednadˇzbe (4.6).

Dokaˇzimo da je ξ jedini korijen jednadˇzbe (4.6) u intervalu I. Pretpostavimo

da je ¯ ξ takod¯er korijen jednadˇzbe (4.6), tj. pretpostavimo da vrijedi ¯ ξ = ϕ( ¯ ξ). Tada prema teoremu o srednjoj vrijednosti mora biti

ξ − ξ = ϕ(¯ ¯ ξ) − ϕ(ξ) = (¯ ξ − ξ)ϕ ′ (c), c ∈ (a, b),

4.2 Metoda jednostavnih iteracija

odakle je

(¯ ξ − ξ)(1 − ϕ ′ (c)) = 0.

Budu´ci da je 1 − ϕ ′ ξ = ξ. Dakle, ξ je jedino rjeˇsenje jednadˇzbe (4.6).

U svrhu dokaza ocjene (4.9) promatramo |x n+p −x n | = |(x n+p −x n+p−1 ) + (x n+p−1 −x n+p−2 ) + · · · + (x n+1 −x n )| ≤

≤ |x n+p −x n+p−1 | + |x n+p−1 −x n+p−2 | + · · · + |x n+1 −x n |≤ (prema (4.12)) ≤ q n n+p−1 |x

1 −x 0 |+q n+p−2 |x 1 −x 0 |+···+q |x 1 −x 0 |=

1−q Dakle vrijedi

Ako sada pustimo p → ∞, dobivamo nejednakost (4.9). U svrhu dokaza ocjene (4.10) definirajmo funkciju f (x) = x − ϕ(x). Zbog

uvjeta (ii) je f ′ (x) = 1 − ϕ ′ (x) ≥ 1 − q > 0. Zato uz koriˇstenje teorema o srednjoj vrijednosti dobivamo

|x n − ϕ(x n )| = |f(x n )| = |f(x n ) − f(ξ)| = |(x n − ξ)f ′ (c)| ≥ (1 − q)|x n − ξ|, odakle, ponovno koriste´ci teorem o srednjoj vrijednosti dobivamo traˇzenu ocjenu |x n − ϕ(x n )|

1−q Koriste´ci x n+1 = ϕ(x n ) i ξ = ϕ(ξ) i teorem o srednjoj vrijednosti, dobivamo

1−q

1−q

|ξ − x n+1 | = |ϕ(ξ) − ϕ(x n )| = |(ξ − x n )ϕ ′ (c)| ≤ q|ξ − x n |.

odakle neposredno slijedi (4.11). ✷ Primjedba 4.2 Ako je unaprijed zadana toˇcnost ǫ s kojom ˇzelimo dobiti aproksi-

maciju rjeˇsenja jednadˇzbe (4.6), dovoljno je desnu stranu nejednakosti (4.9) ili desnu stranu nejednakosti (4.10) uˇciniti manjom od ǫ. Na taj naˇcin osigurali smo

da apsolutna pogreˇska aproksimacije ne bude ve´ca od ǫ. Primjedba 4.3 Uvjet (ii) znaˇci da je apsolutna vrijednost koeficijenta smjera tan-

gente na krivulju ϕ u svakoj toˇcki intervala I manja od 1, ˇsto i osigurava konver- genciju procesa.

Primjer 4.6 S toˇcnoˇs´cu ǫ = 0.005 (na dvije decimale) treba prona´ci pozitivnu nultoˇcku funkcije iz Primjera 4.2. Pokazano je da se nultoˇcka nalazi u intervalu

I = [0, 1].

4.2 Metoda jednostavnih iteracija

Ako odgovaraju´cu jednadˇzbu napiˇsemo u obliku

x=e x − 5/4,

funkcija ϕ bila bi ϕ(x) = e x − 5/4. Kako je ϕ x ′ (x) = e > 1 za x ∈ I, uvjeti Teorema 4.1 nisu ispunjeni. Zato ´cemo jednadˇzbu napisati u obliku

5 x = ln(x + 5/4), x>− . 4

Sada je ϕ(x) = ln(x + 5/4), a ϕ ′ (x) = 4/(4x + 5). Lako se vidi (nacrtaj graf funkcije ϕ ′ ) da je 9

(x) ≤ 4/5 < 1 za svaki x ∈ I i ϕ([0, 1]) = ln , ln 4 4 ⊂ [0, 1]. To znaˇci da su uvjeti Teorema 4.1 ispunjeni. Cijeli iterativni proces prikazan je u Tablici

4.2. U tre´cem, odnosno ˇcetvrtom stupcu prikazane su vrijednosti desne strane ocjene (4.9); odnosno ocjene (4.10).

Vidi se da je ocjena (4.9) mnogo grublja od ocjene (4.10). Dakle, pouzdano moˇzemo re´ci da apsolutna pogreˇska aproksimacije x ∗ = 0.63 traˇzene nultoˇcke nije ve´ca od 0.005.

Primjer 4.7 S toˇcnoˇs´cu ǫ = 0.005 (na dvije decimale) treba odrediti nultoˇcku funkcije

f (x) = x − 2/x.

Kako je f (1) = −1 i f(2) = 1, interval u kome leˇzi nultoˇcka je I = [1, 2]. Ako pripadnu jednadˇzbu napiˇsemo u obliku x = 2/x := ϕ(x), proces ne´ce konvergirati jer je ϕ ′

(x) = −2/x 2 i |ϕ ′ (x)| > 1 na intervalu I (primjerice ϕ ′ (1) = −2). Zbog toga ´cemo funkciju ϕ morati drugaˇcije definirati. Jednadˇzbu x = 2/x zapisat ´cemo u obliku

1 2 x= (x + ). 2 x

Oznaˇcimo ϕ(x) := 1 2 (x + 2 x ). Lako se vidi da je derivacija funkcije ϕ na intervalu I monotono rastu´ca funkcija. Zato je q = max{|ϕ ′ (1)|, |ϕ ′ √ (2)|} = max{1/2, 1/4} = 1/2. Osim toga je ϕ([1, 2]) = [

2, 1.5] ⊂ [1, 2]. Time su uvjeti Teorema 4.1 ispunjeni. Tijek odgovaraju´ceg iterativnog procesa prikazan je u Tablici 4.3. Inaˇce, lako se vidi da je jedina √ nultoˇcka promatrane funkcije broj √

2. Zato ´cemo u tablici pratiti i stvarnu apsolutnu pogreˇsku aproksimacija | 2−x n |.

4.3 Newtonova metoda

Na ovom primjeru vidi se da iako ocjena (4.10) u drugoj iteraciji ne osigurava ni jednu toˇcnu decimalu, ipak ve´c imamo jednu signifikantnu decimalu. U tre´coj iteraciji ocjena (4.10) osigurava dvije signifikantne decimale, iako stvarna apsolutna pogreˇska pokazuje da smo postigli ˇcak pet signifikantnih znamenki, od ˇcega ˇcetiri decimalna mjesta.

Najbolju ocjenu pogreˇske u ovom primjeru dobili bismo koriˇstenjem ocjene (4.3), gdje je m 1 = min |f ′ (x)| > 1.5. Provjerite !

U praksi traˇzena nultoˇcka obiˇcno nije poznata i zbog toga je vaˇzno da ocjena pogreˇske ne bude manja od stvarne pogreˇske, ali da ne bude previˇse gruba.

Primjedba 4.4 Ideja metode iteracija moˇze se koristiti i u drugim situacijama. Tako primjerice na sliˇcan naˇcin moˇzemo pristupiti i rjeˇsavanju sustava linearnih (t.3.8, str. 57) ili nelinearnih (t.4.4, str. 85) jednadˇzbi.